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1、2021 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数数学学第第 I 卷卷注意事项：注意事项：1每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，擦干净后，再选涂其他答案标号，2，本卷共，本卷共 9 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 45 分分参考公式：参考公式：如果事件如果事件 A、B 互斥，那么互斥，那么()( )( )P ABP AP B如果事件如果事件 A、B 相互独立，那么相互独立，那么()( )( )P AB
2、P A P B球的体积公式球的体积公式313VR，其中，其中 R 表示球的半径表示球的半径圆锥的体积公式圆锥的体积公式13VSh，其中，其中 S 表示圆锥的底面面积，表示圆锥的底面面积，h 表示圆锥的高表示圆锥的高一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设集合1,0,11,3,5 ,0,2,4ABC ，则()ABC（）A. 0B.0,1,3,5C.0,1,2,4D.0,2,3,42. 已知aR，则“6a ”是“236a ”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不允分也不必要条
3、件3. 函数2ln |2xyx的图像大致为（）A.B.C.D.4. 从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分数据，将所得400个评分数据分为8组：66,70、70,74、L、94,98，并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间82,86内的影视作品数量是（）A.20B.40C.64D.805. 设0.3212log 0.3,log 0.4,0.4abc，则 a，b，c 的大小关系为（）A.abcB.cabC.bcaD.acb6. 两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为323，两个圆锥的高之比为1:3，则这两个圆锥的体积之和为（）A.3B.4C.9D.12
4、7. 若2510ab，则11ab（）A.1B.lg7C. 1D.7log 108. 已知双曲线22221(0,0)xyabab的右焦点与抛物线22(0)ypx p的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于 A， B 两点， 交双曲线的渐近线于 C、 D 两点， 若2 |CDAB 则双曲线的离心率为 （）A.2B.3C. 2D. 39. 设aR，函数22cos(22). ( )2(1)5,xaxaf xxaxaxa，若( )f x在区间(0,)内恰有 6 个零点，则 a 的取值范围是（）A.95 112,42 4B.5711,2,42 4C.9112,344D.11,2,3447第第 II 卷卷注意事项
5、注意事项1用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上2本卷共本卷共 11 小题，共小题，共 105 分分二、填空题，本大题共二、填空题，本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分，试题中包含两个空的，答对分，试题中包含两个空的，答对 1 个个的给的给 3 分，全部答对的给分，全部答对的给 5 分分10.i是虚数单位，复数92i2i_11. 在6312xx的展开式中，6x的系数是_12. 若斜率为3的直线与y轴交于点A，与圆2211xy相切于点B，则AB _13. 若0,0ab，则21abab的最小值为_14. 甲、乙两人在每次猜
6、谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为56和15，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为_，3 次活动中，甲至少获胜 2次的概率为_15. 在边长为 1 的等边三角形 ABC 中，D 为线段 BC 上的动点，DEAB且交 AB 于点 E/DF AB且交 AC 于点 F,则|2|BEDF 的值为_；()DEDFDA 的最小值为_三、解答题，本大题共三、解答题，本大题共 5 小题，共小题，共 75 分，解答应写出文字说明，证明过程成演算步骤分，解答应写出文字说明，证明过程成演
7、算步骤16. 在ABC，角 , ,A B C所对的边分别为, ,a b c，已知sin:sin:sin2:1:2ABC ，2b （I）求 a的值；（II）求cosC的值；（III）求sin 26C的值17. 如图，在棱长为 2 的正方体1111ABCDABC D中，E 为棱 BC 的中点，F 为棱 CD 的中点（I）求证：1/ /D F平面11AEC；（II）求直线1AC与平面11AEC所成角的正弦值（III）求二面角11AACE的正弦值18. 已知椭圆222210 xyabab的右焦点为F，上顶点为B，离心率为2 55，且5BF （1）求椭圆的方程；（2）直线l与椭圆有唯一的公共点M，与y轴
8、的正半轴交于点N，过N与BF垂直的直线交x轴于点P若/MP BF，求直线l的方程19. 已知 na是公差为 2 的等差数列，其前 8 项和为 64 nb是公比大于 0 的等比数列，1324,48bbb（I）求 na和 nb的通项公式；（II）记2*1,nnncbbnN，（i）证明22nncc是等比数列；（ii）证明*11222 2nkkkkkanNcac20. 已知0a ，函数( )xf xaxxe（I）求曲线( )yf x在点(0,(0)f处的切线方程：（II）证明( )f x存在唯一的极值点（III）若存在 a，使得( )f xab对任意xR成立，求实数 b 的取值范围2021 年普通高等
9、学校招生全国统一考试（天津卷）年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学数学第第 I 卷卷注意事项：注意事项：1每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，擦干净后，再选涂其他答案标号，2，本卷共，本卷共 9 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 45 分分参考公式：参考公式：如果事件如果事件 A、B 互斥，那么互斥，那么()( )( )P ABP AP B如果事件如果事件 A、B 相互独立，那么相互独立，那么()( )( )P ABP A P B球的体
10、积公式球的体积公式313VR，其中，其中 R 表示球的半径表示球的半径圆锥的体积公式圆锥的体积公式13VSh，其中，其中 S 表示圆锥的底面面积，表示圆锥的底面面积，h 表示圆锥的高表示圆锥的高一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设集合1,0,11,3,5 ,0,2,4ABC ，则()ABC（）A. 0B.0,1,3,5C.0,1,2,4D.0,2,3,4【答案】C【解析】【分析】根据交集并集的定义即可求出.【详解】1,0,11,3,5 ,0,2,4ABC ， 1AB，()0,1,2,4ABC.故选：
11、C.2. 已知aR，则“6a ”是“236a ”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不允分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由充分条件、必要条件的定义判断即可得解.【详解】由题意，若6a ，则236a ，故充分性成立；若236a ，则6a 或6a ，推不出6a ，故必要性不成立；所以“6a ”是“236a ”的充分不必要条件.故选：A.3. 函数2ln |2xyx的图像大致为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由函数为偶函数可排除 AC，再由当0,1x时， 0f x ，排除 D，即可得解.【详解】设 2ln |2xyf xx，则函数 f x的定义域
12、为0 x x ，关于原点对称，又 2ln |2xfxf xx，所以函数 f x为偶函数，排除 AC；当0,1x时，2ln0,2 0 xx ，所以 0f x ，排除 D.故选：B.4. 从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分数据，将所得400个评分数据分为8组：66,70、70,74、L、94,98，并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间82,86内的影视作品数量是（）A.20B.40C.64D.80【答案】D【解析】【分析】利用频率分布直方图可计算出评分在区间82,86内的影视作品数量.【详解】由频率分布直方图可知，评分在区间82,86内的影视作品数量为400 0.05 4
13、80.故选：D.5. 设0.3212log 0.3,log 0.4,0.4abc，则 a，b，c 的大小关系为（）A.abcB.cabC.bcaD.acb【答案】D【解析】【分析】根据指数函数和对数函数的性质求出, ,a b c的范围即可求解.【详解】22log 0.3log 10，0a，122225log 0.4log 0.4loglog 212 ，1b ，0.3000.40.41，01c ，acb.故选：D.6. 两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为323，两个圆锥的高之比为1:3，则这两个圆锥的体积之和为（）A.3B.4C.9D.12【答案】B【解析】【分析】作
14、出图形，计算球体的半径，可计算得出两圆锥的高，利用三角形相似计算出圆锥的底面圆半径，再利用锥体体积公式可求得结果.【详解】如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点D，设圆锥AD和圆锥BD的高之比为3:1，即3ADBD，设球的半径为R，则343233R，可得2R ，所以，44ABADBDBD，所以，1BD ，3AD ，CDAB，则90CADACDBCDACD ，所以，CADBCD，又因为ADCBDC ，所以，ACDCBD，所以，ADCDCDBD，3CDAD BD，因此，这两个圆锥的体积之和为2113 4433CDADBD .故选：B.7. 若2510ab，则11ab（）A.1B.lg7C. 1D.
15、7log 10【答案】C【解析】【分析】由已知表示出, a b，再由换底公式可求.【详解】2510ab，25log 10,log 10ab，251111lg2lg5lg101log 10log 10ab.故选：C.8. 已知双曲线22221(0,0)xyabab的右焦点与抛物线22(0)ypx p的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于 A， B 两点， 交双曲线的渐近线于 C、 D 两点， 若2 |CDAB 则双曲线的离心率为 （）A.2B.3C. 2D. 3【答案】A【解析】【分析】设公共焦点为,0c，进而可得准线为xc ，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得2212ac，再由双曲线离心
16、率公式即可得解.【详解】设双曲线22221(0,0)xyabab与抛物线22(0)ypx p的公共焦点为,0c，则抛物线22(0)ypx p的准线为xc ，令xc ，则22221cyab，解得2bya ，所以22bABa,又因为双曲线的渐近线方程为byxa ，所以2bcCDa，所以222 2bcbaa，即2cb，所以222212acbc，所以双曲线的离心率2cea.故选：A.9. 设aR，函数22cos(22). ( )2(1)5,xaxaf xxaxaxa，若( )f x在区间(0,)内恰有 6 个零点，则 a 的取值范围是（）A.95 112,42 4B.5711,2,42 4C.9112
17、,344D.11,2,3447【答案】A【解析】【分析】由222150 xaxa最多有 2 个根，可得cos 220 xa至少有 4 个根，分别讨论当xa和xa时两个函数零点个数情况，再结合考虑即可得出.【详解】222150 xaxa最多有 2 个根，所以cos 220 xa至少有 4 个根，由22,2xakkZ可得1,24kxa kZ，由1024kaa可得11222ak ，（1）xa时，当15242a 时， f x有 4 个零点，即7944a；当16252a ， f x有 5 个零点，即91144a；当17262a ， f x有 6 个零点，即111344a；（2）当xa时，22( )2(1
18、)5f xxaxa，224(1)4582aaa，当2a 时， ， f x无零点；当2a 时，0 ， f x有 1 个零点；当2a 时，令22( )2 (1)5250f aaa aaa ，则522a，此时 f x有 2 个零点；所以若52a 时， f x有 1 个零点.综上，要使( )f x在区间(0,)内恰有 6 个零点，则应满足7944522aa或91144522aaa或或1113442aa，则可解得 a 的取值范围是95 112,42 4.【点睛】关键点睛：解决本题的关键是分成xa和xa两种情况分别讨论两个函数的零点个数情况.第第 II 卷卷注意事项注意事项1用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案
19、写在答题卡上用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上2本卷共本卷共 11 小题，共小题，共 105 分分二、填空题，本大题共二、填空题，本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分，试题中包含两个空的，答对分，试题中包含两个空的，答对 1 个个的给的给 3 分，全部答对的给分，全部答对的给 5 分分10.i是虚数单位，复数92i2i_【答案】4i【解析】【分析】利用复数的除法化简可得结果.【详解】92i2i92i205i4i2i2i2i5.故答案为：4i.11. 在6312xx的展开式中，6x的系数是_【答案】160【解析】【分析】求出二项式的展开式通项，令x的指数为
20、6 即可求出.【详解】6312xx的展开式的通项为63618 4166122rrrrrrrTCxCxx，令1846r，解得3r ，所以6x的系数是3362160C .故答案为：160.12. 若斜率为3的直线与y轴交于点A，与圆2211xy相切于点B，则AB _【答案】3【解析】【分析】设直线AB的方程为3yxb，则点0,Ab，利用直线AB与圆2211xy相切求出b的值，求出AC，利用勾股定理可求得AB.【详解】设直线AB的方程为3yxb，则点0,Ab，由于直线AB与圆2211xy相切，且圆心为0,1C，半径为1，则112b，解得1b或3b ，所以2AC ，因为1BC ，故223ABACBC.
21、故答案为：3.13. 若0,0ab，则21abab的最小值为_【答案】2 2【解析】【分析】两次利用基本不等式即可求出.【详解】0,0ab，221122222 2aabbababbbbb，当且仅当21aab且2bb，即2ab时等号成立，所以21abab的最小值为2 2.故答案为：2 2.14. 甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为56和15，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为_，3 次活动中，甲至少获胜 2次的概率为_【答案】.23.2027【解析
22、】【分析】根据甲猜对乙没有才对可求出一次活动中，甲获胜的概率；在 3 次活动中，甲至少获胜 2 次分为甲获胜 2 次和 3 次都获胜求解.【详解】由题可得一次活动中，甲获胜的概率为564253；则在 3 次活动中，甲至少获胜 2 次的概率为23232122033327C.故答案为：23；2027.15. 在边长为 1 的等边三角形 ABC 中，D 为线段 BC 上的动点，DEAB且交 AB 于点 E/DF AB且交 AC 于点 F,则|2|BEDF 的值为_；()DEDFDA 的最小值为_【答案】. 1.1120【解析】【分析】设BEx，由222(2)44BEDFBEBE DFDF 可求出；将
23、()DEDFDA 化为关于x的关系式即可求出最值.【详解】设BEx，10,2x，ABC为边长为 1 的等边三角形，DEAB，30 ,2 ,3 ,1 2BDEBDx DEx DCx ，/DF AB，DFC为边长为1 2x的等边三角形，DEDF，22222(2)4444 (1 2 ) cos0(1 2 )1BEDFBEBE DFDFxxxx ，|2| 1BEDF ，2()() ()DEDFDADEDFDEEADEDF EA 222311( 3 )(1 2 ) (1)53151020 xxxxxx ，所以当310 x 时，()DEDFDA 的最小值为1120.故答案为：1；1120.三、解答题，本大
24、题共三、解答题，本大题共 5 小题，共小题，共 75 分，解答应写出文字说明，证明过程成演算步骤分，解答应写出文字说明，证明过程成演算步骤16. 在ABC，角 , ,A B C所对的边分别为, ,a b c，已知sin:sin:sin2:1:2ABC ，2b （I）求 a 的值；（II）求cosC的值；（III）求sin 26C的值【答案】 （I）2 2； （II）34； （III）3 21 116【解析】【分析】 （I）由正弦定理可得: :2:1:2a b c ，即可求出；（II）由余弦定理即可计算；（III）利用二倍角公式求出2C的正弦值和余弦值，再由两角差的正弦公式即可求出.【详解】 （
25、I）因为sin:sin:sin2:1:2ABC ，由正弦定理可得: :2:1:2a b c ，2b ，2 2,2ac；（II）由余弦定理可得2228243cos242 2 22abcCab；（III）3cos4C ，27sin1 cos4CC，733 7sin22sincos2448CCC，291cos22cos121168CC ，所以sin 2sin2coscos2sin666CCC3 73113 21 1828216.17. 如图，在棱长为 2 的正方体1111ABCDABC D中，E 为棱 BC 的中点，F 为棱 CD 的中点（I）求证：1/ /D F平面11AEC；（II）求直线1AC
26、与平面11AEC所成角的正弦值（III）求二面角11AACE的正弦值【答案】 （I）证明见解析； （II）39； （III）13.【解析】【分析】 （I）建立空间直角坐标系，求出1D F 及平面11AEC的一个法向量m，证明1mD F ，即可得证；（II）求出1AC ，由1sincos, AmC 运算即可得解；（III）求得平面11AAC的一个法向量DB ，由cos,DB mDB mDBm 结合同角三角函数的平方关系即可得解.【详解】 （I）以A为原点，1,AB AD AA分别为, ,x y z轴，建立如图空间直角坐标系，则0,0,0A,10,0,2A,2,0,0B,2,2,0C,0,2,0D
27、,12,2,2C,10,2,2D，因为 E 为棱 BC 的中点，F 为棱 CD 的中点，所以2,1,0E，1,2,0F，所以11,0, 2D F ,112,2,0AC ,12,1, 2AE ,设平面11AEC的一个法向量为111,mx y z，则11111111202202mxymxyAAEzC，令12x ，则2, 2,1m ，因为1220mD F ，所以1mD F ，因为1D F 平面11AEC，所以1/ /D F平面11AEC；（II）由（1）得，12,2,2AC ，设直线1AC与平面11AEC所成角为，则11123sincos,93 2 3m ACACmmCA ；（III）由正方体的特征
28、可得，平面11AAC的一个法向量为2, 2,0DB ，则82 2cos,33 2 2DB mDB mDBm ，所以二面角11AACE的正弦值为211 cos,3DB m .18. 已知椭圆222210 xyabab的右焦点为F，上顶点为B，离心率为2 55，且5BF （1）求椭圆的方程；（2）直线l与椭圆有唯一的公共点M，与y轴的正半轴交于点N，过N与BF垂直的直线交x轴于点P若/MP BF，求直线l的方程【答案】 （1）2215xy； （2）60 xy.【解析】【分析】 （1）求出a的值，结合c的值可得出b的值，进而可得出椭圆的方程；（2）设点00,M xy，分析出直线l的方程为0015x
29、xy y，求出点P的坐标，根据/MP BF可得出MPBFkk，求出0 x、0y的值，即可得出直线l的方程.【详解】 （1）易知点,0F c、0,Bb，故225BFcba，因为椭圆的离心率为2 55cea，故2c ，221bac，因此，椭圆的方程为2215xy；（2）设点00,M xy为椭圆2215xy上一点，先证明直线MN的方程为0015x xy y，联立00221515x xy yxy，消去y并整理得220020 xx xx，2200440 xx ，因此，椭圆2215xy在点00,M xy处的切线方程为0015x xy y.在直线MN的方程中，令0 x ，可得01yy，由题意可知00y ，即
30、点010,Ny，直线BF的斜率为12BFbkc ，所以，直线PN的方程为012yxy，在直线PN的方程中，令0y ，可得012xy ，即点01,02Py，因为/MP BF，则MPBFkk，即20000002112122yyx yxy ，整理可得20050 xy，所以，005xy ，因为222000615xyy，00y，故066y ，05 66x ，所以，直线l的方程为66166xy，即60 xy.【点睛】结论点睛：在利用椭圆的切线方程时，一般利用以下方法进行直线：（1）设切线方程为ykxm与椭圆方程联立，由0 进行求解；（2）椭圆22221xyab在其上一点00,xy的切线方程为00221x
31、xy yab，再应用此方程时，首先应证明直线00221x xy yab与椭圆22221xyab相切.19. 已知 na是公差为 2 的等差数列，其前 8 项和为 64 nb是公比大于 0 的等比数列，1324,48bbb（I）求 na和 nb的通项公式；（II）记2*1,nnncbbnN，（i）证明22nncc是等比数列；（ii）证明*11222 2nkkkkkanNcac【答案】 （I）21,nannN，4 ,nnNbn； （II） （i）证明见解析； （ii）证明见解析.【解析】【分析】 （I）由等差数列的求和公式运算可得 na的通项，由等比数列的通项公式运算可得 nb的通项公式；（II）
32、 （i）运算可得222 4nnncc，结合等比数列的定义即可得证；（ii）放缩得2122242 2nnnnnancac，进而可得111122122nkknkkkkkakcca，结合错位相减法即可得证.【详解】 （I）因为 na是公差为 2 的等差数列，其前 8 项和为 64所以12818 782642aaaa，所以11a ，所以12121,nnnnNaa；设等比数列 nb的公比为,0q q ，所以221321484qbbbqqbq，解得4q （负值舍去） ，所以114 ,nnnbqnNb；（II） （i）由题意，221441nnnnnbcb，所以22224211442 444nnnnnnncc
33、，所以220nncc，且21222212 442 4nnnnnncccc，所以数列22nncc是等比数列；（ii）由题意知，221222221214142 42 22 2nnnnnnnnnanncca，所以2122124212 222 22nnnnnnnannancc，所以111122122nkknkkkkkakcca，设10121112322222nnknkknT，则123112322222nnnT ，两式相减得21111111122121222222212nnnnnnnnnT ，所以1242nnnT，所以111112211242 22222nnkknkkkkkakncca.【点睛】关键点点
34、睛：最后一问考查数列不等式的证明，因为2112nkkkkkacca无法直接求解，应先放缩去除根号，再由错位相减法即可得证.20. 已知0a ，函数( )xf xaxxe（I）求曲线( )yf x在点(0,(0)f处的切线方程：（II）证明( )f x存在唯一的极值点（III）若存在 a，使得( )f xab对任意xR成立，求实数 b 的取值范围【答案】 （I）(1) ,(0)yax a； （II）证明见解析； （III）, e【解析】【分析】 （I）求出 f x在0 x 处的导数，即切线斜率，求出 0f，即可求出切线方程；（II） 令 0fx， 可得(1)xaxe， 则可化为证明ya与 yg
35、x仅有一个交点， 利用导数求出 g x的变化情况，数形结合即可求解；（III）令2( )1,(1)xh xxxex ，题目等价于存在( 1,)x ，使得( )h xb，即min( )bh x，利用导数即可求出 h x的最小值.【详解】 （I）( )(1)xfxaxe，则(0)1fa，又(0)0f，则切线方程为(1) ,(0)yax a；（II）令( )(1)0 xfxaxe，则(1)xaxe，令( )(1)xg xxe，则( )(2)xg xxe，当(, 2)x 时，( )0g x， g x单调递减；当( 2,)x 时，( )0g x， g x单调递增，当x 时， 0g x ，10g ，当x
36、时， 0g x ，画出 g x大致图像如下：所以当0a 时，ya与 yg x仅有一个交点，令 g ma，则1m ，且( )( )0fmag m，当(,)xm 时，( )ag x，则( )0fx， f x单调递增，当,xm时，( )ag x，则( )0fx， f x单调递减，xm为 f x的极大值点，故( )f x存在唯一的极值点；（III）由（II）知max( )( )f xf m，此时)1(1,mam em ，所以2max ( )( )1(1),mf xaf mammem ，令2( )1,(1)xh xxxex ，若存在 a，使得( )f xab对任意xR成立，等价于存在( 1,)x ，使得( )h xb，即min( )bh x，2( )2(1)(2)xxh xxxexxe，1x ，当( 1,1)x 时，( )0h x， h x单调递减，当(1,)x时，( )0h x， h x单调递增，所以min( )(1)h xhe ，故be ，所以实数 b 的取值范围, e.【点睛】关键点睛：第二问解题的关键是转化为证明ya与 yg x仅有一个交点；第三问解题的关键是转化为存在( 1,)x ，使得( )h xb，即min( )bh x.