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1、2021 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数数学学第一部分（选择题共第一部分（选择题共 40 分）分）一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项要求的一项1. 已知集合| 11Axx ，|02Bxx，则AB（）A.| 12xx B.| 12xx C.|01xxD.|02xx2.在复平面内，复数z满足(1)2i z，则z （）A.1 i B.1 i C.1iD.1 i3. 已知( )f x是定义在上0,1的函数，那么
2、“函数( )f x在0,1上单调递增”是“函数( )f x在0,1上的最大值为(1)f”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（）A.33+22B.33C.332D.33+25. 若双曲线2222:1xyCab离心率为2，过点2, 3，则该双曲线的方程为（）A.2221xyB.2213yx C.22531xyD.22126xy6. 中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长12345,a a a a a(单位
3、:cm)成等差数列，对应的宽为12345,b b b b b(单位: cm),且长与宽之比都相等，已知1288a ，596a，1192b ，则3b A. 64B. 96C. 128D. 1607. 函数( )coscos2f xxx是A. 奇函数，且最大值为 2B. 偶函数，且最大值为 2C. 奇函数，且最大值为98D. 偶函数，且最大值为988. 某一时间段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位：mm） 24h 降雨量的等级划分如下：在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为 200 mm，高为 300 mm 的圆锥形雨量器.若
4、一次降雨过程中，该雨量器收集的 24h 的雨水高度是 150 mm（如图所示)，则这 24h 降雨量的等级是A. 小雨B. 中雨C. 大雨D. 暴雨9. 已知直线ykxm（m为常数）与圆224xy交于点MN，当k变化时，若|MN的最小值为 2，则m A.B.2C.3D.210. 已知 na是各项均为整数的递增数列，且13a ，若12100naaa，则n的最大值为（）A. 9B. 10C. 11D. 12第二部分（非选择题共第二部分（非选择题共 110 分）分）二、填空题二、填空题 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分11. 在341()xx的展开式中，常数项为_12. 已
5、知抛物线24yx的焦点为F，点M在抛物线上，MN垂直x轴与于点N.若6MF ，则点M的横坐标为_；MNF的面积为_13. 已知向量, ,a b c在正方形网格中的位置如图所示若网格纸上小正方形的边长为 1，则()abc_；=a b _.14. 若点(cos ,sin )A关于y轴对称点为(cos(),sin()66B，写出的一个取值为_15. 已知函数( )lg2f xxkx，给出下列四个结论：若0k ，( )f x恰 有 2 个零点；存在负数k，使得( )f x恰有个 1 零点；存在负数k，使得( )f x恰有个 3 零点；存在正数k，使得( )f x恰有个 3 零点其中所有正确结论的序号是
6、_三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 85 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程16. 在ABC中，2 coscbB，23C（1）求B；（2）再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使ABC存在且唯一确定，求BC边上中线的长条件：2cb；条件：ABC的周长为42 3；条件：ABC的面积为3 34；17. 如图：在正方体1111ABCDABC D中，E为11AD中点，11BC与平面CDE交于点F（1）求证：F为11BC的中点；（2）点M是棱11AB上一点，且二面角MFCE的余弦值为53，求111AMAB的值18. 在核酸检测中
7、, “k 合 1” 混采核酸检测是指：先将 k 个人的样本混合在一起进行 1 次检测,如果这 k 个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检测结束:如果这 k 个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行 1 次检测,得到每人的检测结果，检测结束.现对 100 人进行核酸检测，假设其中只有 2 人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确.（I）将这 100 人随机分成 10 组，每组 10 人，且对每组都采用“10 合 1”混采核酸检测.(i)如果感染新冠病毒的 2 人在同一组，求检测的总次数;(ii)已知感染新冠病毒的 2 人分在同一组的概率为111
8、.设 X 是检测的总次数，求 X 的分布列与数学期望 E(X).(II）将这 100 人随机分成 20 组，每组 5 人，且对每组都采用“5 合 1”混采核酸检测.设 Y 是检测的总次数，试判断数学期望 E(Y)与(I)中 E(X)的大小.(结论不要求证明)19. 已知函数 232xf xxa（1）若0a ，求曲线 yf x在点 1,1f处的切线方程；（2）若 fx在1x 处取得极值，求 fx的单调区间，以及其最大值与最小值20. 已知椭圆2222:1(0)xyEabab一个顶 点(0, 2)A，以椭圆E的四个顶点为顶点的四边形面积为4 5（1）求椭圆 E 的方程；（2）过点 P(0，-3)的
9、直线 l 斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同的两点 B，C，直线 AB，AC 分别与直线交y=-3 交于点 M，N，当|PM|+|PN|15 时，求 k 的取值范围21. 设 p 为实数.若无穷数列 na满足如下三个性质，则称 na为p数列：10ap，且20ap；414,1,2,nnaan()；,1m nmnmnaaap aap，,1,2,m n （1）如果数列 na的前 4 项为 2，-2，-2，-1，那么 na是否可能为2数列？说明理由；（2）若数列 na是0数列，求5a；（3）设数列 na的前n项和为nS.是否存在p数列 na，使得10nSS恒成立？如果存在，求出所有的p；如果不存在
10、，说明理由2021 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学第一部分（选择题共第一部分（选择题共 40 分）分）一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项要求的一项1. 已知集合| 11Axx ，|02Bxx，则AB（）A.| 12xx B.| 12xx C.|01xxD.|02xx【答案】B【解析】【分析】结合题意利用并集的定义计算即可.【详解】由题意可得：| 12ABxx .故选：B.2. 在复平面内，复数z满
11、足(1)2i z，则z （）A.1 i B.1 i C.1iD.1 i【答案】D【解析】【分析】由题意利用复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可得：2 12 1211112iiziiii .故选：D.3. 已知( )f x是定义在上0,1的函数，那么“函数( )f x在0,1上单调递增”是“函数( )f x在0,1上的最大值为(1)f”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系.【详解】若函数 f x在0,1上单调递增，则 f x在0,1上的最大值为 1
12、f，若 f x在0,1上的最大值为 1f，比如 213f xx，但 213f xx在10,3为减函数，在1,13为增函数，故 f x在0,1上的最大值为 1f推不出 f x在0,1上单调递增，故“函数 f x在0,1上单调递增”是“ f x在0,1上的最大值为 1f”的充分不必要条件，故选：A.4. 某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（）A.33+22B.33C.332D.33+2【答案】A【解析】【分析】根据三视图可得如图所示的几何体（三棱锥） ，根据三视图中的数据可计算该几何体的表面积.【详解】根据三视图可得如图所示的几何体-正三棱锥OABC，其侧面为等腰直角三角形，底面等边三角
13、形，由三视图可得该正三棱锥的侧棱长为 1，故其表面积为2133331 12242 ，故选：A.5. 若双曲线2222:1xyCab离心率为2，过点2, 3，则该双曲线的方程为（）A.2221xyB.2213yx C.22531xyD.22126xy【答案】B【解析】【分析】分析可得3ba，再将点2, 3代入双曲线的方程，求出a的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】2cea，则2ca，223bcaa，则双曲线的方程为222213xyaa，将点2, 3的坐标代入双曲线的方程可得22223113aaa，解得1a ，故3b ，因此，双曲线的方程为2213yx .故选：B6. 中国共产党党旗党徽制作和
14、使用的若干规定指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长12345,a a a a a(单位:cm)成等差数列，对应的宽为12345,b b b b b(单位: cm),且长与宽之比都相等，已知1288a ，596a，1192b ，则3b A. 64B. 96C. 128D. 160【答案】C【解析】【分析】设等差数列 na公差为d，求得48d ，得到3192a ，结合党旗长与宽之比都相等和1192b ，列出方程，即可求解.【详解】由题意，五种规格党旗的长12345,a a a a a(单位:cm)成等差数列，设公差为d，因为1288a ，596a，
15、可得5196288485 13aad ，可得3288(3 1) ( 48)192a ，又由长与宽之比都相等，且1192b ，可得3113aabb，所以3131192 192=128288abba.故选：C.7. 函数( )coscos2f xxx是A. 奇函数，且最大值为 2B. 偶函数，且最大值为 2C. 奇函数，且最大值为98D. 偶函数，且最大值为98【答案】D【解析】【分析】由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大值.【详解】由题意， ()coscos2coscos2fxxxxxf x，所以该函数为偶函数，又2219( )coscos
16、22coscos12 cos48f xxxxxx ，所以当1cos4x 时，( )f x取最大值98.故选：D.8. 某一时间段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位：mm） 24h 降雨量的等级划分如下：在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为 200 mm，高为 300 mm 的圆锥形雨量器.若一次降雨过程中，该雨量器收集的 24h 的雨水高度是 150 mm（如图所示)，则这 24h 降雨量的等级是A. 小雨B. 中雨C. 大雨D. 暴雨【答案】B【解析】【分析】计算出圆锥体积，除以圆面的面积即可得降雨量，即可得解.【详解
17、】 由题意， 一个半径为200100 mm2的圆面内的降雨充满一个底面半径为20015050 mm2300，高为150 mm的圆锥，所以积水厚度22150150312.5 mm100d，属于中雨.故选：B.9. 已知直线ykxm（m为常数）与圆224xy交于点MN，当k变化时，若|MN的最小值为 2，则m A.B.2C.3D.2【答案】C【解析】【分析】先求得圆心到直线距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出m【详解】由题可得圆心为0,0，半径为 2，则圆心到直线的距离21mdk，则弦长为22|2 41mMNk，则当0k 时，弦长|MN取得最小值为22 42m，解得3m .故选：C.10. 已
18、知 na是各项均为整数的递增数列，且13a ，若12100naaa，则n的最大值为（）A. 9B. 10C. 11D. 12【答案】C【解析】【分析】使数列首项、递增幅度均最小，结合等差数列的通项及求和公式求得n可能的最大值，然后构造数列满足条件，即得到n的最大值【详解】若要使 n 尽可能的大，则，递增幅度要尽可能小，不妨设数列是首项为 3，公差为 1 的等差数列，其前 n 项和为，则，所以11n .对于，取数列各项为(1,2,10)n ，1125a,则1211100aaa，所以 n 的最大值为 11故选：C第二部分（非选择题共第二部分（非选择题共 110 分）分）二、填空题二、填空题 5 小
19、题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分11. 在341()xx的展开式中，常数项为_【答案】4【解析】【分析】利用二项式定理求出通项公式并整理化简，然后令x的指数为零，求解并计算得到答案.【详解】的展开式的通项令1240r，解得，故常数项为故答案为：4.12. 已知抛物线24yx的焦点为F，点M在抛物线上，MN垂直x轴与于点N.若6MF ，则点M的横坐标为_；MNF的面积为_【答案】. 5.4 5【解析】【分析】根据焦半径公式可求M的横坐标，求出纵坐标后可求FMNS.【详解】因为抛物线的方程为24yx，故2p 且1,0F.因为6MF ，62Mpx，解得5Mx，故2 5My ，所以
20、15 12 54 52FMNS，故答案为：5；4 5.13. 已知向量, ,a b c在正方形网格中的位置如图所示若网格纸上小正方形的边长为 1，则()abc_；=a b _.【答案】. 0. 3【解析】【分析】根据坐标求出ab，再根据数量积的坐标运算直接计算即可.【详解】以, a b交点为坐标原点，建立直角坐标系如图所示：则(2,1),(2, 1),(0,1)abc，4,0ab，()4 00 10abc ，22113a b .故答案为：0；3.14. 若点(cos ,sin )A关于y轴对称点为(cos(),sin()66B，写出的一个取值为_【答案】512（满足5,12kkZ即可）【解析】
21、【分析】根据,A B在单位圆上，可得,6 关于y轴对称，得出2,6kkZ求解.【详解】(cos ,sin )A与cos,sin66B关于y轴对称，即,6 关于y轴对称，2,6kkZ，则5,12kkZ，当0k 时，可取的一个值为512.故答案为：512（满足5,12kkZ即可）.15. 已知函数( )lg2f xxkx，给出下列四个结论：若0k ，( )f x恰 有 2 个零点；存在负数k，使得( )f x恰有个 1 零点；存在负数k，使得( )f x恰有个 3 零点；存在正数k，使得( )f x恰有个 3 零点其中所有正确结论的序号是_【答案】【解析】【分析】由 0f x 可得出lg2xkx，
22、考查直线2ykx与曲线 lgg xx的左、右支分别相切的情形，利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正误.【详解】对于，当0k 时，由 lg20f xx，可得1100 x 或100 x ，正确；对于，考查直线2ykx与曲线lg01yxx 相切于点,lgP tt，对函数lgyx 求导得1ln10yx ，由题意可得2lg1ln10kttkt ，解得100100lgetkee ，所以，存在100lg0kee ，使得 f x只有一个零点，正确；对于，当直线2ykx过点1,0时，20k ，解得2k ，所以，当100lg2eke 时，直线2ykx与曲线lg01yxx 有两个交点，若函数 f x有三个零点，
23、则直线2ykx与曲线lg01yxx 有两个交点，直线2ykx与曲线lg1yx x有一个交点，所以，100lg220ekek ，此不等式无解，因此，不存在0k ，使得函数 f x有三个零点，错误；对于，考查直线2ykx与曲线lg1yx x相切于点,lgP tt，对函数lgyx求导得1ln10yx，由题意可得2lg1ln10kttkt，解得100lg100teeke，所以，当lg0100eke时，函数 f x有三个零点，正确.故答案为：.【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：（1）转化，即通过构造函数，把问题转
24、化成所构造函数的零点问题；（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 85 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程16. 在ABC中，2 coscbB，23C（1）求B；（2）再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使ABC存在且唯一确定，求BC边上中线的长条件：2cb；条件：ABC的周长为42 3；条件：ABC的面积为3 34；【答案】 （1）6； （2）答案不唯一，具体见解析【解析】【分析】 （1）由正弦定理化边为角即可求解
25、；（2）若选择：由正弦定理求解可得不存在；若选择：由正弦定理结合周长可求得外接圆半径，即可得出各边，再由余弦定理可求；若选择：由面积公式可求各边长，再由余弦定理可求.【详解】 （1）2 coscbB，则由正弦定理可得sin2sincosCBB，23sin2sin32B，23C，0,3B，220,3B，23B，解得6B；（2）若选择：由正弦定理结合（1）可得3sin231sin2cCbB，与2cb矛盾，故这样的ABC不存在；若选择：由（1）可得6A，设ABC的外接圆半径为R，则由正弦定理可得2 sin6abRR，22 sin33cRR，则周长2342 3abcRR，解得2R ，则2,2 3ac，
26、由余弦定理可得BC边上的中线的长度为：222 3122 3 1 cos76 ；若选择：由（1）可得6A，即ab，则21133 3sin2224ABCSabCa，解得3a ，则由余弦定理可得BC边上的中线的长度为：22233212cos33223422aabb .17. 如图：在正方体1111ABCDABC D中，E为11AD中点，11BC与平面CDE交于点F（1）求证：F为11BC的中点；（2）点M是棱11AB上一点，且二面角MFCE的余弦值为53，求111AMAB的值【答案】 （1）证明见解析； （2）11112AMAB【解析】【分析】(1)首先将平面CDE进行扩展，然后结合所得的平面与直线
27、11BC的交点即可证得题中的结论；(2)建立空间直角坐标系，利用空间直角坐标系求得相应平面的法向量，然后解方程即可求得实数的值.【详解】(1)如图所示，取11BC的中点F，连结,DE EF F C，由于1111ABCDABC D为正方体，,E F为中点，故EFCD，从而,E F C D四点共面，即平面 CDE 即平面CDEF，据此可得：直线11BC交平面CDE于点F，当直线与平面相交时只有唯一的交点，故点F与点F重合，即点F为11BC中点.(2)以点D为坐标原点，1,DA DC DD方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系Dxyz，不妨设正方体的棱长为 2，设11101AMAB，则
28、：2,2 ,2 ,0,2,0 ,1,2,2 ,1,0,2MCFE，从而：2,22 , 2 ,1,0,2 ,0, 2,0MCCFFE ，设平面MCF的法向量为：111,mx y z，则：111112222020m MCxyzm CFxz ，令11z 可得：12, 11m，设平面CFE的法向量为：222,nxy z，则：2222020n FEyn CFxz ，令11z 可得：2,0, 1n ，从而：215,5,51m nmn ，则：2,155155cos3m nm nmn ，整理可得：2114，故12（32舍去）.【点睛】本题考查了立体几何中的线面关系和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力
29、和逻辑推理能力，对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.18. 在核酸检测中, “k 合 1” 混采核酸检测是指：先将 k 个人的样本混合在一起进行 1 次检测,如果这 k 个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检测结束:如果这 k 个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行 1 次检测,得到每人的检测结果，检测结束.现对 100 人进行核酸检测，假设其中只有 2 人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确.（I）将这 100 人随机分成 10 组，每组 10 人，且对每组都采用“10 合
30、1”混采核酸检测.(i)如果感染新冠病毒的 2 人在同一组，求检测的总次数;(ii)已知感染新冠病毒的 2 人分在同一组的概率为111.设 X 是检测的总次数，求 X 的分布列与数学期望 E(X).(II）将这 100 人随机分成 20 组，每组 5 人，且对每组都采用“5 合 1”混采核酸检测.设 Y 是检测的总次数，试判断数学期望 E(Y)与(I)中 E(X)的大小.(结论不要求证明)【答案】 （1）20次；分布列见解析；期望为32011； （2） E YE X【解析】【分析】 （1）由题设条件还原情境，即可得解；求出 X 的取值情况，求出各情况下的概率，进而可得分布列，再由期望的公式即可
31、得解；（2）求出两名感染者在一组的概率，进而求出 E Y，即可得解.【详解】 （1）对每组进行检测，需要 10 次；再对结果为阳性的组每个人进行检测，需要 10 次；所以总检测次数为 20 次；由题意，X可以取 20，30，12011P X ，1103011111P X ，则X的分布列:X2030P1111011所以1103202030111111E X ；（2）由题意，Y可以取 25，30，两名感染者在同一组的概率为232981510020499C CPC，不在同一组的概率为19599P ，则 49529502530=999999E YE X.19. 已知函数 232xf xxa（1）若0a
32、 ，求曲线 yf x在点 1,1f处的切线方程；（2）若 f x在1x 处取得极值，求 f x的单调区间，以及其最大值与最小值【答案】 （1）450 xy； （2）函数 f x的增区间为, 1 、4,，单调递减区间为1,4，最大值为1，最小值为14.【解析】【分析】 （1）求出 1f、 1f 的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；（2）由10f 可求得实数a的值，然后利用导数分析函数 f x的单调性与极值，由此可得出结果.【详解】 （1）当0a 时， 232xfxx，则 323xfxx， 11f， 14f ，此时，曲线 yf x在点 1,1f处的切线方程为141yx ，即450 xy；（2）因
33、为 232xf xxa，则 222222223223xaxxxxafxxaxa，由题意可得22 4101afa ，解得4a ，故 2324xfxx， 222144xxfxx，列表如下：x, 1 11,444, fx00 f x增极大值减极小值增所以，函数 f x的增区间为, 1 、4,，单调递减区间为1,4.当32x 时， 0f x ；当32x 时， 0f x .所以， max11f xf， min144fxf .20. 已知椭圆2222:1(0)xyEabab一个顶 点(0, 2)A，以椭圆E的四个顶点为顶点的四边形面积为4 5（1）求椭圆 E 的方程；（2）过点 P(0，-3)的直线 l
34、斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同的两点 B，C，直线 AB，AC 分别与直线交y=-3 交于点 M，N，当|PM|+|PN|15 时，求 k 的取值范围【答案】 （1）22154xy； （2） 3, 1)(1,3 【解析】【分析】 （1）根据椭圆所过的点及四个顶点围成的四边形的面积可求, a b，从而可求椭圆的标准方程.（2）设1122,B x yC xy，求出直线,AB AC的方程后可得,M N的横坐标，从而可得PMPN，联立直线BC的方程和椭圆的方程，结合韦达定理化简PMPN，从而可求k的范围，注意判别式的要求.【详解】 （1）因为椭圆过0, 2A，故2b ，因为四个顶点围成的四边形
35、的面积为4 5，故1224 52ab，即5a ，故椭圆的标准方程为：22154xy.（2）设1122,B x yC xy，因为直线BC的斜率存在，故120 x x ，故直线112:2yAB yxx，令3y ，则112Mxxy ，同理222Nxxy .直线:3BC ykx，由2234520ykxxy可得224530250kxkx，故22900100 450kk ，解得1k 或1k .又1212223025,4545kxxx xkk，故120 x x ，所以0MNx x又1212=22MNxxPMPNxxyy2212121222212121222503024545=5253011114545kkk
36、x xxxxxkkkkkkxkxk x xk xxkk故515k 即3k ，综上，31k 或13k.21. 设 p 为实数.若无穷数列 na满足如下三个性质，则称 na为p数列：10ap，且20ap；414,1,2,nnaan()；,1m nmnmnaaap aap，,1,2,m n （1）如果数列 na的前 4 项为 2，-2，-2，-1，那么 na是否可能为2数列？说明理由；（2）若数列 na是0数列，求5a；（3） 设数列 na的前n项和为nS.是否存在p数列 na， 使得10nSS恒成立？如果存在， 求出所有的 p；如果不存在，说明理由【答案】 （1）不可以是2R数列；理由见解析； （
37、2）51a ； （3）存在；2p 【解析】【分析】(1)由题意考查3a的值即可说明数列不是2数列；(2)由题意首先确定数列的前 4 项，然后讨论计算即可确定5a的值；(3)构造数列nnbap，易知数列 nb是0的，结合(2)中的结论求解不等式即可确定满足题意的实数p的值.【详解】(1)因 为122,2,2,paa 所以12122,13aapaap ，因 为32,a 所 以312122,2 1aaaaa所以数列 na，不可能是2数列.(2)性质120,0aa，由性质2,1mmmaaa，因此31aa或311aa，40a 或41a ，若40a ，由性质可知34aa，即10a 或110a ，矛盾；若4
38、311,1aaa，由34aa有11 1a ，矛盾.因此只能是4311,aaa.又因为413aaa或4131aaa，所以112a 或10a .若112a ，则21 11111110,0 12 ,211,2aaaaaaaa，不满足20a ，舍去.当10a ，则 na前四项为:0，0，0，1，下面用数学归纳法证明444(1,2,3),1n inan iannN：当0n 时，经验证命题成立，假设当(0)nk k时命题成立，当1nk时：若1i ，则4541145kkjkjaaa ，利用性质：*45,144 ,1jkjaajNjkk k ，此时可得：451kak；否则，若45kak，取0k 可得：50a
39、，而由性质可得：5141,2aaa，与50a 矛盾.同理可得：*46,145 ,1jkjaajNjkk k ，有461kak；*48,2461,2jkjaajNjkkk ，有482kak；*47,1461jkjaajNjkk ，又因为4748kkaa，有471.kak即当1nk时命题成立，证毕.综上可得：10a ，54 1 11aa .(3)令nnbap，由性质可知：*,m nm nm nNbap,1mnmnapap apap,1mnmnbb bb，由于11224141440,0,nnnnbapbapbapapb，因此数列 nb为0数列.由（2）可知:若444,(1,2,3),1n innN anp ianp ；11111402 320aSSap ，910104 2 2(2)0SSaap ，因此2p ，此时1210,0a aa，011jaj，满足题意.【点睛】本题属于数列中的“新定义问题”，“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.