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1、第3章 正弦交流电路第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路3.1 正弦交流电路的基本知识正弦交流电路的基本知识3.2 单一参数的正弦交流电路单一参数的正弦交流电路3.3 RLC串联正弦交流电路串联正弦交流电路3.4 感性负载与电容器并联正弦交流电路感性负载与电容器并联正弦交流电路3.5 复杂正弦交流电路的分析复杂正弦交流电路的分析3.6 三相正弦交流电路三相正弦交流电路3.1 正弦交流电路的基本知识正弦交流电路的基本知识3.1.1 交流电的概述交流电的概述交流电、正弦交流电、正弦交流电路。3.1.2 正弦交流电的三要素正弦交流电的三要素1.周期、频率和角频率周期、频率和角频率（1）周期周期T表的
2、单位是秒（s）。如图3-1所示。（2）频率频率f的单位是赫兹（Hz）简称赫。频率与周期互为倒数，即（3）角频率）角频率角频率的单位是rad/s（弧度每秒）。角频率与频率、周期的关系为2. 瞬时值、最大值（幅值）和有效值瞬时值、最大值（幅值）和有效值（1）瞬时值）瞬时值用小写字母i、u、e分别交流电流、电压、电动势的瞬时值。（2）最大值）最大值用Em、Um、Im分别表示电动势、电压、电流的最大值。（3）有效值）有效值用大写字母I、U、E分别表示交流电流、电压、电动势的有效值。3. 相位、初相、相位差相位、初相、相位差（1）相位）相位在正弦电流的数学表达式iImsin(ti)中，ti称为正弦交流电
3、的相位角，简称相位。（2）初相）初相当t0时的相位角i称为初相角，简称初相。（3）相位差）相位差把两个同频率正弦电量相位之差称为它们的相位差，记作为。设两个同频率的正弦电量uUmsin(tu)，iImsin(ti），则u与i的相位差为：(tu)(ti)ui 若0o，表明ui，如图3-2（a）所示，称u超前i的相位为，或者说i滞后于u一个相位。若0o，表明ui，如图3-2（b）所示，称u与i同相位（简称同相），表示两正弦电量同时达到最大值或同时为零。若180o，如图3-2（c）所示，称u与i反相位（简称反相），表示当u为正的最大值时，i为负的最大值。3.1.3 正弦交流电量的相量表示正弦交流电量
4、的相量表示用复数来表示正弦交流电量。1. 复数及其运算复数及其运算（1）复）复数数代数式。A=ajb三角函数式。A=r（cosjsin）指数式。极坐标式。（2）复数的运算）复数的运算设有复数，A1=a1jb1=r11,A2=a2jb2= r22加、减运算：A1A2(a1jb1)(a2jb2)(a1a2)j(b1b2)乘、除运算。乘法运算：A1A2= r1r2(1+2)除法运算：2.正弦交流电量的相量表示法正弦交流电量的相量表示法设正弦电流：复数：两者之间有以下关系复数的模和辐角分别等于正弦电量的最大值Im和相位（t+i）。正弦电量的瞬时值恰好为复数的虚部，即)sin(2)sin(miitItI
5、ijm()()itI e 正弦电量可用复平面上的一复矢量表示，如图3-6所示。复数的模各为正弦电量的最大值或有效值，复数的辐角为正弦电量的初相位。电流、电压、电动势的最大值相量和有效值相量分别为多个同频率的正弦电量，按各正弦电量的大小和初相位，用矢量画在同一坐标的复平面上的若干个相量图形，称为相量图。例如 用相量图表示，如图3-7所示3.2 单单一参数的正弦交流电路一参数的正弦交流电路1. 电阻元件电压与电流的关系电阻元件电压与电流的关系如图3-10（a）所示是一线性电阻元件的交流电路，图中标明了电压、电流的参考正方向。设iImsint，根据电路的欧姆定律，得UmImR由此可得电流与电压有效值
6、之间的关系为相量关系为：波形图和相量图如图3-10（b）、（c）所示。2.电路中的功率和能量转换电路中的功率和能量转换（1） 瞬瞬时功时功率率p（2）有功功率有功功率P例例3-3 把R20的电阻接在电压u200sin（314t30o）V的电源上。试求：（1）流过电阻电流的最大值和有效值，写出瞬时值表达式；（2）计算电阻一小时所消耗的电能。3.2.2 电感元件的正弦交流电路电感元件的正弦交流电路1. 电感元件电压与电流的关系电感元件电压与电流的关系如图3-11（a）所示，设电感中的电流iImsint，若电压与电流的方向采用关联参考正方向，则其中，UmImL或UIL，u90o。XLL2fL，其单位
7、为欧姆（）。纯电感电路中，电压与电流的有效值关系为：相量关系为：2.电路中的功率和能量转换电路中的功率和能量转换（1）瞬瞬时功时功率率p（2）有功功率有功功率P（3）无功功率无功功率QL无功功率的单位用乏尔（var）或千乏尔（kvar）。3.2.3 电容元件的正弦交流电路电容元件的正弦交流电路1.电容元件电压与电流的关系电容元件电压与电流的关系如图3-13（a）所示为一个理想电容元件的交流电路，图中标明了电压、电流的参考正方向。设电容上的电压为uUmsint，则其中，ImUmC或IUC；i90o。容抗的单位为欧姆（）。电容的电流与电压的有效值关系为：相量关系为2.电路中的功率和能量转换电路中的
8、功率和能量转换纯电容电路中的瞬时功率变化曲线如图3-13（d）所示。在纯电容电路中，电压与电流的相位差为90o，不消耗电能，有功功率等于零。只是电容与电源之间不断地进行能量交换。能量交换的大小用无功功率QC来衡量，即QC的单位为乏尔（var）或千乏尔（kvar）。例例3-5 有一电容元件C39.5F，接在频率为50Hz、电压有效值为220V的正弦电源上，试求：（1）电容的容抗；（2）电容的无功功率QC。3.3 RLC串联正弦交流电路串联正弦交流电路3.3.1 RLC串联正弦交流电路串联正弦交流电路1.RLC串联电路中的电压与电流的关系串联电路中的电压与电流的关系电阻R、电感L、电容C串联电路，
9、如图3-17（a）所示。设电流iImsint，根据基尔霍夫电压定律得uuRuLuC。（1）相量图分析法RLC串联电路，外加电压的有效值U可以用uR、uL、uC的相量和求得，作出相量合成图如图3-17（b）所示，或简化成图3-17（c）的形式。由相量合成图得总电压u与电流i之间的相位差电压三角形、阻抗三角形。如果XLXC，则0o，电压u超前于电流i角度，电路呈电感性，如图3-17（b）所示。如果XLXC，则0o，电压u滞后于电流i角度，电路呈电容性，如图3-19（a）所示。如果XLXC，即有ULUC，则0，电压u与电流i同相位，电路呈电阻性，如图3-19（b）所示。（2）相量运算分析法）相量运算
10、分析法2. RLC串联正弦交流电路中的功率和能量转串联正弦交流电路中的功率和能量转换换（1）瞬时功率）瞬时功率p（2）有功功）有功功率率（3）无功功率）无功功率（4）视在功率）视在功率在RLC串联交流电路中，端电压的有效值U和电流有效值I的乘积称为视在功率，用符号S表示例例3-6 把电阻R22，电感L0.6H的线圈与电容C63.7F串联后，接到220V、50Hz的交流电源上，求电路中的电流、电路的功率因数、有功功率、无功功率和视在功率。串联谐振电路串联谐振电路1.串联谐振的条件及谐振频率串联谐振的条件及谐振频率在如图3-17（a）所示的RLC串联电路中，当XLXC时，XXLXC0，0，总电压与
11、电流同相位，电路呈电阻性，此时电路处于谐振状态。由于电路中电感、电容、电阻串联，所以称为串联谐振串联谐振。由此可得发生串联谐振的条件为XLXC 即谐振角频率n ，谐振频率为2.串联谐振的特征串联谐振的特征电路在发生串联谐振时，具有以下特征。电路的阻抗最小，且为纯阻性。谐振时电路的阻抗为Z0R电路中的电流最大，且与外加电源电压同相，谐振时电流值为串联谐振时，电感和电容上的电压相等，相位相反，且大小为电源电压U的Q倍。Q为电路的品质因数。例例3-8图3-23（a）所示为一个收音机天线输入回路，L1是天线线圈，L2、C组成串联谐振电路，其等效电路如图3-23（b）所示。若电容调至C300pF，线圈电
12、感L0.3mH，电阻R10，输入端加一个谐振信号电压U1mV。试求：（1）电路的固有频率f0；（2）谐振电流I0；（3）电路品质因数Q；（4）电容电压UC；（5）若U不变，但频率偏离f0的值10%时UC是多少？3.4 感感性负载与电容器并联正弦交流电路性负载与电容器并联正弦交流电路3.4.1 感性负载与电容器并联正弦交流电路感性负载与电容器并联正弦交流电路1.电路中的电流的计算电路中的电流的计算感性负载与电容器并联电路，如图3-24（a）所示。设电压uUmsint，根据基尔霍夫电流定律得ii1iC。由此可求得：由上式及图3-24（b）相量图可看出，当I1sin1IC时，总电流i滞后于电压u，整
13、个电路为感性负载；当I1sin1IC时，总电流i导前于电压u，整个电路为容性负载；当I1sin1IC时，总电流i与电压u同相，整个电路为阻性负载。2.电路中的功电路中的功率率（1）有功功）有功功率率：PUIcosUI1cos1（2）无功功）无功功率率：并联电路总的无功功率为3.并联谐振并联谐振如上所述，当线路中的无功电流全部为电容电流所补偿时，即I1sin1IC时，总电流与电压同相，整个电路呈纯电阻性，这种状态称为并联谐振。并联电路发生谐振的特征特征如下。电路中的阻抗值最大，且为纯阻性。在电源电压一定情况下，总电流最小，且与总电压同相。并联谐振时，各支路电流大于总电流，是总电流的Q倍。所以并联
14、谐振也称为电流谐振。电路的功率因数的提高电路的功率因数的提高1.提高功率因数的意义提高功率因数的意义功率因数低会引起下述不良的后果：（1）电源设备的容量不能得到充分的利用。（2）增加了线路上的功率损耗和电压降。2.提高电路功率因数的方法提高电路功率因数的方法一般可以从两方面来考虑提高电路的功率因数。一方面是提高自然功率因数，主要办法有改进电动机的运行条件、合理选择电动机的容量，或采用同步电动机等措施；另一方面是采用人工补偿，也称为无功补偿。在感性负载的两端并联电容器的电容的计算：并联电容器前：并联电容器后：电容支路电流为：求得例例3-9有一台发电机的额定容量SN10kVA，额定电压UN220V
15、，角频率314rad/s，给一负载供电，该负载的有功功率P5kW，功率因数cos10.5。试求：（1）该负载所需的电流值，该负载是否超载？（2）在负载不变的情况下，将一个电容器与负载并联，使供电系统的功率因数提高到0.85，问需要并联多大的电容器？此时线路电流是多少？例例3-10 已知某荧光灯的额定功率为40W，额定电压为220V，额定电流为0.4A。求：（1）此荧光灯的功率因数；（2）若要把整个电路的功率因数提高到0.9，需补偿的无功功率QC及电容量C（设电源频率为50Hz）。3.5 复复杂正弦交流电路的分析杂正弦交流电路的分析3.6 三相正弦交流三相正弦交流电路电路3.6.1 三相电源的连
16、接三相电源的连接1.三相对称电动势的产生三相对称电动势的产生三相交流发电机的结构示意图如图3-30（a）所示。三相绕组的首端分别用U1、V1、W1表示，末端分别用U2、V2、W2表示，这3个绕组分别称为U相、V相、W相绕组，它们在空间的位置互差120，称为三相对称绕组。三相电动势的瞬时值表达式为三相电动势的正弦波形图和相量图如图3-31（a）、（b）所示。三相电动势达到最大值的先后次序称为三相交流电的相相序序。由图3-31（a）所示的波形可知，三相电动势的相序是UVWU，在工程上，通常用黄、绿、红三色来分别表示U相、V相和W相。按UVWU的次序循环下去的称为正相序正相序，而按UWVU的次序循环
17、下去的称为逆相序逆相序。2.三相电源的连接三相电源的连接（1）星形（丫）连接有关术语：三相电源的星形连接。中点（记为N）。中性线（简称中线）。三相四线制。三相三线制。相电压，用uU、uV、uW或一般用uP表示。线电压，用uUV、uVW、uWU或一般用uL表示。由图3-32可得线电压与相电压的关系为uUVuUuV，uVWuVuW，uWUuWuU。相量关系式为：线电压与相电压的相量图如图3-33所示。由相量图可知，由于三相电动势对称、相电压对称，则线电压也是对称的，并且线电压在相位上超前对应的相电压30o。线电压与相电压的大小关系为：（2）三角形（）三角形（）连接）连接如果将三相发电机三个绕组的首
18、、末端依次连接，从三个连接点引出三根端线，这种连接方法称三相电源的三角形（）连接，如图3-34所示。由图可知：三相电源接成三角形时，线电压等于对应的相电压。由于三相电源对称，所以其有效值关系为ULUP 。实际三相发电机绕组均采用星形连接，很少采用三角形连接。3.6.2 三相负载的连接与测试三相负载的连接与测试若三相负载的阻抗相同（即|ZU|ZV|ZW|且UVW），则称为三相对称负载，否则称为三相不对称负载。1.三相负载的星三相负载的星形连形连接接（1）三相对称负载的星形连接三相负载星形连接的三相四线制电路，如图3-35所示，每相负载的阻抗分别为ZU、ZV、ZW。如忽略导线上损失压降，则加在各相
19、负载上的电压就等于电源对应的各相电压。三相负载的相电流为各相相电压与相电流的相位差为中线电流：iNiUiViW0对称负载作星形连接时电压和电流的相量图如图3-36所示。（2）三相）三相不对称不对称负载的星形连接负载的星形连接在三相不对称负载采用星形连接接入三相电源时，一定要有中线，如图3-37所示。这时三相电流不再是对称的了，各相电流分成三个单相电路分别计算。例例3-14 如图3-37所示为三相四线制供电的电路，电源线电压UL380V，负载由三只白炽灯组成，每相负载的电阻值分别为RU5，RV10，RW20，每只灯的额定电压UN220V。试求：（1）负载相电压、各相相电流及中线电流；（2）V相断
20、路而中线又断开时，各相负载的电压和电流；（3）V相短路，而中线又断开时，各相负载的电压和电流。（2）V相断路而中线又断开时，各相负载的电压和电流这种情况下，电路已成为单相电路，U相与W相串联，接在线电压UUW380V的电源上，如图3-38（a）所示。U相和W相负载电流、电压分别为U相电灯组的电压远低于额定电压，W相电灯组的电压远高于额定电压（烧坏），这些情况是不允许的。（3）V相短路而中线又断开时如图3-38（b）所示。U相、W相负载接在两火线间，负载相电压为线电压，即UV0，UUUUV380V，UWUWV380V。负载相电流分别为U相、W相都越过额定电压，是不允许的。由此例分析可知：当三相负
21、载不对称且无中线时，负载的相电压就不对称，阻抗越小的相电压越低；阻抗越大的相电压越高，低于或高于额定电压，负载不能正常工作。所以三相不对称负载作星形连接时必须要有中线。2.三相负载的三角形（三相负载的三角形（）连接）连接（1）三相）三相对称对称负载的三角形连接负载的三角形连接三相负载的三角形连接电路如图3-39所示，因为各相负载接在两根端线之间，所以各相负载的相电压就等于对应的电源线电压，即uP对应的uL，在数值上UPUL。由图3-39可得，由于三相负载是对称的，所负载的相电流是对称的，线电流也是对称的，相量图如图3-40所示。（2）三相）三相不对称不对称负载的三角形连负载的三角形连接接在三相
22、电路中，电源电压对称，负载不对称，各相相电流可分成三个单相电路分别计算，线电流要根据基尔霍夫电流定律进行相量计算。三相负载不对称作三角形连接时，相电流不对称，线电流也不对称。例例3-15 有一台三相交流电动机，每相绕组的等效电阻R6，感抗XL8，连成三角形，接在线电压UL380V的三相电源上，试求电动机的相电流和线电流。例例3-16在如图3-41所示的电路中。已知三相电源电压对称，UL220V，由三个灯泡组成三角形负载，V、W相之间并联一个带开关S的灯泡。灯泡的额定值为：PN100W，UN220V。试求：（1）开关S断开时，相电流和线电流各为何值？画出相量图；（2）开关S闭合后，相电流和线电流各为何值？解解 （1）开关S断开时，此时为对称负载作三角形连接。相电流、线电流的有效值分别为例例3-17三相对称负载，每相负载的电阻R6，感抗XL8，接入380V的三相三线制电源。试比较星形和三角形两种连接时消耗的三相电功率。可见，PP丫；且P3P丫