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1、（高职）第1章经济数学ppt课件经济经济数学数学 （第五版（第五版）杨敏杨敏华华主编主编123456目录CONTENTS7CHAPTER0101知识目标知识目标010102020303技能目标技能目标能力目标能力目标01P A R T1.1集合与实数集集合与实数集是一个重要的数学概念,它在现代数学的发展中起着非常重要的作用.n 我们一般把具有某种特定属性对象的全体叫做集合.组成这个集合的对象称为该集合的元素.下面举几个集合的例子:集合的概念 某班级的全体学生组成一个集合.该班的学生都是这个集合的元素.自然数的全体组成一个集合.每一个自然数都是这个集合的元素.直线x+3y+3=0上所有的点组成一
2、个集合.这里直线的每个点是这个集合的元素. 习惯上,我们用英文大写字母 A 、B、C、X、Y等表示集合,用英文小写字母a、b、c、x、y等表示集合的元素.如果a是集合A的元素,则记作aA,读作a属于A.如果a不是集合A的元素,则记作a A,读作a不属于A. 对于一个给定的集合,其元素是确定的.某元素要么属于这个集合,要么不属于这个集合.集合的概念 集合的表示法 把属于某个集合的所有元素一一列举出来,写在大括号()内.由不大于4的正整数组成的集合A. 用列举法可表示为:A=1,2,3,4或A=3,2,1, 4.所有的奇自然数所组成的集合B. 用列举法可表示为: B=1,3,5,2n-1,.把属于
3、某个集合的元素所具有的某种共同属性描述出来写在大括号内.通常表示为:A=x|x具有的共同属性.设A为由方程x2-5x+4=0的实根所组成的集合. 用描述法可表示为:A=x|x2-5x+4=0,x为实数.设B为由平面直角坐标系中第一、三象限内的点所组成的集合. 用描述法表示为: A=(x,y)| xy0;x,y为实数. 由研究的所有对象构成的集合称为全集,记为I或U. 不含任何元素的集合称为空集,记为. 注意:集合0不是空集,它含有一个元素“0”.I=x|x20,x为实数为全集, A=x|x2+1=0,x为实数为空集.集合的表示法 设有集合A、B,如果集合A的每一个元素都是集合B的元素,即“若a
4、A,有aB”,则称集合A是集合B的子集,记为AB或 BA,读作A包含于B或B包含A.如果A是B的子集,并且B中至少有一个元素不属于A,则称A是B的真子集,记为AB或BA,集合与集合的包含关系可用图形(文氏图)来表示(如图1-1 所示). 一般规定空集是任何集合A的子集,即A;子集有以下性质:若AB,BC,则AC.集合与集合的关系 设有集合A、B,若AB且BA,则称集合A与B相等,记作A=B.设A=x|x0,B= x|x20 ,则有AB.设A= x|x2-2x+1=0 ,x为实数,B= 1,则A=B.集合与集合的关系 设有集合A、B,由A与B的所有元素构成的集合称为A与B的并,记为AB,即AB=
5、 x| xA 或xB,具体如图1-2所示.设A=1,3,5,7,B=2,4,6,则: AB=1,2,3,4,5,6,7 集合的并有以下性质:集合的运算 设有集合A、B,由A与B的公共元素构成的集合称为A与B的交,记为AB,即:AB = x| xA 且xB,如图1-3所示.n 集合的交有以下性质:设A=x|-10,则:AB=x|x-1,AB=x|0 x3.设A为全体有理数集合,B为全体无理数集合,则:AB为全体实数集合,而AB为空集.集合的运算 设有集合A和B,属于A而不属于B的所有元素构成的集合称为A与B的差集,记为A-B.设I为全集,A为I 的子集,由全集I 中不属于A的元素所组成的集合,称
6、为A的补集,记为A ,如图1-4所示.即: 补集有以下性质:.设全体学生为全集I,如果男生为集合A,则A 表示为女生集合.集合的运算 集合的运算律 运算律 n 人们对数的认识从自然数发展到有理数(包括正负整数,正负分数及零),再由有理数发展到无理数(例如e,3等),如果令p,q为整数,且q0,则一般有理数可用p/q表示,无理数不能用p/q表示.设I=R,A=x |1x8, B=x |-1x4,则有:实数集 在研究一些问题时,我们需要用到实数的绝对值的概念. 实数x的绝对值记为|x|,定义为|x|= |x|的几何意义为数轴上点x到原点的距离.实数集 设a,b为实数,且ab,则有下列定义:实数集解
7、下列不等式,并用区间表示解集.p 解:. 由x2-3x-40得-1x0得x3或x0. 所以得交集为x|-1x0或3x4,用区间表示为:(-1,0)(3,4).实数集01P A R T1.2函数概述函数概述在很多实际问题中,一个量的大小会依赖于另一个量.例如,消费者对牛肉的需求量依赖于市场上的牛肉的价格;市场上某种饮料的供应量依赖于气温的变化;一瓶葡萄酒的价格依赖于它的年份;等等.再看下面几个实际问题.某销售员的月收入由两部分构成,第一部分是底薪:4 500元,第二部分是销售提成,设销售一件产品的提成是该产品销售价格的1%,则如果该产品销售价格为2万元,那么该销售员月收入y与月销售产品的件数x之
8、间可以用一个关系式y=4500+200001%x(x0)表示.函数的概念20年夏天,上海出现了罕见的持续30天的高温天气.表1-1给出了当年8月11日至20日每天的最高气温,其中13日出现了40的极端高温. 从表1-1中我们可以看到,有日期t和气温T两个变量,当变量t在某一范围内变化时,最高气温T依赖于日期t的变化,并且当t取某一日期时,就有唯一的最高气温T与之对应.要注意的是:这里不存在任何可以计算温度的公式,否则我们就不需要气象局了.函数的概念图1-5反映了上海证券交易所的上证指数从201年10月1日到201年12月31日的60个交易日的变化情形,由此图可以看出在这段时间中上证指数随时间的
9、变化. 从图1-5中我们可以看到,有日期t和指数I两个变量,当变量t在某一范围内变化时(201年第四季度有60个交易日),指数I随着日期t的变化而变化,并且当t取某一日期时,有唯一上证指数I与之相对应.函数的概念在以上各实际问题中,撇开各个变量的实际意义,可以发现它们的共同点是:这些问题均涉及两个变量,而且两个变量之间都有一个确定的依赖关系(我们称之为对应规则),虽然这种依赖关系的表达方式不同,但当其中一个变量在某一范围内取值时,另一变量按照对应规则就有确定的值与之对应.两个变量的这种对应关系,实质上就是函数关系.设有两个变量x和y,D是一个给定的数集,xD.若对D中的每一个确定值x,变量y按
10、照一定的法则总有唯一确定的数值与之对应,则称y为x的函数,记做y=f(x).数集D叫做这个函数的定义域,x叫做自变量,y叫做因变量或函数值.当x取数值x0D时,与x0对应的y的数值称为函数y=f(x)在点x0处的函数值,记做f(x0).当x取遍D的各个数值时,对应的函数值全体组成的数集为: 我们将该数集称为函数的值域. 在平面直角坐标系中,自变量x在横轴上变化,因变量y在纵轴上变化,则平面点集(x,y)|y=f(x),xD即为定义在D上的函数y=f(x)的图形. 构成函数的两个基本要素是对应法则和定义域,而对应法则的表示方法一般有三种:解析式法(公式法)(如问题1)、表格法(如问题2)和图形法
11、(如问题3).函数的概念n 下面是几个函数的例子:常数函数y=9,其定义域是(-,+),值域是9.绝对值函数y=|x|,其定义域是(-,+),值域是0,+).确定函数 的定义域.n 且x2时,函数 才能取确定实数,因此 的定义域为 .n 求函数定义域时,通常应遵循以下规则:函数的概念确定函数 的定义域. 解: 因此, 的定义域为D=(-2,1)(1,3. 类似【例1-20】的题目可按以下步骤求解:函数的概念函数f(x)在对称域D上有定义(D关于O点对称)且满足:n 很明显,偶函数图像(如图1-6所示)关于Y轴对称,奇函数图像(如图1-7所示)关于O点对称.函数的特性函数的特性判别下列函数的奇偶
12、性.设函数f(x)的定义域为D,区间ID,如果对于区间I上任意两点x1,x2,当x1x2恒有f(x1)f(x2),则称函数f(x)在区间I上单调增加,如图1-8所示.设函数f(x)的定义域为D,区间ID,如果对于区间I上任意两点x1,x2,当x1f(x2),则称函数f(x)在区间I上单调减少,如图1-9所示.函数的特性函数的特性讨论下列函数的单调性. (1)y=x (2)y=x2 解: 当x0,f(x2)-f(x1)0,函数单调增加. 所以,函数在定义域上不单调. 在本书第4章中我们有更有效的方法讨论函数的单调性.设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个不为零的实数l,使得对于任意xD,x+l
13、D恒有f(x+l)=f(x),称f(x)为周期函数,如图1-10所示,l为f(x)的周期(但通常所说的“周期函数”的“周期”是指其最小正周期用T表示).设函数y=f(x)在区间I(I可以是整个定义域,也可以是定义域的一部分)上有定义,如果存在一个正数M,对于任意的xI,总有|f(x)|M,则称函数y=f(x)在I上有界,否则称y=f(x)在I上无界.函数的特性01P A R T1.3初等函数初等函数设y=f(x)是定义在D上的函数,值域为R,如果对每一个yR有一个确定的xD,且满足y=f(x),若将其对应规则记为f-1,则函数x=f-1(y)称为y=f(x)的反函数. 在x=f-1(y)中,y
14、为自变量, x为因变量,习惯上,用x作为自变量,y作为因变量,所以通常将y=f-1(x)作为y=f(x)的反函数.反函数y=f-1(x)与y=f(x)的图形关于y=x对称,如图1-11所示.反函数反函数求函数 的反函数.求 的反函数.y=c 定义域为(-,+),图形为平行于x轴的一条直线,值域为c,由图形得知常数函数不增不减,是关于y轴对称的有界函数. 该函数如图1-12所示.基本初等函数定义域为(-,+),值域为(0,+),图形均过点(0,1),当a1单调增加时,0a1单调增加,0a0),供给函数为Q=cP-d(c,d0),求均衡价格Pe. 解:由b-aPe=cPe-d,(a+c)Pe=b+
15、d,可得供给函数与需求函数是指生产者出售一定量产品所得到的全部收入. 设商品的价格为P,商品量为Q,总收益为R.而商品价格是商品量的函数P=P(Q),则称为总收益函数. 称为平均收益函数.是指总收益减去总成本的差.L=L(Q)=R(Q)-C(Q)称为利润函数(其中Q为销售量).收益函数和利润函数收益函数和利润函数某企业生产某种产品,其固定成本为1 000元,单位产品的变动成本为18元,市场需求函数为Q=90-P,求总利润函数. 解:由题意可知C0=1 000,C1(Q)=18Q,所以总成本函数为C(Q)=1 000+18Q.由需求函数Q=90-P可得P=90-Q,于是得总收益函数为R(Q)=Q
16、P=Q(90-Q)=90Q-Q2,因此,总利润函数为: 如果要把总利润函数表示为价格P的函数R(P),只要把Q=90-P代入上式就可以了.收益函数和利润函数某企业的成本可分为两部分:一是不受业务量影响的部分(如设备折旧费等),称为固定成本;随业务量成正比例增长的另一部分称为可变成本.该企业固定成本总额为1 500万元,产品单价为10万元,单位可变成本6万元,若产品可以全部售出,且税率按10%计算,试求企业保本经营的最低产销量(或称盈亏临界点). 解:如图1-26所示,横坐标表示产品销售量,纵坐标表示所发生的费用.设产量为x,故而y=1 500为固定成本,企业总支出为:y=固定成本+可变成本+税
17、费=1 500+6x+10 x10%=7x+1 500,销售总收入为y=10 x.由图1-26可以看出,总支出线与总收入线在x=500处相交,所以x500为盈利区,x=500为盈亏临界点.01P A R T1.6MathematicaMathematica软件介绍软件介绍 命令格式:fx_=函数表达式 或 fx_:=函数表达式 或f=Function自变量,函数表达式 命令格式:Which条件1,表达式1,条件2,表达式2,条件n,表达式n定义函数n 用Clear语句可以清除已经定义的函数和变量,使前面定义的函数和变量不再起作用.命令格式为:Clearf;Clearx;或ClearAllx,y
18、,f,g,n 在利用Mathematica进行运算时,应注意在使用变量和函数前先清除前面已经定义过的变量名和函数名;否则可能造成前面已经定义的变量数值和函数影响后面的计算,且不容易被发现.清除已定义的变量和函数 变量赋值的命令格式:变量=数值 例如,要给变量赋值6,只需在输入“x=6”后,同时按Shift和Enter键. 函数值的计算,除了中介绍的先定义函数、后代入变量值的方法以外,Mathematica中还有其他的命令格式: 其中 # 表示函数的自变量,#0表示自变量的取值.注意这里的自变量只能用 # 来表示.变量赋值和函数值的计算计算函数sin x在x=/4的函数值,试比较用上述不同的键入
19、方式所得到的结果. 解:计算机处理如下:变量赋值和函数值的计算命令格式:Plot函数表达式,自变量名,自变量最小值,自变量最大值或Plot函数表达式,自变量名,自变量最小值,自变量最大值,功能语句其中功能语句是作图命令“Plot”的选项,常用的选项有:PlotRange因变量最小值,因变量最大值或PlotRange自变量最小值,自变量最大值,因变量最小值,因变量最大值或PlotRangeAllAxesLabel横坐标名,纵坐标名AspectRatio值或AspectRatioAutomatic绘制函数图形绘制函数图形试作出函数sin x在0,2内的图形. 解:计算机处理如下: In17:=Pl
20、otSinx,x,0,2Pi Out17=-Graphics- 即可得到图1-27. 下面我们加入一些功能语句,注意它们的区别. In18:=PlotSinx,x,0,2Pi,AxesLabelx,y,AspectRatio1 Out18=-Graphics- 即可得到图1-28. 命令格式:Plot函数表达式1,函数表达式2,函数表达式n,自变量,自变量最小值,自变量最大值在同一坐标系中,同时作出函数sin x和cos x在-2,2内的图形. 解:计算机处理如下: In19:=PlotSinx,Cosx,x,-2Pi,2Pi Out19=-Graphics- 即可得到图1-29.绘制函数图形谢谢观看