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1、（高职）第7章经济数学ppt课件经济经济数学数学 （第五版（第五版）杨敏杨敏华华主编主编123456目录CONTENTS7CHAPTER0707知识目标知识目标010102020303技能目标技能目标能力目标能力目标07P A R T7.1空间解析几何简介空间解析几何简介n 在空间中取定一点O,过O作三条互相垂直的数轴Ox,Oy,Oz,并按右手螺旋法则规定Ox,Oy,Oz的正方向(即将右手伸直,母指指向Oz的正方向,其余四指指向Ox的正方向,四指弯曲后的指向为Oy的正方向)(如图7-1所示).n 这样Ox,Oy,Oz就构成一空间直角坐标系Oxyz,O称为坐标原点,三条数轴分别称为x轴、y轴、z
2、轴或横轴、纵轴、竖轴.每两条轴所构成的平面称为坐标平面,即xOy,yOz,zOx.这三个平面把空间分成八个部分,每一部分称为一卦限(如图7-2所示).空间直角坐标系 n 取定了空间直角坐标系,对于空间任意一点M,过点M作三个平面,分别垂直于x轴、y轴、z轴,且与这三个数轴分别交于P,Q,R三点(如图7-3所示),这三点在x轴、y轴、z轴上的坐标依次为x,y,z,则点M唯一确定了一个有序数组(x,y,z).n 反之,对于任意一个有序数组(x,y,z),在x,y,z三轴上分别取与x,y,z相应的点P,Q,R,然后过P,Q,R这三点分别作垂直于x轴、y轴、z轴的平面,这三个平面的交点M就是有序数组(
3、x,y,z)所唯一确定的点.n 于是,空间任意一点M和有序数组(x,y,z)建立了一一对应的关系,我们称有序数组(x,y,z)为点M的横坐标、纵坐标、竖坐标,记为M(x,y,z).n 显然,坐标原点的坐标为(0,0,0),点(a,0,0)在x轴上,点(0,b,0)在y轴上,点(0,0,c)在z轴上,点(a,b,0)在xOy平面上.空间直角坐标系 n 在平面解析几何中,直线可用二元一次方程Ax+Bx+C=0表示.在空间解析几何中,平面可用三元一次方程Ax+By+Cz+D=0表示.n 如方程x+y+z-1=0表示过(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)三点的平面(如图7-4所示).n 又如
4、方程x+y-1=0在空间表示过xOy平面上的直线x+y-1=0,且平行于z轴的平面(如图7-5所示).平面方程平面方程求三个坐标平面的方程. 解:因为xOy平面上任意一点坐标为(x,y,0),满足z=0.而满足方程z=0的点也一定在xOy平面上,所以xOy平面的方程为z=0. 类似地,yOz平面的方程为x=0,zOx平面的方程为y=0.作z=c(c为常数)的图形. 解:对方程z=c,点(x,y,c)一定满足方程,其中x,y可取任意实数.所以z=c的图形是过z轴上点(0,0,c),且平行于xOy平面的一个平面(如图7-6所示).常见的空间曲面方程及其图形 07P A R T7.2多元函数的极限与
5、连续多元函数的极限与连续设有三个变量x,y和z,如果当变量x,y在它们的变化范围D内任意取定一对数值时,变量z依照一定的法则f,总有唯一确定的数值与之对应,则称z为变量x,y的二元函数,记做z=f(x,y),其中x,y称为自变量,z称为因变量.自变量x与y变化范围称为函数的定义域. 类似地,可定义三元函数w=f(x,y,z),以及三元以上的函数. 二元以及二元以上的函数统称为多元函数.多元函数的概念 一元函数的定义域在几何上一般为数轴上的区间.二元函数的定义域在几何上一般是平面区域,用字母D表示.所谓平面区域可以是整个xOy平面或者是xOy平面上由几条曲线所围成的部分.围成区域的曲线称为该区域
6、的边界,包括边界在内的区域称为闭区域,不包括边界的区域称为开区域,包括部分边界的区域称为半开区域.如果一个区域可以被包含在一个以原点为圆心的相当大的圆内,称这个区域是有界区域;否则称为无界区域. 称开区域U(P0,)=(x,y)|(x-x0)2+(y-y0)22为点P0(x0,y0)的邻域.称U(P_0,)=(x,y)|0(x-x0)2+(y-y0)22为点P0(x0,y0)的去心邻域. 与一元函数相类似,对于用解析式表示的二元函数z=f(x,y),其定义域是指使这个解析式有意义的自变量x,y的取值范围.对于实际问题,还必须使其有实际意义.多元函数的概念多元函数的概念多元函数的概念 一元函数y
7、=f(x)的图形一般表示平面上的一条曲线,二元函数z=f(x,y)一般表示空间上的一张曲面(如图7-12所示).多元函数的概念设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某邻域内有定义(点P0可以除外),A是一个常数,若点P(x,y)以任意方式无限趋近于P0(x0,y0)时,f(x,y)总是无限趋近于A,则称常数A为二元函数f(x,y)当(x,y)趋向于(x0,y0)时的极限.记为:二元函数的极限与连续设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某邻域内有定义,若 ,则称二元函数f(x,y)在P0(x0,y0)处连续,否则称点 P0(x0,y0)为函数z=f(x,y)的间断点. 与一元函数
8、类似,二元连续函数经过四则运算和复合运算后仍为二元连续函数.由x和y的基本初等函数经过有限次的四则运算和复合所构成的可用一个式子表示的二元函数称为二元初等函数.一切二元初等函数在其定义域内都是连续的。二元函数的极限与连续07P A R T7.3偏导数偏导数设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义,当y固定在y0而x在x0处有增量x时,相应地函数有增量f(x0+x,y0)-f(x0,y0).偏导数的概念n 在求二元函数对某个自变量的偏导数时,只需把另一自变量看做常数,然后直接利用一元函数的求导公式和求导法则来计算.偏导数的求法偏导数的求法设函数z=f(x,y)在区域D内具有偏导
9、数,一般说来,在D内fx(x,y)和fy(x,y)都是x,y的函数.如果这两个函数的偏导数存在,则称它们是函数z=f(x,y)的二阶偏导数.按照对变量求导次序的不同,共有下列四个二阶偏导数:高阶偏导数 高阶偏导数 设某工厂生产甲、乙两种不同的产品,其数量分别为x,y,总成本函数为C(x,y),则( C)/( x)表示:当乙商品的数量保持在某一水平上,而甲商品的数量变化时总成本的变化率.我们把它称为总成本C(x,y)对x的边际成本.( C)/( y)表示:当甲商品的数量保持在某一水平上,而乙商品的数量变化时总成本的变化率.我们把它称为总成本C(x,y)对y的边际成本.偏导数在经济中的应用偏导数在
10、经济中的应用偏导数在经济中的应用偏导数在经济中的应用设两种商品的需求函数分别为Q1=20-2P1-P2,Q2=9-P1-2P2,求边际需求. 一元函数y=f(x)在x处的弹性Ey/Ex表示f(x)在点x处的相对变化率,对于二元函数,我们利用偏导数的概念来定义偏弹性.偏导数在经济中的应用偏导数在经济中的应用某商品甲的单位价格为P1,与其相关联的商品乙的单位价格为P2,经数据的拟合,建立了商品甲的需求函数 ,求商品甲的需求的直接价格偏弹性和交叉价格偏弹性,并解释其经济含义. 解: 其经济含义是:当商品甲的价格提高1%时,商品甲的需求量将减少0.375%.当商品乙的价格提高1%时,商品甲的需求量将减
11、少0.4%.07P A R T7.4全微分全微分n 在一元微分学中,对于一元函数y=f(x),当x较小时,函数的改变量y=f(x+x)-f(x)可以近似地表示为自变量的改变量x的线性函数f (x)x.对于二元函数z=f(x,y)也有类似的结论.n 设函数z=f(x,y)在点(x,y)的某邻域内有定义,若自变量x、y各有改变量x和y,则z=f(x+x,y+y)-f(x,y)称为函数z=f(x,y)在点(x,y)的全增量.07P A R T7.5多元函数的极值多元函数的极值设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义,对于该邻域内异于(x0,y0)的任意一点(x,y),如果有f(x,
12、y)f(x0,y0),则称函数在点(x0,y0)处有极小值.极大值、极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处具有偏导数,且在点(x0,y0)处有极值,则它在该点的偏导数必然为零,即:与一元函数的情形类似,对于多元函数,凡是能使一阶偏导数同时为零的点称为函数的驻点.在一阶偏导存在的情况下,函数的极值点必是驻点,但驻点不一定是极值点.要判别一个驻点是否为极值点,下面介绍极值的充分条件.二元函数的极值 设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内有直到二阶的连续偏导数,fx(x0,y0)=0,fy(x0,y0)=0.令:fxx(x0,y0)=A
13、,fxy(x0,y0)=B,fyy(x0,y0)=C. 根据定理7-1与定理7-2,如果函数z=f(x,y)具有二阶连续偏导数,则求z=f(x,y)的极值的一般步骤如下:二元函数的极值二元函数的极值求函数f(x,y)=y3-x2+6x-12y+5的极值. 解:由f x(x,y)=-2x+6=0,f y(x,y)=3y2-12=0,得到驻点(3,2),(3,-2).又f xx=-2,f xy=0,f yy=6y. 在点(3,2)处,因为A=f xx(3,2)=-2,B=f xy(3,2)=0,C=f yy(3,2)=12,B2-AC=122=240,所以点(3,2)不是极值点; 在点(3,-2)
14、处,因为A=f xx(3,-2)=-2,B=f xy(3,-2)=0,C=f yy(3,-2)=-12,B2-AC=12(-2)=-240,且A=f xx(3,-2)=-20,所以函数在点(3,-2)处有极大值f(3,-2)=30.n 与一元函数类似,若函数z=f(x,y)在有界闭区域D上连续,则f(x,y)在D上必有最大值、最小值.n 求函数y=f(x,y)的最大值和最小值的一般步骤为:n 但在通常遇到的实际问题中,如果根据问题的性质,可以判断出函数z=f(x,y)的最大值(最小值)一定在D的内部取得,而函数f(x,y)在D内只有一个驻点,则可以肯定该驻点处的函数值就是函数f(x,y)在D上
15、的最大值(最小值).二元函数的最大值和最小值二元函数的最大值和最小值设某公司的同一产品分销两个市场,其总成本函数为C=12(Q1+Q2)+4,两个市场的价格函数分别为P1=60-3Q1,P2=20-2Q2.公司追求最大利润,求投放每个市场的产量以及此时的价格. 解:n 上述讨论的极值问题,自变量在定义域范围内可以任意取值,未受任何条件约束,此时的极值我们称为无条件极值,但在经济活动中,函数的自变量还要受到其他附加条件的限制,这种有附加条件的极值问题,称为条件极值.下面介绍条件极值的拉格朗日乘数法.n 拉格朗日乘数法:设二元函数z=f(x,y)和g=(x,y)在区域D内有一阶连续偏导数,则求z=
16、f(x,y)在D内满足条件(x,y)=0的极值问题,可以转化为求拉格朗日函数L(x,y,)=f(x,y)+(x,y)(为某一常数)的无条件极值问题.n 于是,求函数z=f(x,y)在条件g=(x,y)=0下的极值的拉格朗日乘数法的基本步骤为:n 解出x,y,其中x,y就是所求条件极值的可能的极值点.n 拉格朗日乘数法只给出函数取极值的必要条件,因此按照这种方法求出来的点是否为极值点,还需要加以讨论.不过在实际问题中,往往可以根据问题本身的性质来判定所求的点是不是极值点.n 拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形.条件极值条件极值设某厂生产某产品的产量与所用两种原料A和B的数量
17、x,y间有关系式f(x,y)=0.005x2y,现欲用150万元购料,已知原料A和B的单价分别为1万元和2万元,问购进这两种原料各多少时,可使产量最多? 解:按题意,即求函数f(x,y)=0.005x2y在约束条件x+2y=150下的最大值. 构造拉格朗日函数:L(x,y,)=0.005x2y+(x+2y-150) 消去,解得x=100,y=25. 根据问题本身的性质可知,当购进100个单位A原料、25个单位B原料时,可使该厂产量最多.07P A R T7.6二重积分二重积分 所谓曲顶柱体是以xOy坐标平面上的区域D为底,以D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面为侧面,以曲面函数z=f(x,
18、y)为顶(其中z=f(x,y),在有界闭区域D上连续,且f(x,y)0,(x,y)D),如图7-13所示. 计算平顶柱体的体积可以用公式:体积=高底面积,曲顶柱体的体积如何计算呢?类似于曲边梯形的面积的计算方法,我们来讨论曲顶柱体的体积的计算方法.二重积分的概念将区域D任意分成n个小区域1,2,n,分别以这些小区域的边界为准线,作母线平行于z轴的柱面,这些柱面把原来的曲顶柱体分为n个小柱体(如图7-14所示),设这些小柱体的体积为在每个小区域i(i=1,2,n)上任取一点(i,i),并以值f(i,i)为高、以i为底的平顶柱体的体积f(i,i)i作为Vi的近似值,即把n个小平顶柱体的体积相加,就
19、得到所求曲顶柱体的体积的近似值,即:当区域D分得越细,则上式中的和式就越接近于曲顶柱体的体积V.用di表示小区域i上任意两点间的最大距离,称为该小区域的直径,记d=maxd1,d2,dn.如果d趋于0时,上述的和式的极限存在,则这个极限值就是所求的曲顶柱体的体积,即:二重积分的概念二重积分的概念二重积分的性质n 二重积分的计算可归结为计算两次定积分,本教材仅介绍直角坐标系下的二重积分的计算.n 若积分区域D可以表示为:n 其中,1(x),2(x)在a,b上连续,并且穿越区域且平行于y轴的直线与区域的边界相交最多交于两点(如图7-16所示),则称D为x-型.二重积分的计算n 若积分区域D可以表示
20、为:n 其中,1(y),2(y)在c,d上连续,并且穿越区域且平行于x轴的直线与区域的边界相交最多交于两点(如图7-17所示),则称D为y-型.二重积分的计算07P A R T7.7MathematicaMathematica软件介绍软件介绍 命令格式:D函数表达式,xi,n 或先定义函数f(x1,x2),再利用命令Df(x1,x2),xi,n 求一阶偏导可简写为:D函数表达式,xi 或先定义函数f(x1,x2),再利用命令Df(x1,x2),xi二元函数的偏导数二元函数的偏导数二元函数的偏导数二元函数的偏导数 命令格式:Dt函数表达式 或先定义函数f(x1,x2),再利用命令Dtf(x1,x2) 以上的命令可以推广到函数f(x1,x2,xn).全微分二元函数的极值二次积分二次积分谢谢观看