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1、高考积分,导数知识点精华总结1高考积分,导数知识点精华总结1定积分一、知识点与方法：1、定积分的概念设函数f(x)在区间a,b上连续，用分点ax0x1xi1xixnb把区间a,b等分成n个小区间，在每个小区间xi1,xi上取任一点i(i1,2,n)作和式nIni1，把n即x0时，和式In的极限叫做函f(i)x（其中x为小区间长度）bbn数f(x)在区间a,b上的定积分，记作：f(x)dx，即f(x)dxlimaani1f(i)x。这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间a,b叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式。(1)定积分的几何意义：当函数f(x
2、)在区间a,b上恒为正时，定积分f(x)dx的几何意ab义是以曲线yf(x)为曲边的曲边梯形的面积。(2)定积分的性质akf(x)dxbkf(x)dxab（k；为常数）；abf(x)g(x)dxbcabf(x)dxbag(x)dxbf(x)dxaaf(x)dxcf(x)dx（其中acb)。2、微积分基本定理如果yf(x)是区间a,b上的连续函数，并且F(x)f(x)，那么:baf(x)dxF(x)|aF(b)F(a)b3、定积分的简单应用(1)定积分在几何中的应用：求曲边梯形的面积由三条直线xa,xb(ab)，x轴及一条曲线yf(x)(f(x)0)围成的曲边梯的面积Sbaf(x)dx。如果图形
3、由曲线y1f1(x)，y2f2(x)（不妨设f1(x)f2(x)0），及直线xa，xb（a二、练习题1、计算下列定积分：(1)(x1e1x1x0)dx(2)2(sinx2cosx)dx(3)(2sinx3e2)dx203x(4)(4xx2)dx(5)|2x|dx0122、求下列曲线所围成图形的面积：（1）曲线y2xx2,y2x24x；（2）曲线yex,yex,x1。3、2(sinxcosx)dx的值是：2A.4B.2C.4D.04、曲线y2x,yx2所围成图形的面积是：A.1B.23C.12D.135、已知自由下落物体的速度为vgt，则物体从t0到t1所走过的路程是：A.13gB.gC.111
4、2gD.14g6、已知f(x)3x22x1，且7、已知f(a)f(x)dx2f(a)，则a10(2axax)dx，求f(a)的最大值。1228、已知f(x)为二次函数，且f(1)2,f(0)0,f(x)dx2，求：0(1)f(x)的解析式；(2)f(x)在1,1上的最大值与最小值。导数1.导数（导函数的简称）的定义：设x0是函数yf(x)定义域的一点，如果自变量x在x0处有增量x，则函数值y也引起相应的增量yyxf(x0x)f(x0)xyxlimx0f(x0x)f(x0)；比值称为函数yf(x)在点x0到x0x之间的平均变化率；如果极f(x)在点x0f(x0)限limx0f(x0x)f(x0)
5、x存在，则称函数y处可导，并把这个或y|xx0极限叫做f(x0)=limyf(x)在x0处的导数，记作.，即yxlimx0f(x0x)f(x0)xx0注：x是增量，我们也称为“改变量”，因为x可正，可负，但不为零(趋向0).已知函数y2.函数y函数yf(x)定义域为A，yf(x)的定义域为B，则A与B关系为AB.f(x)在点x0f(x)在点x0处连续与点x0处可导的关系：f(x)在点x0处连续是y处可导的必要不充分条件.f(x)点x0可以证明，如果y事实上，令xx0于是xx0f(x)在点x0处可导，那么y.处连续.x，则xx0相当于x0limf(x)limf(x0x)limf(xx0)f(x0
6、)f(x0)x0x0limx0f(x0x)f(x0)xxf(x0)limf(x0x)f(x0)xlimlimx0x0x0f(x0)f(x0)0f(x0)f(x0).如果yf(x)点x0处连续，那么y0f(x)在点x00处可导，是不成立的.yx|x|x例：f(x)|x|在点x00时，yx1；当x处连续，但在点x0yx处不可导，因为不存在.，当x0时，1，故limx0yx注：可导的奇函数函数其导函数为偶函数.可导的偶函数函数其导函数为奇函数.3.导数的几何意义：函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义就是曲线yf(x)在点f(x)在点(x0,f(x)处的切线的斜率，也就是说，曲线y方程为yy0f(
7、x)(xx0).P(x0,f(x)处的切线的斜率是f(x0)，切线4.求导数的四则运算法则：(uv)uvyf1(x)f2(x).fn(x)yf1(x)f2(x).fn(x)(uv)vuvu(cv)cvcvcvuv（c为常数）vuvuv2(v0)注：u,v必须是可导函数.若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导.例如：设和f(x)2sinx2x，g(x)cosx2x，则f(x),g(x)在x0处均不可导，但它们f(x)g(x)sinxcosx在x0处均可导.fx(x)f(u)(x)5.复合函数的求导法则：或yxyuux复合函数的求导法则可
8、推广到多个中间变量的情形.6.函数单调性：函数单调性的判定方法：设函数yyf(x)为增函数；如果f(x)f(x)在某个区间内可导，如果f(x)0，则0，则yf(x)为减函数.常数的判定方法；如果函数y注：f(x)在区间I内恒有f(x)=0，则yf(x)为常数.f(x)0是f（x）递增的充分条件，但不是必要条件，如y2x3在(,)上，有一个点例外即x=0时f（x）=0，同样f(x)0是f（x）并不是都有f(x)0递减的充分非必要条件.一般地，如果f（x）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么f（x）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的.7.极值的判别方法：（极值是在x0附近
9、所有的点，都有函数f(x)的极大值，极小值同理）f(x)在点x0f(x)f(x0)，则f(x0)是当函数处连续时，f(x)如果在x0附近的左侧0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值；如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极小值.也就是说x0是极值点的充分条件是x0点两侧导数异号，而不是f(x)=0.此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点.当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）.注：若点x0是可导函数f(x)的极值点，则f(x)=0.但反过来不一定成立.对于可导函数，其一点x0是极值点的必要条件是
10、若函数在该点可导，则导数值为零.例如：函数yf(x)x3，x0使f(x)=0，但x0不是极值点.是函数的极小值点.例如：函数yf(x)|x|，在点x0处不可导，但点x08.极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.注：函数的极值点一定有意义.9.几种常见的函数导数：I.Cn0n)cosx（C为常数）(six(arcsxi)n11x2(x)nxn1（11x2nR）(cosx)sinx(arccxo)s1xx2II.(e(lnx)1xx(loagx)1xlogae(arctxa)n1xx)e1x2(a)alna(arcotx)1III.求导的常见方法：常用
11、结论：(ln形如|x|)1x.(xa1)(xa2).(xan)(xb1)(xb2).(xbn)y(xa1)(xa2).(xan)或y两边同取自然对数，可转化求代数和形式.无理函数或形如y对两边求导可得xx这类函数，如yxx取自然对数之后可变形为lnyxlnx，扩展阅读：高考积分_导数知识点精华总结1.定积分一、知识点与方法：1、定积分的概念设函数f(x)在区间a,b上连续，用分点ax0x1xi1xixnb把区间a,b等分成n个小区间，在每个小区间xi1,xi上取任一点n，把n即i(i1,2,n,作和式Inf(i)x（其中x为小区间长度）x0a时，和式In的极限叫做函数f(x)在区间a,b上的定
12、积分，记作：nbbf(x)dx，即f(x)dxlimf(i)x。ai1这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间a,b叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dxni1叫做被积式。ba(1)定积分的几何意义：当函数f(x)在区间a,b上恒为正时，定积分f(x)dx的几何意义是以曲线yf(x)为曲边的曲边梯形的面积。(2)定积分的性质abkf(x)dxkf(x)dxab（k；为常数）；abf(x)g(x)dxbcabf(x)dxbag(x)dxbf(x)dxaaf(x)dxcf(x)dx（其中acb)。2、微积分基本定理如果yf(x)是区间a,b上的连续函数，并且F(x
13、)f(x)，那么:baf(x)dxF(x)|aF(b)F(a)b3、定积分的简单应用(1)定积分在几何中的应用：求曲边梯形的面积由三条直线xa,xb(ab)，x轴及一条曲线yf(x)(f(x)0)围成的曲边梯的面积Sbaf(x)dx。如果图形由曲线y1f1(x)，y2f2(x)（不妨设f1(x)f2(x)0），及直线xa，xb（a二、练习题1、计算下列定积分：(1)(x1e1x1x20)dx2(2)2(sinx2cosx)dx(3)(2sinx3ex2)dx03(4)(4xx)dx(5)|2x|dx0122、求下列曲线所围成图形的面积：（1）曲线y2xx2,y2x24x；（2）曲线yex,ye
14、x,x1。3、2(sinxcosx)dx的值是：2A.4B.2C.4D.04、曲线y2x,yx2所围成图形的面积是：A.1B.23C.12D.315、已知自由下落物体的速度为vgt，则物体从t0到t1所走过的路程是：A.gB.gC.gD.g3241116、已知f(x)3x22x1，且f(x)dx2f(a)，则a117、已知f(a)10(2axax)dx，求f(a)的最大值。1228、已知f(x)为二次函数，且f(1)2,f(0)0,f(x)dx2，求：0(1)f(x)的解析式；(2)f(x)在1,1上的最大值与最小值。导数1.导数（导函数的简称）的定义：设x0是函数yf(x)定义域的一点，如果
15、自变量x在x0处有增量x，则函数值y也引起相应的增量yyxf(x0x)f(x0)xyxlimx0f(x0x)f(x0)；比值称为函数yf(x)在点x0到x0x之间的平均变化率；如果极f(x)在点x0f(x0)限limx0f(x0x)f(x0)x存在，则称函数y处可导，并把这个或y|xx0极限叫做f(x0)yf(x)在x0处的导数，记作.，即=limx0yxlimx0f(x0x)f(x0)x注：x是增量，我们也称为“改变量”，因为x可正，可负，但不为零(趋向0).已知函数y2.函数y函数yf(x)定义域为A，yf(x)的定义域为B，则A与B关系为AB.f(x)在点x0处连续与点x0处可导的关系：
16、f(x)在点x0f(x)在点x0处连续是y处可导的必要不充分条件.f(x)点x0可以证明，如果y事实上，令x于是xx0f(x)在点x0处可导，那么y.处连续.x0x，则xx0相当于x0limf(x)limf(x0x)limf(xx0)f(x0)f(x0)x0x0limx0f(x0x)f(x0)xxf(x0)limf(x0x)f(x0)xlimlimx0x0x0f(x0)f(x0)0f(x0)f(x0).如果yf(x)点x0处连续，那么y0f(x)在点x00处可导，是不成立的.yx|x|x例：f(x)|x|在点x00时，yx1；当x处连续，但在点x0yx处不可导，因为不存在.，当x0时，1，故l
17、imx0yx注：可导的奇函数函数其导函数为偶函数.可导的偶函数函数其导函数为奇函数.3.导数的几何意义：函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义就是曲线yf(x)在点f(x)在点(x0,f(x)处的切线的斜率，也就是说，曲线y方程为yy0f(x)(xx0).P(x0,f(x)处的切线的斜率是f(x0)，切线4.求导数的四则运算法则：(uv)uvyf1(x)f2(x).fn(x)yf1(x)f2(x).fn(x)(uv)vuvu(cv)cvcvcvuv（c为常数）vuvuv2(v0)注：u,v必须是可导函数.若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不
18、一定不可导.例如：设和f(x)2sinx2x，g(x)cosx2x，则f(x),g(x)在x0处均不可导，但它们f(x)g(x)sinxcosx在x0处均可导.fx(x)f(u)(x)5.复合函数的求导法则：或yxyuux复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.6.函数单调性：函数单调性的判定方法：设函数yyf(x)为增函数；如果f(x)f(x)在某个区间内可导，如果f(x)0，则0，则yf(x)为减函数.常数的判定方法；如果函数y注：f(x)在区间I内恒有f(x)=0，则yf(x)为常数.f(x)0是f（x）递增的充分条件，但不是必要条件，如y2x3在(,)上，有一个点例外即x=0时f
19、（x）=0，同样f(x)0是f（x）并不是都有f(x)0递减的充分非必要条件.一般地，如果f（x）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么f（x）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的.7.极值的判别方法：（极值是在x0附近所有的点，都有函数f(x)的极大值，极小值同理）f(x)在点x0f(x)f(x0)，则f(x0)是当函数处连续时，f(x)如果在x0附近的左侧如果在x0附近的左侧0，右侧0，右侧f(x)0，那么0，那么f(x0)是极大值；f(x0)是极小值.f(x)f(x)也就是说x0是极值点的充分条件是x0点两侧导数异号，而不是f(x)=0.此外，函数不可导的点也可能是
20、函数的极值点.当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）.注：若点x0是可导函数f(x)的极值点，则f(x)=0.但反过来不一定成立.对于可导函数，其一点x0是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零.例如：函数yf(x)x3，x0使f(x)=0，但x0不是极值点.是函数的极小值点.例如：函数yf(x)|x|，在点x0处不可导，但点x08.极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.注：函数的极值点一定有意义.9.几种常见的函数导数：I.Cn0（C为常数）(sinx)cosx(arcsinx)11x2(x)nxn1（11x2nR）(cosx)sinx(arccosx)1x2II.(ln(exx)1xx(logax)1xlogae(arctanx)1)exx(a)alna(arccotx)x121III.求导的常见方法：常用结论：(ln形如|x|)1x.(xa1)(xa2).(xan)(xb1)(xb2).(xbn)y(xa1)(xa2).(xan)或y两边同取自然对数，可转化求代数和形式.无理函数或形如y对两边求导可得xx这类函数，如yxx取自然对数之后可变形为lnyxlnx，第 9 页 共 9 页