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1、绝密启用前 绝密启用前 2018 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 112i12i+=A43i55B43i55+C34i55D34i55+2已知集合()223Axy xyxy=+ZZ， ，则A中元素的个数为 A9 B8 C5 D4 3函数( )2eexxf xx=的图像大致为 4已知向量a，b满足|1=a
2、，1= a b，则(2)=aabA4 B3 C2 D0 5双曲线22221(0,0)xyabab=的离心率为3，则其渐近线方程为 A2yx= B3yx= C22yx= D32yx= 6在ABC中，5cos25C=，1BC =，5AC =，则AB =A4 2B30C29 D2 5 该文档是极速PDF编辑器生成，如果想去掉该提示,请访问并下载：http:/ = +，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入 A1ii= +B2ii= +C3ii= +D4ii= +8我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+
3、在不超过 30 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 30 的概率是 A112B114C115D1189在长方体1111ABCDABC D中，1ABBC=，13AA =，则异面直线1AD与1DB所成角的余弦值为 A15B56C55D2210若( )cossinf xxx=在, a a是减函数，则a的最大值是 A4B2C34D11 已 知( )f x是 定 义 域 为(,) +的 奇 函 数 ， 满 足(1)(1)fxfx=+ 若(1)2f=， 则(1)(2)(3)(50)ffff+=A50B0 C2 D50 12已知1F，2F是椭圆22221(0)xyCabab+=：的左、右焦点，A是C的
4、左顶点，点P在过A且斜率为36的直线上，12PFF为等腰三角形，12120FF P=，则C的离心率为 A 23B12C13 D14二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13曲线2ln(1)yx=+在点(0,0)处的切线方程为_ 14若, x y满足约束条件25023050 xyxyx+，则zxy=+的最大值为_ 15已知sincos1+=，cossin0+=，则sin()+=_ 开始0,0NT=SNT=S输出1i =100i 1NNi=+11TTi=+结束是否该文档是极速PDF编辑器生成，如果想去掉该提示,请访问并下载：http:/ 45 ，若SAB的面积为5 15，则该圆
5、锥的侧面积为_ 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 为选考题，考生根据要求作答学科*网 （一）必考题：共 60 分。17（12 分） 记nS为等差数列na的前n项和，已知17a = ，315S = （1）求na的通项公式； （2）求nS，并求nS的最小值 18（12 分） 下图是某地区 2000 年至 2016 年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图 为了预测该地区 2018 年的环境基础设施投资额， 建立了y与时间变量t的两个线性回归模型 根据 2000年至 2016 年的数据（时间变量t的值
6、依次为1 217， ，）建立模型：30.4 13.5yt=+；根据 2010 年至 2016 年的数据（时间变量t的值依次为1 27， ，）建立模型：99 17.5yt=+ （1）分别利用这两个模型，求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由 19（12 分）设抛物线24Cyx=：的焦点为F，过F且斜率为(0)k k 的直线l与C交于A，B两点，|8AB = （1）求l的方程；学科&网 （2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程 20（12 分） 该文档是极速PDF编辑器生成，如果想去掉该提示,请访问并下载：http:/ 2AB
7、BC=，4PAPBPCAC=，O为AC的中点 （1）证明：PO 平面ABC； （2）若点M在棱BC上，且二面角MPAC为30，求PC与平面PAM所成角的正弦值 PAOCBM21（12 分）已知函数2( )exf xax= （1）若1a =，证明：当0 x 时，( )1f x ； （2）若( )f x在(0,)+只有一个零点，求a （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分22选修 44：坐标系与参数方程（10 分） 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2cos4sinxy=，（为参数），直线l的参数方程为 1cos2sinxtyt=
8、+=+，（t为参数） （1）求C和l的直角坐标方程；（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1, 2)，求l的斜率 23选修 45：不等式选讲（10 分）设函数( )5|2|f xxax=+ （1）当1a =时，求不等式( )0f x 的解集； （2）若( )1f x ，求a的取值范围 该文档是极速PDF编辑器生成，如果想去掉该提示,请访问并下载：http:/ 绝密启用前 2018 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题参考答案 一、选择题1D 2A 3B 4B 5A 6A 7B 8C 9C 10A 11C 12D二、填空题 132yx=149 15121640 2三、解答题17解：
9、（1）设na的公差为 d，由题意得13315ad+= 由17a = 得 d=2 所以na的通项公式为29nan= （2）由（1）得228(4)16nSnnn= 所以当 n=4 时，nS取得最小值，最小值为16 18解： （1）利用模型，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为 30.4 13.5 19226.1y = +=(亿元) 利用模型，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为 99 17.5 9256.5y =+=(亿元) （2）利用模型得到的预测值更可靠理由如下： （）从折线图可以看出，2000 年至 2016 年的数据对应的点没有随机散布在直线30.4 13.5y
10、t= +上下这说明利用 2000 年至 2016 年的数据建立的线性模型不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势2010 年相对 2009 年的环境基础设施投资额有明显增加，2010 年至 2016 年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从 2010 年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用 2010 该文档是极速PDF编辑器生成，如果想去掉该提示,请访问并下载：http:/ 2016 年的数据建立的线性模型99 17.5yt=+可以较好地描述 2010 年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型得到的预测值更可靠学科*网 （）从计算结果看，相对于 2016 年的环
11、境基础设施投资额 220 亿元，由模型得到的预测值 226.1 亿元的增幅明显偏低，而利用模型得到的预测值的增幅比较合理说明利用模型得到的预测值更可靠 以上给出了 2 种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分19解： （1）由题意得(1,0)F，l 的方程为(1)(0)yk xk= 设1221( ,), (,)AyxyxB， 由2(1),4yk xyx=得2222(24)0k xkxk+= 216160k =+，故122224kxkx+= 所以122244| | (1)(1)xkABAFBFkx+=+=+= 由题设知22448kk+=，解得1k =（舍去） ，1k = 因此 l 的方
12、程为1yx= （2） 由 （1） 得 AB 的中点坐标为(3,2)， 所以 AB 的垂直平分线方程为2(3)yx= ， 即5yx= +设所求圆的圆心坐标为00(,)xy，则 00220005,(1)(1)16.2yxyxx= +=+解得003,2xy=或0011,6.xy= 因此所求圆的方程为22(3)(2)16xy+=或22(11)(6)144xy+= 20解： （1）因为4APCPAC=，O为AC的中点，所以OPAC，且2 3OP = 该文档是极速PDF编辑器生成，如果想去掉该提示,请访问并下载：http:/ 且OBAC，122OBAC= 由222OPOBPB+=知POOB 由,OPOB
13、OPAC知PO 平面ABC （2）如图，以O为坐标原点，OBuuu r的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz 由已知得(0,0,0), (2,0,0), (0, 2,0),(0,2,0), (0,0,2 3),(0,2,2 3),OBACPAP=uu u r取平面PAC的法向量(2,0,0)OB =uu u r 设( ,2,0)(02)M aaa，则( ,4,0)AMaa=uuur 设平面PAM的法向量为( , , )x y z=n 由0,0APAM=uu u ruuurnn得22 30(4)0yzaxa y+=+=，可取( 3(4), 3 ,)aaa=n， 所以2222 3(4)co
14、s,2 3(4)3aOBaaa=+uu u rn 由已知可得3|cos,|2OB=uuu rn 所以2222 3|4|3=22 3(4)3aaaa+解得4a = （舍去） ，43a = 所以8 3 4 34(,)333= n 该文档是极速PDF编辑器生成，如果想去掉该提示,请访问并下载：http:/ 2 3)PC =uuu r，所以3cos,4PC=uuu rn 所以PC与平面PAM所成角的正弦值为34 21解： （1）当1a =时，( )1f x 等价于2(1)e10 xx+ 设函数2( )(1)e1xg xx=+，则22( )(21)e(1) exxg xxxx= += 当1x 时，( )
15、0g x ，所以( )g x在(0,)+单调递减 而(0)0g=，故当0 x时，( )0g x ，即( )1f x （2）设函数2( )1exh xax= ( )f x在(0,)+只有一个零点当且仅当( )h x在(0,)+只有一个零点 （i）当0a时，( )0h x ，( )h x没有零点； （ii）当0a 时，( )(2)exh xax x= 当(0,2)x时，( )0h x ；当(2,)x+时，( )0h x 所以( )h x在(0,2)单调递减，在(2,)+单调递增 故24(2)1eah= 是( )h x在0,)+的最小值 若(2)0h，即2e4a ，( )h x在(0,)+没有零点；
16、 若(2)0h=，即2e4a =，( )h x在(0,)+只有一个零点； 若(2)0h，即2e4a ，由于(0)1h=，所以( )h x在(0,2)有一个零点， 由（1）知，当0 x 时，2exx，所以33342241616161(4 )11110e(e )(2 )aaaaahaaa= = = 故( )h x在(2,4 )a有一个零点，因此( )h x在(0,)+有两个零点 该文档是极速PDF编辑器生成，如果想去掉该提示,请访问并下载：http:/ )f x在(0,)+只有一个零点时，2e4a = 22解： （1）曲线C的直角坐标方程为221416xy+= 当cos0时，l的直角坐标方程为ta
17、n2tanyx= +， 当cos0=时，l的直角坐标方程为1x = （2）将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程 22(1 3cos)4(2cossin)80tt+= 因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以有两个解，设为1t，2t，则120tt+= 又由得1224(2cossin)1 3costt+= +，故2cossin0+=，于是直线l的斜率tan2k= 23解： （1）当1a =时，24,1,( )2, 12,26,2.xxf xxxx+ = +可得( )0f x 的解集为 | 23xx （2）( )1f x 等价于|2| 4xax+ 而|2| |2|xaxa+，且当2x =时等号成立故( )1f x 等价于|2| 4a+ 由|2| 4a+可得6a或2a，所以a的取值范围是(, 62,) + 该文档是极速PDF编辑器生成，如果想去掉该提示,请访问并下载：http:/