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1、精选优质文档-倾情为你奉上积分不等式的证明方法及其应用【摘要】本文根据定积分的定义、性质、定理等方面简单介绍了几个证明积分不等式的基本方法，并给出了相应的例题，从而更好地掌握其积分不等式的证明方法。尔后再给出四个重要积分不等式及其证明方法和应用，最后详细举例说明积分不等式在求极限、估计积分、证明积分不等式等上的应用及两个重要积分不等式的应用。【关键词】积分不等式 Schwarz不等式 Hlder不等式 Gronwall不等式 Young不等式1 引言 在学习中，我们常会遇到这样的问题：有些函数可积，但原函数不能用初等函数的有限形式来表达，或者说这种积分“积不出”，无法应用Newton-Leib
2、niz公式求出（如），这时我们只能用其它方法对积分值进行估计，或近似计算；另一种情况是，被积函数是没有明确给出，只知道它的结构或某些性质（例如设函数在上连续可微，且，求），因此我们希望对积分值给出某种估计.为此我们来研究下积分不等式. 我们把含有定积分的不等式称为积分不等式.，都是积分不等式.2积分不等式的证明方法2.1 定义法我们根据定积分的定义，把积分区间等分，得出积分和，再由离散型式子，得出积分和之间的大小关系，再令，取极限即可.例1设函数在区间 上可积 .试证明有不等式.证 先用Jensen不等式法证明不等式 : 对 , 有不等式 . 设为区间的等分.由上述不等式,有. 令, 注意到函
3、数和在区间 0 , 1 上的可积性以及函数 和的连续性，就有积分不等式 .例2 设在区间上连续，且，在上有定义，并有二阶导数，试证明：.证 （利用积分和）将等分，记， 因为，所以为凸函数，所以 则有 令取极限，便得欲证明的积分不等式.2.2 利用定积分的基本性质例3 设在上二次连续可微，试证：，其中.证 将在处用泰勒公式展开，注意到，则，的右端第一项在上的积分为0，故，其中.例4设函数在连续且递增，证明：对任意，有.证1 ,移项即得.证2 或但在闭区间上连续且递增，故，即成立，原题获证.2.3 利用重积分证明积分不等式把积分不等式中的定积分变换成重积分，再利用重积分的性质证明积分不等式.例5
4、已知，在上连续，为任意实数，求证： （*）证 （*）式左端 原式获证.2.4 利用缩放积分区间来证明积分不等式的方法例6 设函数在上有连续二阶导数，（），试证：.证 因（），故在内恒正或恒负（否则由介值性知必有零点在内，与矛盾），不妨设（的情况类似可证），,因在上连续，故存在，使得，于是对任意有 下面我们来恰当地选取，得到所需的估计.注意到，应用Lagrange公式得，；.令，则因为，所以，获证.2.5 构造变限积分的方法对于一个积分不等式，可把常数变为变量构造辅助函数，再利用函数的性质来证明积分不等式.例7 设在上可微，且当时，试证明：.证1 问题在于证明故令，因，故只要证明在内有.事实上，
5、 令，故只要证明在内有，因，故只要证明在内有.事实上， 已知，（），故时，所以，故.证2 已知，（），故时，所以问题在于证明（*）令， 则（*）式左端（利用Cauchy中值定理）有 2.6 其它方法证明积分不等式的方法很多，像判别式法，面积法，概率论法等，在此我就不一一介绍了.3 几个重要积分不等式及其应用本节我们将会介绍几个著名的不等式.这些不等式不仅本身是重要的，而且证明这些不等式的方法，也十分典型.因此本节将系统地介绍这些不等式，并着重讨论它们的证明与应用.3.1 Schwarz不等式及其应用3.1.1 Cauchy不等式对任意个数恒有，其中等号当且仅当成比例时成立.我们将这种离散的和的
6、不等式推广到积分不等式，就得到Schwarz不等式.3.1.2 定理1(Schwarz不等式) ,在区间上可积，其中等号当且仅当存在常数，使得时成立（不同时为）.证1 将等分，令，应用Cauchy不等式得，则有，令得.证2 利用定积分的性质易知，即(1)当时，因为在区间上可积，所以在区间上也可积且非负，故有于，所以于，继而有于，所以有，命题得证，其中.(2)当时，上面方程是关于的二次多项式不等式，因此，判别式：，即：,命题得证.证3 利用二重积分来证明Schwarz不等式. 即有，由此看出若在区间上连续，其中等号当且仅当存在常数，使得时成立（不同时为）.3.1.2 Schwarz不等式的应用应
7、用Schwarz不等式，可证明另外一些不等式，使用时要注意恰当选取函数.例1 已知，在上连续，为任意实数，求证： （*）证 （*）式左端第一项应用Schwarz不等式，得 同理 所以 例2 求证：,其中在区间上连续，其中等号当且仅当存在常数，使得时成立,不同时为.证 对上式两边开平方即得要证明的积分不等式.3.2 Hlder不等式及其应用3.2.1 基本形式设，为实数，且有，则当（从而）时，当（从而）时，其中等号当且仅当成比例时成立.3.2.2 Hlder不等式的积分形式定理2 设，并使得所论的积分有意义，为共轭实数（即），则 当（从而）时， 当（从而）时，若连续，则其中的等号当且仅当时成立.
8、证 当（从而）时，令.因为，所以，(1) 若，又，则，所以于，故于，所以有于，故，原式得证.同理时，原式可证.（2）若，令，因为有（此式见本文第13页例8）,令，则得所以，.当（从而）时，因，则 所以有.在上述两种情况中，等号当且仅当时成立.3.2.2 Hlder不等式的应用例3 试证明：.证 令，于是 例5 设函数在上连续可微，且，求.证 在Hlder不等式中取，则故有3.3 Gronwall不等式及其应用3.3.1 Gronwall不等式定理3 设为非负常数，为区间上的连续非负函数，且满足不等式 ，则有，.证1 当时，令，则在上恒正且可导，则，则，；当时，则有由的任意性知，原式得证.证2
9、令， 则，且在上可导，对上式两边取积分得，原式得证.3.3.2 Gronwall不等式的应用下面我们来看一下Gronwall在证明一阶线性微分方程的惟一性时的应用.例6 设积分方程在区间上存在连续解，且关于满足Lipschitz条件：，证明这个连续解是惟一的.证 设此方程还有一连续解.现在取，构造皮卡逼近函数序列如下： ，则， 应用Gronwall不等式得，则有，即连续解是惟一的.3.4 Young不等式及其应用著名的不等式还有很多，我们不准备一一介绍，最后，我来绍一个在证法上有特点的Young不等式.3.4.1 Young不等式定理4 设递增，连续于，表示的反函数，则，其中等号当且仅当时成立
10、.该式从几何上看上要分清楚的.因积分等于曲边梯形的面积，可能发生的三种情况，如下图所示，这时，其中表示图形的面积. 证 我们证明 因为递增，连续于上，故递增，连续于上.故式有意义.将等分，记分点为，相应的点为，（）构成上的一个分划：，因为在上连续，故在上一致连续.故时，对于分划来讲，有，故 ， 式获证.由式可知，若，则中等号成立.若，则由的连续性知，存在，使得，于是 时，只要把看作是的反函数，就可由的结论得到. 联系，可知定理成立.3.4.2 Young不等式的应用例7 证明当时，不等式成立. 证 令，则单调递增且连续，因，应用Young不等式可得.例8 设，试证：.证 设，则单调递增且连续，
11、因，应用Young不等式可得，且等号当且仅当即时成立。原式获证.4 积分不等式的应用4.1 求含积分的数列或函数的极限设收敛数列或是一个有关定积分的数列或函数，若它不容易算出来，此时我们就可以借助两个积分不等式来估计它，再应用数列或函数的夹逼原则即可以得出它的极限.例1求（1）；（2）解 （1）任意（不妨设） 因为，所以故存在，使得时，所以故=0.（2）因，所以=0.例2 设严格递减，在上连续，试证：任意，都有.证 因为严格递减，所以故对任意固定的有所以.4.2 估计积分对于一个定积分，若它不易求出，而又要用.到它的一些性质时，我们往往用另外两个定积分来逼近它，或找一个接近它的定积分作为它的估
12、计值.例3估计下列各式（1） ；（2）；（3） 解 （1）因为在上有界，即，有，所以.（2）因为在上是单调递减的，故，即，所以. （3）令，则时，所以（），故 下面我们来看下积分估计在某些例题中的应用.例4设在上连续，试证：在内至少有两个零点.证 若在内无零点，因连续，在内恒保持同号，则（或），则得到估计（或），这与已知条件矛盾.可见在内至少有一个零点. 若除外在内再无零点，则在与内分别保持不变号.若在此二区间符号相异，则在与内恒正（或恒负），则（或），但由已知条件矛盾.若 在此二区间符号相同，则在与内恒正（或恒负），同样可推出矛盾.故在内至少有两个零点.例5设在连续，求证：在的某一部分上.证
13、 由已知条件，对任意，恒有.假设在处处都有.若能选取恰当的，由此得出估计，便找到了矛盾.事实上，取，有证毕.4.3 证明不等式例6证明不等式 证 考虑函数, .易见对任何,在区间上和均单调,因此可积,且有 ,注意到,就有.而 , ，因此有 .取, . 在区间仿以上讨论, 有. 而 ， .综上所述 ,有不等式.例7试证：.证 由定积分定义有： 所以有.4.4 一阶线性微分方程的存在惟一性定理考察微分方程的初值问题： (1)设在上连续，且关于满足Lipschitz条件则问题有满足初始条件的惟一解.证 问题(1)等价于积分方程的求解.取，使得.考虑连续函数空间，定义映射：，显然，且 由于，故是压缩映
14、射.由Banach压缩映射原理，有惟一不动点，使得这个是连续可微的，它就是问题(1)的惟一解.但它仅限定义于上，重复利用Banach压缩映射原理，可将它延拓到整个数轴上去.4.5 Volterra型线性积分方程解的存在惟一性引理 设是完备距离空间，如果存在正整数，使得为压缩映射，则存在惟一不动点.考察Volterra型线性积分方程： （2）其中在区间上连续，而在正方形上连续，则对于任意，方程（2）恒有惟一连续解.证 利用上述引理来证明结论成立.令，显然，任取且有 其中 归纳易知，一般地有从而 由于级数对任都收敛，故可取一正数，使得于是此可视为引理中的，所以为压缩映射，于是有惟一不动点，即方程（
15、2）在有惟一解. 5 小结本文将几种常见的证明积分不等式的方法列出，并不是就能解出所有的积分不等式问题，目的在于能举一反三，碰到相同的题型可以用文中所提到的方法，碰到没见过的题型应该仔细思考，认真分析，反复琢磨，以便能化为熟悉的类型而把题目解出来另外，有些题可用多种方法求解，应认真分析各种方法的利弊，思索用最简单的方法来求解参考文献：1华东师范大学数学系. 数学分析（上）M. 北京：高等教育出版社，2001.2王高雄等. 常微分方程M. 北京：高等教育出版社, 2005.3裴礼文. 数学分析中的典型问题与方法M. 北京：高等教育出版社, 1993.4李贤平. 概率论基础M. 北京：高等教育出版
16、社, 1997.5Beckenbach E F,Bellman R.Inequalities.Springer-Verlag 19836李国祯. 实分析与泛函分析引论M. 北京：科学出版社, 2004.7钱珮玲等. 数学思想方法与中学数学M. 北京：北京师范大学出版社, 1997.8孙清华. 数学分析内容、方法与技巧（上）M. 华中科技大学出版社, 2003.9胡克. 解析不等式的若干问题M. 武汉大学出版社, 2007.10匡继昌. 常用不等式M. 济南：山东科学技术出版社, 2004.11Hardy G H,Littlewood J E,Plya G.Inequalities,2nd Edition.Cambridge University,1952专心-专注-专业