《2010年高考数学题分类汇编(3)函数与导数(共34页).doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2010年高考数学题分类汇编(3)函数与导数(共34页).doc（34页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精选优质文档-倾情为你奉上2010年全国各地高考数学真题分章节分类汇编第3部分:函数与导数一、选择题:1（2010年高考山东卷理科4）设f(x)为定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)=+2x+b(b为常数)，则f(-1)=(A) 3 (B) 1 (C)-1 (D)-3【答案】D【解析】因为为定义在R上的奇函数,所以有,解得,所以当时, ,即,故选D.【命题意图】本题考查函数的基本性质,熟练函数的基础知识是解答好本题的关键.2（2010年高考山东卷理科7）由曲线y=,y=围成的封闭图形面积为来源:Zxxk.Com（A）(B) (C) (D) 【答案】A【解析】由题意得:所求封闭图形的面积为,故
2、选A。【命题意图】本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的面积。3（2010年高考山东卷理科11）函数y=2x -的图像大致是【答案】A【解析】因为当x=2或4时，2x -=0，所以排除B、C；当x=-2时，2x -=，故排除D，所以选A。【命题意图】本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力。4（ 2010年高考全国卷I理科8）设a=2,b=In2,c=,则A abc Bbca C cab D cba4.C 【命题意图】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用.【解析】 a=
3、2=, b=In2=,而,所以ab,c=,而,所以ca,综上cab.5（ 2010年高考全国卷I理科10）已知函数F(x)=|lgx|,若0ab,且f(a)=f(b),则a+2b的取值范围是(A) (B) (C) (D)5.A 【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易忽视a的取值范围，而利用均值不等式求得a+2b,从而错选A,这也是命题者的用苦良心之处.【解析】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去)，或，所以a+2b=又0ab,所以0a1f(1)=1+=3,即a+2b的取值范围是(3,+).6（2010年高考福建
4、卷理科4）函数的零点个数为 ( )A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】当时，令解得；当时，令解得，所以已知函数有两个零点，选C。【命题意图】本题考查分段函数零点的求法，考查了分类讨论的数学思想。7（2010年高考福建卷理科10）对于具有相同定义域D的函数和,若存在函数为常数),对任给的正数m,存在相应的,使得当且时,总有,则称直线为曲线和的“分渐近线”.给出定义域均为D=的四组函数如下:, ; ,;,; ,.其中, 曲线和存在“分渐近线”的是( )A. B. C.D.【答案】C【解析】要透过现象看本质，存在分渐近线的充要条件是时，。对于，当时便不符合，所以不存在；对于，肯定存在分渐
5、近线，因为当时，；对于，设且，所以当时越来愈大，从而会越来越小，不会趋近于0，所以不存在分渐近线；当时，因此存在分渐近线。故，存在分渐近线的是选C【命题意图】本题从大学数列极限定义的角度出发，仿造构造了分渐近线函数，目的是考查学生分析问题、解决问题的能力，考生需要抓住本质：存在分渐近线的充要条件是时，进行做答，是一道好题，思维灵活。8（2010年高考安徽卷理科6）设，二次函数的图象可能是6.D【解析】当时，、同号，（C）（D）两图中，故，选项（D）符合.【方法技巧】根据二次函数图像开口向上或向下，分或两种情况分类考虑.另外还要注意c值是抛物线与y轴交点的纵坐标，还要注意对称轴的位置或定点坐标的
6、位置等.9.(2010年高考天津卷理科2)函数的零点所在的一个区间是（A）（-2，-1） （B）（-1，0） （C）（0，1） （D）（1，2）【答案】B【解析】因为，所以选B。【命题意图】本小题考查函数根的存在性定理，属基础题。10(2010年高考天津卷理科8)设函数f（x）= 若f(a)f(-a),则实数a的取值范围是（A）（-1，0）（0，1） （B）（-，-1）（1,+） （C）（-1，0）（1,+） （D）（-，-1）（0,1）【答案】C【解析】当时，由f(a)f(-a)得：，即，即，解得；当时，由f(a)f(-a)得：，即，即，解得，故选C。【命题意图】本小题考查函数求值、不等式求
7、解、对数函数的单调性等基础知识，考查同学们分类讨论的数学思想。11（2010年高考广东卷理科3）若函数f（x）=3x+3-x与g（x）=3x-3-x的定义域均为R，则Af（x）与g（x）均为偶函数 B. f（x）为偶函数，g（x）为奇函数Cf（x）与g（x）均为奇函数 D. f（x）为奇函数，g（x）为偶函数【答案】D【解析】12. (2010年高考湖南卷理科5)13. (2010年高考安徽卷理科4)若是上周期为5的奇函数，且满足，则A、1B、1C、2D、2【答案】A14（2010年高考四川卷理科3）2log510log50.25w_w_w.k*s 5*u.c o*m（A）0 （B）1 （C）
8、 2 （D）4w_w w. k#s5_u.c o*m解析：2log510log50.25log5100log50.25log5252答案：C15（2010年高考四川卷理科4）函数f(x)x2mx1的图像关于直线x1对称的充要条件是（A） （B） （C） （D）解析：函数f(x)x2mx1的对称轴为x w_w_w.k*s 5*u.c o*m 于是1 m2答案：A16. (2010年全国高考宁夏卷3）曲线在点（-1，-1）处的切线方程为（A）y=2x+1 (B)y=2x-1 C y=-2x-3 D.y=-2x-2【答案】A 解析：，所以，故切线方程为另解：将点代入可排除B、D，而，由反比例函数的图
9、像，再根据图像平移得在点处的切线斜率为正，排除C，从而得A17. (2010年全国高考宁夏卷8）设偶函数满足，则(A) (B) (C) (D) 【答案】B 解析：当时，又由于函数是偶函数，所以时，的解集为或，故的解集为或另解：根据已知条件和幂函数的图像易知的解集为或，故的解集为或18. (2010年全国高考宁夏卷11）已知函数若互不相等，且则的取值范围是(A) (B) (C) (D) 【答案】C 解析：不妨设，取特例，如取，则易得，从而，选C另解：不妨设，则由，再根据图像易得，故选C19（2010年高考陕西卷理科5）已知函数=，若=4a，则实数a= （C）（A） （B） (C) 2 (D) 9
10、【答案】C【解析】，.于是，由得.故选.20（2010年高考陕西卷理科10）某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表。那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=x（x表示不大于x的最大整数）可以表示为【B】(A) y= (B) y= (C) y= (D) y=【答案】B【解析】（方法一）当除以的余数为时，由题设知，且易验证知此时.当除以的余数为时，由题设知，且易验证知此时.故综上知，必有.故选.（方法二）依题意知：若，则，由此检验知选项错误；若，则，由此检验知选项错误.故由排除法知，本题应选.21（2010年
11、高考江西卷理科12）如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面,记时刻五角星露出水面部分的图形面积为()，则导函数的图像大致为 A BCD【答案】A22（2010年高考江西卷理科9）给出下列三个命题：函数与是同一函数；若函数与的图像关于直线对称，则函数与的图像也关于直线对称；若奇函数对定义域内任意都有,则为周期函数其中真命题是ABCD【答案】C23（2010年高考浙江卷9）设函数则在下列区间中函数不存在零点的是 (A) （B） (C) (D) 【答案】A24（2010年高考浙江卷10）设函数的集合 平面上点的集合 则在同一直角坐标系中，中函数的图像恰好经过Q中两个点的函数的个数
12、是 (A)4 （B） 6 (C)8 (D)10【答案】B25(2010年高考全国2卷理数2）函数的反函数是（A） （B）（C） （D）26(2010年高考全国2卷理数10）若曲线在点处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则来（A）64 （B）32 （C）16 （D）8 【答案】A 【命题意图】本试题主要考查求导法则、导数的几何意义、切线的求法和三角形的面积公式，考查考生的计算能力.【解析】，切线方程是，令，令，三角形的面积是，解得.故选A.27（2010年高考上海市理科17）若是方程的解，则属于区间 【答】（C）(A)(,1) (B)(,) (C)(,) (D)(0,)【答案】C28.(
13、2010年高考重庆市理科5) 函数的图象（A） 关于原点对称（B） 关于直线yx对称（C） 关于x轴对称（D） 关于y轴对称【答案】D解析： 是偶函数，图像关于y轴对称.29. （2010年高考辽宁卷理科10）已知点P在曲线y=上，a为曲线在点P处的切线的倾斜角，则a的取值范围是 (A)0,) (B) (D) 【答案】D30（2010年上海市春季高考18)答案：C解析： 设，任意给点关于的对称点为，由，联立可解得，可知，故选C。二、填空题：1（ 2010年高考全国卷I理科15）直线与曲线有四个交点，则的取值范围是 .y=1xyaO1.(1,【命题意图】本小题主要考查函数的图像与性质、不等式的解
14、法,着重考查了数形结合的数学思想.【解析】如图，在同一直角坐标系内画出直线与曲线,观图可知，a的取值必须满足解得.2（2010年高考福建卷理科15）已知定义域为的函数满足：对任意，恒有成立；当时，。给出如下结论：对任意，有；函数的值域为；存在，使得；“函数在区间上单调递减”的充要条件是 “存在，使得”。其中所有正确结论的序号是 。【答案】【解析】，正确；取，则；，从而，其中，从而，正确；，假设存在使，即存在，又，变化如下：2,4,8,16,32，显然不存在，所以该命题错误；根据前面的分析容易知道该选项正确；综合有正确的序号是.【命题意图】本题通过抽象函数，考查了函数的周期性，单调性，以及学生的
15、综合分析能力，难度不大。3. (2010年高考天津卷理科16)设函数，对任意, 恒成立，则实数m的取值范围是 。【答案】【解析】由题意知：在上恒成立，在上恒成立，当时，函数取得最小值，所以，即解得或。【命题意图】本题考查函数中的恒成立问题，考查化归与转化的数学思想。4（2010年高考广东卷理科9）函数=lg(-2)的定义域是 .【答案】(1,+)【解析】，5（2010年高考江苏卷试题5）设函数f(x)=x(ex+ae-x)(xR)是偶函数，则实数a=_【答案】-1 解析考查函数的奇偶性的知识。g(x)=ex+ae-x为奇函数，由g(0)=0，得a=1。6（2010年高考江苏卷试题11）已知函数
16、,则满足不等式的x的范围是_。【答案】 解析 考查分段函数的单调性。7（2010年高考江苏卷试题14）将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记,则S的最小值是_。【答案】 解析 考查函数中的建模应用，等价转化思想。一题多解。设剪成的小正三角形的边长为，则：（方法一）利用导数求函数最小值。，当时，递减；当时，递增；故当时，S的最小值是。（方法二）利用函数的方法求最小值。令，则：故当时，S的最小值是。8（2010年高考北京卷理科14）如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动。设顶点p（x，y）的轨迹方程是，则的最小正周期为 ；在其两个相邻零点间的图像与x轴所
17、围区域的面积为 。说明：“正方形PABC沿轴滚动”包括沿轴正方向和沿轴负方向滚动。沿轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续。类似地，正方形PABC可以沿轴负方向滚动。【答案】4; 【解析】不难想象，从某一个顶点（比如A）落在x轴上的时候开始计算，到下一次A点落在x轴上，这个过程中四个顶点依次落在了x轴上，而每两个顶点间距离为正方形的边长1，因此该函数的周期为4。下面考察P点的运动轨迹，不妨考察正方形向右滚动，P点从x轴上开始运动的时候，首先是围绕A点运动个圆，该圆半径为1，然后以B点为中心，滚动到C点落地，其间是以BP为半径，旋转
18、90，然后以C为圆心，再旋转90，这时候以CP为半径，因此最终构成图象如下：P A B C PPP因此不难算出这块的面积为9（2010年高考上海市理科8）对任意不等于1的正数a，函数f(x)=的反函数的图像都经过点P，则点P的坐标是 【答案】（0，-2）10. (2010年高考重庆市理科15)已知函数满足：，则_【答案】解析：取x=1 y=0得法一：通过计算，寻得周期为6法二：取x=n y=1,有f(n)=f(n+1)+f(n-1),同理f(n+1)=f(n+2)+f(n) 联立得f(n+2)= f(n-1) 所以T=6 故=f(0)= .11（2010年上海市春季高考2)已知函数是奇函数，则
19、实数 。答案：解析：由奇函数定义有得，故。三、解答题：1 （2010年高考山东卷理科22）(本小题满分14分)已知函数.()当时，讨论的单调性；（）设当时，若对任意，存在，使，求实数取值范围.来源:Z+xx+k.Com【解析】本小题主要考查导数的概念以及利用导数研究函数性质的能力，考查分类讨论思想、数形结合思想、等价变换思想，以及综合运用知识解决新情境、新问题的能力。解：（）因为，所以 ，令 ， 当时，恒成立，此时，函数 在上单调递减； 当， 时，此时，函数单调递减； 时，此时，函数 单调递增； 时，此时，函数单调递减； 当时，由于， ，,此时，函数 单调递减； 时，此时，函数单调递增.综上所
20、述：（）因为a=，由（）知，=1，=3，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增，所以在（0，2）上的最小值为。由于“对任意，存在，使”等价于“在上的最小值不大于在（0,2）上的最小值”（*）又=，所以当时，因为，此时与（*）矛盾当时，因为，同样与（*）矛盾当时，因为，解不等式8-4b，可得综上，b的取值范围是。【命题意图】本题将导数、二次函数、不等式知识有机的结合在一起，考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值以及二次函数的最值问题，考查了同学们分类讨论的数学思想以及解不等式的能力；考查了学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力。（1）直接利用函数与导数的关系讨论函数的单调性；
21、（2）利用导数求出的最小值、利用二次函数知识或分离常数法求出在闭区间1,2上的最大值，然后解不等式求参数。2（2010年高考福建卷理科20）（本小题满分14分）（）已知函数，。（i）求函数的单调区间；（ii）证明：若对于任意非零实数，曲线C与其在点处的切线交于另一点，曲线C与其在点处的切线交于另一点，线段（）对于一般的三次函数（）（ii）的正确命题，并予以证明。【命题意图】本小题主要考查函数、导数、定积分等基础知识，考查抽象概括能力、运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想。【解析】（）（i）由得=，当和时，；当时，因此，的单调递增区间为和，
22、单调递减区间为。（ii）曲线C与其在点处的切线方程为得，即，解得，进而有，用代替，重复上述计算过程，可得和，又，所以因此有。（）记函数的图象为曲线，类似于（）（ii）的正确命题为：若对任意不等式的实数，曲线与其在点处的切线交于另一点，曲线C与其在点处的切线交于另一点，线段证明如下：因为平移变换不改变面积的大小，故可将曲线的对称中心平移至坐标原点，因而不妨设，类似（i）（ii）的计算可得，故。3. （21）(2010年高考天津卷理科21)（本小题满分14分）已知函数f(x)=xe-x（xR）.() 求函数f(x)的单调区间和极值；()已知函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于直线x=
23、1对称，证明当x1时，f(x)g(x) ()如果且证明【命题意图】本小题主要考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及用函数思想分析解决问题的能力。【解析】（）解：f令f(x)=0,解得x=1当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表X()1()f(x)+0-f(x)极大值所以f(x)在()内是增函数，在()内是减函数。函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)=（）证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)令F(x)=f(x)-g(x),即于是当x1时，2x-20,从而(x)0,从而函数F（x）在1,+)是增函数。又F(1)=F(
24、x)F(1)=0,即f(x)g(x).)证明：（1）若（2）若根据（1）（2）得由（）可知，,则=，所以,从而.因为，所以，又由（）可知函数f(x)在区间（-，1）内事增函数，所以,即2.4. (2010年高考数学湖北卷理科17）（本小题满分12分）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度（单位：cm）满足关系：，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和（）求的值及的表达式；（）隔热层修建多厚对，总费
25、用达到最小，并求最小值5. (2010年高考数学湖北卷理科21） (本小题满分14分)已知函数f(x)=ax+c(a0)的图象在点（1,f(1)）处的切线方程为y=x-1.()用a表示出b,c;()若f(x)x在1,上恒成立，求a的取值范围；()证明：1+(n+1)+)(n1).6. (2010年高考湖南卷理科20)（本小题满分13分）已知函数（）证明：当（）若对满足题设条件的任意b,c，不等式恒成立，求M的最小值。7. （2010年高考安徽卷理科17）（本小题满分12分） 设为实数，函数。 ()求的单调区间与极值；()求证：当且时，。8.（ 2010年高考全国卷I理科20）(本小题满分12分
26、)（注意：在试题卷上作答无效）已知函数.（）若，求的取值范围；（）证明： .【命题意图】本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识,通过运用导数知识解决函数、不等式问题,考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力以及计算能力，同时也考查了函数与方程思想、化归与转化思想.【解析】20.解： （）， ,题设等价于.令，则当，；当时，是的最大值点， 综上，的取值范围是.()有（）知，即.当时，；当时， 所以9（2010年高考四川卷理科22）（本小题满分14分）设（且），g(x)是f(x)的反函数.（）设关于的方程求在区间2，6上有实数解，求t的取值范围；（）当ae（e为自然对数的底数）时，证明：；（）
27、当0a时，试比较与4的大小，并说明理由.10（2010年高考江苏卷试题20）（本小题满分16分）设是定义在区间上的函数，其导函数为。如果存在实数和函数，其中对任意的都有0，使得，则称函数具有性质。(1)设函数，其中为实数。(i)求证：函数具有性质； (ii)求函数的单调区间。(2)已知函数具有性质。给定设为实数，且，若|0，所以对任意的都有，在上递增。又。当时，且， 综合以上讨论，得：所求的取值范围是（0，1）。（方法二）由题设知，的导函数，其中函数对于任意的都成立。所以，当时，从而在区间上单调递增。当时，有，得，同理可得，所以由的单调性知、，从而有|0),由已知得 =alnx，=， 解德a=
28、,x=e2,两条曲线交点的坐标为（e2,e） 切线的斜率为k=f(e2)= ,切线的方程为y-e=(x- e2).（1） 当a.0时，令h (x)=0,解得x=,所以当0 x 时 h (x)时，h (x)0，h(x)在（0，）上递增。所以x是h(x)在（0， + ）上的唯一极致点，且是极小值点，从而也是h(x)的最小值点。所以（a）=h()= 2a-aln=2（2）当a0时，h(x)=(1/2-2a) /2x0,h(x)在（0，+）递增，无最小值。故 h(x) 的最小值（a）的解析式为2a(1-ln2a) (ao)（3）由（2）知（a）=2a(1-ln2a)则 1（a ）=-2ln2a，令1（
29、a ）=0 解得 a =1/2当 0a0，所以（a ） 在(0,1/2) 上递增当 a1/2 时， 1（a ）0，所以（a ） 在 (1/2, +)上递减。所以（a ）在(0, +)处取得极大值（1/2 ）=1因为（a ）在(0, +)上有且只有一个极致点，所以（1/2）=1也是（a）的最大值所当a属于 (0, +)时，总有（a）113(2010年高考北京市理科18) (本小题共13分)已知函数()=In(1+)-+(0)。()当=2时，求曲线=()在点(1，(1)处的切线方程；()求()的单调区间。（18）（共13分）www.ks解：（I）当时， 由于， 所以曲线在点处的切线方程为 即 （I
30、I），. 当时，. 所以，在区间上，；在区间上，. 故得单调递增区间是，单调递减区间是. 当时，由，得， 所以，在区间和上，；在区间上， 故得单调递增区间是和，单调递减区间是. 当时， 故得单调递增区间是.当时，得，.所以没在区间和上，；在区间上，故得单调递增区间是和，单调递减区间是14（2010年高考江西卷理科19）（本小题满分12分）设函数（1）当时，求的单调区间；（2）若在上的最大值为，求的值19（本小题满分12分）解： 函数的定义域为， ，（1）当时，所以的单调递增区间为，单调递减区间为，（2）当时，所以在上单调递增，故在上的最大值为，因此 15（2010年高考辽宁卷理科21）（本小题
31、满分12分）已知函数（I）讨论函数的单调性；（II）设.如果对任意，求的取值范围。来源:Zxxk.Com 16（2010年高考浙江卷理科22）(本题满分14分)已知 a是给定的实常数，设函数f(x)=(x-a2)(x+b)eX,bR,x=a是f(x)的一个极大值点。（1）求b的取值范围；（2）设x1 ,x2 ,x3 是f(x)的3个极致点，问是否存在实数b，可找到x4R ，使得 x1 ,x2 ,x3, x4的某种排列 , （其中i1, i 2,I3, i 4=1,2,3,4）依次成等差数列？若存在，求所有的b及相应的 x4；若不存在，说明理由。（22）本题主要考查函数极值的概念、导数运算法则、
32、导数应用及等差数列等基础知识，同时考查推理论证能力、分类讨论等综合解题能力和创新意识。满分14分。（）解：f(x)=ex(x-a) 令于是，假设（1） 当x1=a 或x2=a时，则x=a不是f(x)的极值点，此时不合题意。（2） 当x1a且x2a时，由于x=a是f(x)的极大值点，故x1ax2.即即此时或（2）当时，则于是此时综上所述，存在b满足题意，当b=-a-3时，17(2010年高考全国2卷理数22）（本小题满分12分）设函数（）证明：当时，；（）设当时，求a的取值范围【命题意图】本题主要考查导数的应用和利用导数证明不等式，考查考生综合运用知识的能力及分类讨论的思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力.【参考答案】【点评】导数常作为高考的压轴题，对考生的能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力.估计以后对导数的考查力度不会减弱。作为压轴题，主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题，利用导数证明不等式等，常伴随对参数的讨论，这也是难点之所在.18. (2010年高考重庆市理科18) (本小题满分13分，()小问5分，()小问8分)已知函数，其中实数() 若，求曲线在点处的切线方程；() 若在处取得极值，试讨论的单调性19（2010年上海市春季高考20)专心-专注-专业