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1、第三章 直线与方程3 3.1 1直线的倾斜角与斜率3 3.1 1.1 1倾斜角与斜率倾斜角与斜率一二三一、直线的倾斜角1.如图,在平面直角坐标系中,过一点P(2,2)可以作出多少条直线?这些直线区别在哪里呢?提示:无数条.区别是它们的倾斜程度不同.2.怎样描述直线的倾斜程度呢?提示:用直线的倾斜角来描述直线的倾斜程度.当直线l与x轴相交时,直线l向上方向与x轴正向之间所成的角是直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时,规定=0.一二三3.直线倾斜角的取值范围怎样?提示:直线的倾斜角的取值范围为0180.一二三4.填表:直线的倾斜角 一二三5.做一做:如图所示,直线l的倾斜角为()A.
2、45B.135C.0D.不存在答案:B一二三二、直线的斜率1.日常生活中,还有没有其他表示直线倾斜程度的量?如图(1)(2),在日常生活中,我们常用“升高量与前进量的比”表示“坡度”.(1)上图中的坡度相同吗? 一二三(2)上图中的“坡度”与角,存在等量关系吗?提示:存在,图中,坡度=tan ,图中坡度=tan .(3)我们如何使用直线的“倾斜角”来表示“坡度(比)”呢?提示:坡度(比)等于倾斜角的正切.2.任何一条直线都有斜率吗?提示:倾斜角是90的直线没有斜率.3.填表:直线的斜率一二三4.填表:斜率与倾斜角的对应关系 一二三三、过两点的直线的斜率问题思考1.我们知道:两点确定一条直线,进
3、而它的倾斜角与斜率也就确定了,那么任给直线上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(其中x1x2),这两点的坐标与直线的斜率的内在联系是什么呢?如下图、图,过点P1作x轴的平行线,过点P2作y轴的平行线,两线相交于点Q,那么点Q的坐标是什么?提示:题图中点Q的坐标为(x2,y1).题图中点Q的坐标为(x2,y1).一二三2.设直线P1P2的倾斜角为(90),则在RtP1P2Q中,哪一个角等于?提示:如图,当为锐角时,=QP1P2,如图,当为钝角时,=180-QP1P2.一二三3.做一做:(1)已知点P1(3,5),P2(-1,-3),则直线P1P2的斜率k等于()A.2B.1C.D.不存在
4、答案:A(2)已知直线l的倾斜角=60,则其斜率k=.答案:探究一探究二思维辨析直线的倾斜角直线的倾斜角例1已知直线l过原点,l绕原点按顺时针方向转动角(0180)后,恰好与y轴重合,求直线l转动前的倾斜角是多少?思路分析:画草图标记找倾斜角与的关系求倾斜角探究一探究二思维辨析解由题意画出如下草图.由图可知:当为钝角时,倾斜角为-90,当为锐角时,倾斜角为+90,当为直角时,倾斜角为0.反思感悟反思感悟直线的倾斜角的求法求直线的倾斜角主要根据定义,其关键是根据题意画出图形,找准倾斜角,有时要根据情况分类讨论.探究一探究二思维辨析变式训练 设直线l过坐标原点,它的倾斜角为,如果将l绕坐标原点按逆
5、时针方向旋转45,得到直线l1,那么l1的倾斜角为()A.+45B.-135C.135-D.当0135时,倾斜角为+45;当135180时,倾斜角为-135探究一探究二思维辨析解析:根据题意,画出图形,如图所示:因为0180,显然A,B,C未分类讨论,均不全面,不合题意.通过画图(如图所示)可知:当0135时,l1的倾斜角为+45;当135180时,l1的倾斜角为45+-180=-135.故选D.答案:D探究一探究二思维辨析斜率公式及其应用斜率公式及其应用例2已知直线l过点M(m+1,m-1),N(2m,1).(1)当m为何值时,直线l的斜率是1?(2)当m为何值时,直线l的倾斜角为90?思路
6、分析:求直线的斜率直线的斜率公式.(2)l的倾斜角为90,即l平行于y轴,所以m+1=2m,得m=1.反思感悟反思感悟直线斜率的计算方法(1)判断两点的横坐标是否相等,若相等,则直线的斜率不存在.(2)若两点的横坐标不相等,则可以用斜率公式 (其中x1x2)进行计算.探究一探究二思维辨析延伸探究1本例条件不变,试求直线l的倾斜角为锐角时实数m的取值范围.延伸探究2若将本例中的“N(2m,1)”改为“N(3m,2m)”,其他条件不变,结果如何?探究一探究二思维辨析一题多解利用斜率解决反射问题典例光线从点A(2,1)射到y轴上的点Q,经y轴反射后过点B(4,3),试求点Q的坐标及入射光线的斜率.探
7、究一探究二思维辨析方法总结 光的反射问题中,反射角等于入射角,但反射光线的斜率并不等于入射光线的斜率.当镜面水平放置时,它们之间是互为相反数的关系.另外,在光的反射问题中也经常使用对称的方法求解.探究一探究二思维辨析变式训练 一束光线从点A(-2,3)射入,经x轴上点P反射后,通过点B(5,7),求点P的坐标.12341.若直线l经过第二、第四象限,则直线l的倾斜角范围是 ()A.090B.90180C.90180 D.0180答案:C1234A.45B.135C.45或135D.60答案:A 12343.已知A(1,1),B(2,2),则直线AB的斜率为. 则直线AB的斜率为1.答案:11234答案:60