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1、3 3.2 2.3 3直线的一般式方程直线的一般式方程一二一、直线的一般式方程1.每一个关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不同时为零)都表示一条直线吗?为什么?一二2.平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x,y的二元一次方程表示吗?为什么?示成x-a=0,把它可以认为是关于x,y的二元一次方程,此时方程中y的系数为0.3.填空:关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式.4.做一做:过点A(-1,2),斜率为2的直线的一般式方程为.答案:2x-y+4=0一二二、直线方程的一般式与其他形式的互化1.直线方程的一般式与
2、其他几种形式的直线方程相比,它有什么优点?提示:直线的一般式方程能够表示平面上的所有直线,而点斜式、斜截式、两点式方程,都不能表示与x轴垂直的直线.2.在方程Ax+By+C=0(A,B不同时为零)中,A,B,C为何值时,方程表示的直线(1)平行于x轴;(2)平行于y轴;(3)与x轴重合;(4)与y轴重合.一二3.做一做:直线方程2x+3y+1=0化为斜截式为;化为截距式为.4.做一做:判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”.(1)直线的一般式方程可以表示平面内任意一条直线. ()(2)直线的其他形式的方程都可化为一般式. ()(3)关于x,y的二元一次方程Ax+By+C
3、=0(A,B不同时为0)一定表示直线. ()答案:(1)(2)(3)探究一探究二思想方法直线的一般式方程直线的一般式方程例1 根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般式方程.(1)斜率是 ,且经过点A(5,3);(2)斜率为4,在y轴上的截距为-2;(3)经过A(-1,5),B(2,-1)两点;(4)在x轴、y轴上的截距分别是-3,-1.思路分析:先选择合适的形式将直线方程写出来,再化为一般式.探究一探究二思想方法(2)由斜截式方程可知,所求直线方程为y=4x-2,化为一般式方程为4x-y-2=0.(3)由两点式方程可知,化为一般式方程为2x+y-3=0. 化为一般式方程为x+3y+3=0.
4、反思感悟直线的一般式方程的特征求直线方程时,要求将方程化为一般式方程,其形式一般作如下设定:x的系数为正;系数及常数项一般不出现分数;一般按含x项、含y项、常数项的顺序排列.探究一探究二思想方法变式训练变式训练根据下列各条件写出直线的方程,并化成一般式.(1)斜率是- ,经过点A(8,-2);(2)经过点B(4,2),且平行于x轴;(4)经过两点P1(3,-2),P2(5,-4). 即x+2y-4=0.(2)由点斜式方程,得y-2=0.即x+y-1=0. 探究一探究二思想方法由一般式方程判断两直线平行或垂直由一般式方程判断两直线平行或垂直【例2】 (1)已知直线l1:2x+(m+1)y+4=0
5、与直线l2:mx+3y-2=0平行,求实数m的值;(2)已知直线l1:(a+2)x+(1-a)y-1=0与直线l2:(a-1)x+(2a+3)y+2=0垂直,求实数a的值.思路分析:利用在一般式方程下,两直线平行或垂直的条件求解.解:(1)由23-m(m+1)=0,得m=-3或m=2.当m=-3时,l1:x-y+2=0,l2:3x-3y+2=0,显然l1与l2不重合,l1l2.同理,当m=2时,l1:2x+3y+4=0,l2:2x+3y-2=0,l1与l2不重合,l1l2,故m的值为2或-3.(2)由直线l1l2,得(a+2)(a-1)+(1-a)(2a+3)=0,解得a=1.故当a=1或a=
6、-1时,直线l1l2.探究一探究二思想方法反思感悟由直线的一般式方程解决平行与垂直问题直线l1:A1x+B1y+C1=0,直线l2:A2x+B2y+C2=0.(1)l1l2A1B2-A2B1=0,且B1C2-B2C10(或A1C2-A2C10).(2)l1l2A1A2+B1B2=0.探究一探究二思想方法延伸探究延伸探究已知点A(2,2)和直线l:3x+4y-20=0.求:(1)过点A和直线l平行的直线方程;(2)过点A和直线l垂直的直线方程.解:(1)将与直线l平行的直线方程设为3x+4y+C1=0,又过点A(2,2),所以32+42+C1=0,所以C1=-14.所求直线方程为3x+4y-14
7、=0.(2)将与l垂直的直线方程设为4x-3y+C2=0,又过点A(2,2),所以42-32+C2=0,所以C2=-2,所以直线方程为4x-3y-2=0.探究一探究二思想方法常见的直线系及其应用典例已知直线l的方程为3x+4y-12=0,求直线l的方程,l满足(1)过点(-1,3),且与l平行;(2)过点(-1,3),且与l垂直.思路分析:可先求斜率,再利用点斜式方程求解;也可利用平行、垂直直线系方程,利用待定系数法求解.探究一探究二思想方法法二(1)由l与l平行,可设l方程为3x+4y+m=0.将点(-1,3)代入上式得m=-9.所求直线方程为3x+4y-9=0.(2)由l与l垂直,可设其方
8、程为4x-3y+n=0.将(-1,3)代入上式得n=13.所求直线方程为4x-3y+13=0.探究一探究二思想方法方法总结 一般地,已知直线l的方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0),则:(1)与直线l平行的直线系方程都可以设为Ax+By+m=0(其中m为参数)的形式,然后再根据题设中的另一个条件来确定m的取值;(2)与直线l垂直的直线系方程都可以设为Bx-Ay+m=0(其中m为参数)的形式,然后再根据题设中的另一个条件来确定m的取值;(3)平面上恒过定点P(x0,y0)的直线方程都可以设为中心直线系方程y-y0=k(x-x0)或x=x0的形式.12341.已知直线2x+ay+b=0在x轴、y轴上的截距分别为-1,2,则a,b的值分别为()A.-1,2B.-2,2C.2,-2D.-2,-2答案:A 12342.两直线ax-by-1=0(ab0)与bx-ay-1=0(ab0)的图象可能是图中的哪一个()答案:B12343.斜率为2,且经过点A(1,3)的直线的一般式方程为.解析:由点斜式方程,得所求直线方程为y-3=2(x-1),整理,得2x-y+1=0.答案:2x-y+1=012344.若直线x-2y+5=0与直线2x+my-6=0互相垂直,则实数m=.解析:两直线垂直,12-2m=0,m=1.答案:1