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1、已知两个非零向量已知两个非零向量a和和b，作，作OA=a， OB=b，则，则AOB= （0 180）叫做向量叫做向量a与与b的的夹角夹角。OBA当0时，a与b同向；OAB当180时，a与b反向；OABB当90时，称a与b垂直， 记为ab.OAab 我们学过功的概念，即一个物体在力我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移的作用下产生位移s（如图）（如图）FS力力F所做的功所做的功W可用下式计算可用下式计算 W=|F| |S|cos 其中其中是是F与与S的夹角的夹角 从力所做的功出发，我们引入向量从力所做的功出发，我们引入向量“数量积数量积”的概念。的概念。 已知两个非零向量已知两个非零
2、向量a与与b，它们的，它们的夹角为夹角为，我们把数量，我们把数量|a| |b|cos叫做叫做a与与b的的数量积数量积（或（或内积内积），记作），记作ab ab=|a| |b| cos规定:零向量与任一向量的数量积为0注意：向量注意：向量的数量积是的数量积是一个数量。一个数量。 向量的数量积是一个数量，那么它向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？什么时候为正，什么时候为负？ab=|a| |b| cos当当0 90时时ab为正；为正；当当90 180时时ab为负。为负。当当 =90时时ab为零。为零。设设ba、是非零向量，是非零向量，be是与方向相同的方向相同的单位向量，单位向
3、量，ea与是的夹角，则的夹角，则cos|) 1 (aeaae0)2(baba|;|) 3(bababa同向时，与当|;|bababa反向时，与当特别地特别地2|aaaaaa |或2aOAB abB1| cos| cosabababab 解：解：ab = |a| |b|cos = 54cos120 =54（-1/2） = 10例例1 1 已知已知|a|=5|a|=5，|b|=4|b|=4，a a与与b b的夹角的夹角=120=120，求，求abab。练习：练习：1 1若若a = =0，则对任一向量，则对任一向量b ，有，有a b= =02若若a 0，则对任一非零向量，则对任一非零向量b ,有有a
4、 b03 3若若a 00，a b b = =0，则，则b= =04 4若若a b= =0，则，则a b中至少有一个为中至少有一个为05 5若若a0，a b= = b c，则，则a=c6 6若若a b = = a c , ,则则bc, ,当且仅当当且仅当a= =0 时成立时成立7对任意向量对任意向量 a 有有22|aa 二、二、平面向量的数量积的运算律平面向量的数量积的运算律：数量积的运算律：数量积的运算律：cbcacbabababaabba)(3()()()(2() 1 (其中，其中，cba、是任意三个向量，是任意三个向量，R注：注：)()(cbacba例例 2：求证：求证：（1）(ab)2a
5、22abb2；（2）(ab)(ab)a2b2.证明：证明：（1）(ab)2(ab)(ab)(ab)a(ab)baabaabbba22abb2.例例3、2 2 ) ) ( (3 3 ) )a ab ba ab b 求求（。|6,|4,|6,|4,abababab已已知知与与60 ,60 ,o o 的夹角为的夹角为解解:5.| 3,| 4,abkakbakb例 已知当且仅当 为何值时，向量与互相垂直？练习：练习：)(,2432, 1|1cbacabacbakbakbababa求证：是非零向量，且、设的值。互相垂直，求也与且、若小结： 1、已知两个非零向量、已知两个非零向量a与与b，它们的，它们的夹角为夹角为，我们把数量，我们把数量|a| |b|cos叫做叫做a与与b的的数量积数量积（或（或内积内积），记作），记作ab ab=|a| |b| cos设设ba、是非零向量，是非零向量，be是与方向相同的方向相同的单位向量，单位向量，ea与是的夹角，则的夹角，则cos|) 1 (aeaae0)2(baba|;|) 3(bababa同向时，与当|;|bababa反向时，与当特别地特别地2|aaaaaa |或2aOAB abB1| cos| cosabababab 2作业：作业：P108T1、2、3