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1、ABDEFMN南通市第一初级中学南通市第一初级中学 宗式芬宗式芬2注意点注意点: :双添双添-在图形上添虚线在图形上添虚线 在证明过程中描述添加方法在证明过程中描述添加方法一一. .连结法连结法一一. .连结法连结法典例典例1: 1:如图如图,AB=AD,BC=DC,AB=AD,BC=DC,求证求证:B=D.:B=D.ACBD1. 1.连结连结ACAC构造全等三角形构造全等三角形2. 2.连结连结BDBD构造两个等腰三角形构造两个等腰三角形一一. .连结法连结法典例典例2: 2:如图如图,AB=AE,BC=ED, B=E,AMCD,AB=AE,BC=ED, B=E,AMCD, 求证求证: :点
2、点M M是是CDCD的中点的中点. .ACBD连结连结ACAC、ADAD构造全等三角形构造全等三角形EM二二. .倍长中线法倍长中线法如何利用三角形的中线来构造全等三角形？如何利用三角形的中线来构造全等三角形？ 可以利用可以利用倍长中线法倍长中线法，即把中线，即把中线延长一倍，来构造全等三角形。延长一倍，来构造全等三角形。 如图，若如图，若AD为为ABC的中线，的中线， 必有结论必有结论：ABCDE12 延长延长AD到到E，使，使DE=AD，连结连结BE（也可连结（也可连结CE）。）。ABD ECD，1=E，B=2，EC=AB，CEAB。已知如图已知如图ADAD是是ABCABC的中线，的中线，
3、ABCDE)(21ACABAD求证：延长延长ADAD到点到点E E，使，使DE=ADDE=AD，连结连结CE.CE.思考：若思考：若AB=3,AC=5AB=3,AC=5求求ADAD的取值范围？的取值范围？倍长中线三三. .用角平分线的性质构造全等用角平分线的性质构造全等典例典例1: 1:如图如图, ,ABCABC中中, C =90, C =90o o,BC=10,BD=6,BC=10,BD=6, AD AD平分平分BAC,BAC,则点则点D D到到ABAB的距离等于的距离等于 . .ACD过点过点D D作作DEABDEAB构造全等的构造全等的直角三角形直角三角形BE4 4三三. .用角平分线的
4、性质构造全等用角平分线的性质构造全等典例典例2: 2:如图如图, ,梯形中梯形中, A= D =90, A= D =90o o, , BE BE、CECE均是角平分线均是角平分线, , 求证求证:BC=AB+CD.:BC=AB+CD.ACD过点过点E E作作EFBCEFBC构造全等的构造全等的直角三角形直角三角形BFE还有其他的方法吗？还有其他的方法吗？三三. .用角平分线的性质构造全等用角平分线的性质构造全等四、截长与补短四、截长与补短m = 42.35m = 42.23典例典例1 1、已知在、已知在ABCABC中，中， ADAD是是BAC的角平分线的角平分线， C=2B, C=2B, 求证
5、求证:AB=AC+CD:AB=AC+CDADBCE12在在AB上取点上取点E使得使得AE=AC，连接，连接DEF在在AC的延长线上取点的延长线上取点F使得使得CF=CD，连接，连接DF四、截长与补短四、截长与补短m = 42.35m = 42.23变题：已知在变题：已知在ABCABC中，中， AD AD是是BACBAC的角平分线的角平分线，AB=AC+CD, AB=AC+CD, 求证求证: :C=2BC=2BA在在AB上取点上取点E使得使得AE=AC，连接，连接DEF在在AC的延长线上取点的延长线上取点F使得使得CF=CD，连接，连接DF四、截长与补短四、截长与补短m = 42.35m = 4
6、2.23DBCE12m = 42.35m = 42.23典例典例3 3：如图，已知在四边形：如图，已知在四边形ABCDABCD中，中，BDBD是是ABCABC的的角平分线，角平分线，AD=CDAD=CD，求证：，求证：B BA AD D+B BC CD D=180=180DABC3 32 21 1* *一题多解一题多解DABCE在在BC上截取上截取BE，使，使BE=AB，连结，连结DE。12433 32 21 1* *典例典例3 3：如图，已知在四边形：如图，已知在四边形ABCDABCD中，中，BDBD是是ABCABC的的角平分线，角平分线，AD=CDAD=CD，求证：，求证：B BA AD
7、D+B BC CD D=180=180一题多解一题多解DABCF延长延长BABA到到F F，使，使BF=BCBF=BC，连结，连结DFDF。1243典例典例3 3：如图，已知在四边形：如图，已知在四边形ABCDABCD中，中，BDBD是是ABCABC的的角平分线，角平分线，AD=CDAD=CD，求证：，求证：B BA AD D+B BC CD D=180=180一题多解一题多解DABCM作作DMBCDMBC于于M M，DNBADNBA交交BABA的延长线于的延长线于N N。12N433 32 21 1* *典例典例3 3：如图，已知在四边形：如图，已知在四边形ABCDABCD中，中，BDBD是
8、是ABCABC的的角平分线，角平分线，AD=CDAD=CD，求证：，求证：B BA AD D+B BC CD D=180=180一题多解一题多解典例典例3 3：如图，已知在四边形：如图，已知在四边形ABCDABCD中，中，BDBD是是ABCABC的的角平分线，角平分线，AD=CDAD=CD，求证：，求证：B BA AD D+B BC CD D=180=180DABC拓展研究：拓展研究：如果题中如果题中“BDBD是是ABCABC的的角平分线角平分线”； “ A D = C DA D = C D ” ；“B BA AD D+B BC CD D=180=180”其中两个作为条件，另其中两个作为条件，
9、另一个作为结论，能构成一个作为结论，能构成几个真命题？。几个真命题？。五五 、周长问题转化、周长问题转化1. 1.如图如图, ,ABCABC中中,C=90,C=90o o,AC=BC,AD,AC=BC,AD平分平分ACB,ACB, DEAB. DEAB.若若AB=6cm,AB=6cm,则则DBEDBE的周长的周长= = 五五. .“周长问题周长问题”的转化借助的转化借助“角平分线性质角平分线性质”BACDEBE+BD+DEBE+BD+CDBE+BCBE+ACBE+AEAB2. 2.如图如图, ,ABCABC中中, D, D在在ABAB的垂直平分线上的垂直平分线上, ,E E在在ACAC的垂直平分线上的垂直平分线上. .若若BC=6cm,BC=6cm,求求ADEADE的周长的周长. .五五. .“周长问题周长问题”的转化借助的转化借助“垂直平分垂直平分线性质线性质”BACDEAD+AE+DEBD+CE+DEBC线段与角求相等，先找全等试试看。线段与角求相等，先找全等试试看。图中有角平分线，可向两边作垂线。图中有角平分线，可向两边作垂线。 线段计算和与差，巧用截长补短法。线段计算和与差，巧用截长补短法。三角形里有中线，延长中线至两倍。三角形里有中线，延长中线至两倍。想作图形辅助线，切莫忘记要双添。想作图形辅助线，切莫忘记要双添。