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1、 全等三角形中常见的辅助线 全等三角形问题中常见的辅助线的作法 常见辅助线的作法有以下几种：1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三 线合一”的性质解题，思维模式是全等变换 中的“对折”.2）遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与 原中线长相等，构造全等三角形，利用的思 维模式是全等变换中的“旋转”.3）遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向 角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形 全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角 分线的性质定理或逆定理.-2-4）过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三 角形，利用的思维模式是全等变换中的 移”或“翻转折叠”5）截长法与补短法，具体做法是在某
2、条线段上截 取一条线段与特定线段相等，或是将某条线 段延长，是之与特定线段相等，再利用三角 形全等的有关性质加以说明.这种作法，适 合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目.特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问 -3-题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起 来，利用三角形面积的知识解答.一、倍长中线（线段）造全等 例 1、“希望杯”试题）已知，如图 ABC 中,、,A AB=5AC=3 则中线 AD 的取值范围是 例 2、如图，ABC 中，E、F 分别在 AB AC 上，DE1DF,D 是中点，试比较 BE+CF 与 EF 的 例 3、如图，ABC 中,BD=DC=ACE 是 DC 的中
3、点，求证：AD 平分/BAE.B DEC B D C B D C-4-应用：1、(09 崇文二模)以ABC的两边 AB、AC 为腰 分别向外作等腰 Rt ABD和等腰 Rt BAD CAE 90,连接 DE，M、N 分另y是 BC、DE 的 中点.探究：AM 与 DE 的位置关系及数量关系.(1)如图 当ABC为直角三角形时，AM 与 DE 的位置关系是 _,线段 AM 与 DE 的数量关系是 _;(2)将图中的等腰 Rt ABD绕点 A 沿逆时针方 向旋转(0 AC/1=Z 2,P 为;AB-AC PB-PCVABC 内，BAC 60，C 400，P，Q A 5、如图在 ABC 中 AD 上
4、任意一点，求证 B Q C BO BA,AD=CD C C-7-应用：iltl罔.在四辿 山叽 fj BC,.ft E晨皿 上一个励点.若ZJ 60,4W=加，R.二处F朋断和山屛与必的关系幷低期你的结能.解：移变换 例 1 ADMNL AD于-8-为厶ABC 的角平分线，A.E 为 MN 长记为PA,求证PB PA.-9-2、如图，ABC 平分 BC DE1AB 于 E,DF 丄 AC 于 F.(1)说明 BE=CF 勺理由；(2)如果 AB=,AC=b,求AE BE 的长.应用：1、如图，0P 是/MON 的平分线，请你利用 该图形画一对以 0P 所在直线为对称轴 的全等三角形。请你参考这
5、个作全等三 角形的方法，解答下列问题：中，AD 平分/BAC DGL BC 且 中，/ACB 是直角,F-11-(1)如图，在 ABC/B=60,AD、CE 分别是/BAC、五、旋转 例 1 正方形 ABCD 中,E 为 BC 上的一点，F 为CD 上的 的度数./BCA 的平分线，AD、CE 相交于点 F。请你判断并写出FE 与 FD 之间的 数量关系；（2）如图，在 ABC 中，如果/ACB 不 是直角，而 中的其它条件不变,请 你在（1 O 卄、一卄左亠_亠 图立?若成立，请证明;C若不成 立 说明理由。（第 23 题图）B 结论是否-13-例 2 D 为等腰Rt ABC斜边 AB 的中
6、点，DM DNQMQt 分别交 BC,CA 于点 E,F。(1)当MDN绕点 D 转动时，求 证 DE=DF(2)若 AB=2,求四边形 DECF 的面积。Mz B A N 例 3 如图，ABC是边长为 3 的等边三角形，是等腰三角形，且BDC 1200，以 D 为顶点做 个600角，使其两边分别交 AB 于点 M 交 AC 于 点 N,连接 MN贝q AMN的周长为 _；AB AD,BC CD,AB BC,/MBN绕B点旋转，它的两（或它们的延长线）于E,F.时（如图 1）,易证 AE CF EF.当/MBN绕B点旋BDC 应用：1、已知四边形ABCD中，/ABC 120o,/MBN 60o
7、,边分别交AD,DC 当/MBN绕B点旋转到AE CF 述结论是否成立？若成立，请 又有怎样 A B D C B C N M B-15-转到AE CF时，在图 2 和图 3 这两种情况下，给予证明；若不成立，线段AE,CF,EF 的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.-16-2、(西城 09 年一模)已知:PA=V2,PB=4,以 AB 为一边作正方形 ABCD 使 P、D 两点落在直线AB 的两侧.(1)如图，当/APB=45 时，求 AB 及 PD 的长；(2)当/APB 变化,且其它条件不变时，求 PD 的-17-最大值，及相应/APB 的大小.-18-c ABC的两边 AB、AC 所在
8、直线上分别 点，且 BD=DC.探究：当 M、N 分别 上移动时，BM、NC、MN 之 的周长 Q 与等边ABC的周长 3、在等边 有两点 M、N，D 为VABC夕、MDN 60,BDC 120,在直线 AB、AC 间的数量关系及 C AMN c A c-19-（I）如图 1,当点 M、N 边 AB、AC 上，且DM=DN 时，BM、NC、MN 之间的数量关系 是；此时 Q _ （II）如图 2,点 M、N 边 AB、AC 当 DM DN 时，猜想（I）问的两个结 论还成立吗？写出你的猜想并加以证 明；（III）如图 3，当 M、N 分别在边 AB、CA的延长线上时，若 AN=x，贝 J Q=示）（用X、L 表