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1、不定积分的麵及应用 = F( x) + ；此公 式表明，先求导数，再求积分，两种运算的作用相互抵消后 还存在积分常数 C 由上面可以看出，如果要检验积分的结果是否正确，只 要把积分结果进行求导，看其导数是否等于被积的函数 . 再次强调一下，在求积分的时候也应当注意以下几点： 求不定积分时一定要加上积分常数，它表明一个函 数的原函数有无穷多个，即要求的是全体原函数，若不加积 分常数则表示只求出了一个原函数 . 积分的结果在形式上可能有所不同，但实质上只相 差一个常数 . 三、 不定积分的性质 通过不定积分的定义，深入的了解不定积分的性质，更 好的解决不定积分的问题 . 性质 1 jF;(xdx=
2、F(x) + C JdF(x)=F(： !9 + C 性质 1 直接可以由定义得出 . 性质 2 设 函 数 和 的 原 函 数 存 在 ，则 j(+g()d jdx+ jg(X)dx 这个性质可以进行推广，如果是多个函数之和，则 如下： j I f(3 9+- + d x = J(39dxf.+ Juxjdx 也可以换句话说，函数之和的不定积分就等于各个函 数的不定积分之和 . 性质 3 设 函 数 的 原 函 数 存 在 ，常 数 ，则 Jkf： x) dx= k 39 dx 这个性质，可以由性质 2 推出来，如果函数 /(x) = /( 3 = = 则 可 以 得 出 性 质 3. 性质
3、 3 也可以这么说，求解不定积分时，被积函数有不 为零的常数因子就可以提到积分号的外面来 . 四、 不定积分的几何意义 根据不定 积分的定义和性质，可以知道函数 fcs 的原 函数图形称为 x)的积分曲线，此积分曲线为一族积分曲 线，？ =9 为积分曲线的斜率，即曲线的切线，那么在这族积 分曲线上的横坐标相同点处作切线，会得到切线彼此平行， 因此也就组成了平行曲线族 .这就是不定积分的几何意义 . 几何意义的实际应用：如果我们要求出积分曲线族中 的某一条特定的曲线，就必须另外再增加条件，根据这个条 件确定积分常数值，就可以求出所需曲线 . 例 曲 线 过 点 （ 0 li 且曲线上任一点处的切
4、线斜率等 于该点横坐标的余弦值，求此曲线 . 解 设 所 求 的 曲 线 为 y=t 今 （？乃为曲线上任一点 . 由导数的几何意义和题设条件可知 y= 9= ros? 由此可求得 y= 又因所求曲线过点 （ 0 1),代 入 上 式 ， 得 一 1. 于是所求的曲线为 y=sni. 五、 不定积分的应用 根据不定积分的定义和性质，由于不定积分和导数互 为逆运算，所以根据记住一些基本的公式可以更好的应用 到求不定积分的求解中 . 1. 基本积分表的使用，这里就不一一写积分表的公式了 . 2. 根据不定积分的性质和积分表，由于不定积分的计 算有很多的类型和技巧，把这些类型和技巧加以梳理，不定 积
5、分的求解可以归纳为以下几种方法： 第 一 种 换 元 法 设 tu)原函数存在，同时 KP( 9 可导，则利用换元法 公式如下： jf9(x)9， (X)dfc |tu)du|u=9(X), 即 9( x) dfc ( ) ( x). 由此可以看出，利用换元法可以转换成我们经常用的 形式来运算 .换元法中常用的有“有理代换” “ 倒 代 换 法 ” “三角代换”“指数代换”等等，形式很灵活的 . 第 二 种 分 部 积 分 法 这种方法是建立在导数乘法法则的基础上推出来的， 过程如下： / ( UV) = u; Yj- uV J(U,dx= Jvdxf JuVdx u-fc Juvdxf Ju
6、Vdx JuVdJt vu- Jvdx 从上面式中可以看出，若被积函数可以表示为 uv 的 形式，则可以利用式进行计算 . 第 三 种 特 殊 函 数 形 式 的 灵 活 转 化 在求不定积分的时候，可以通过“ 1”的不同转化形式，得到 自己熟悉的形式，从而简化操作 .比如在存在三角函数的不定 积分中，就可以想到“ r 的妙用 .当被积函数由三角函数所组成 时，经常利用三角恒等式将被积函数简化 .常用的三角 恒等式 是倍角公式、两角和公式和积化和差公式等，如： 2 = sx- ( - coS x coS x= (1 + co sji x= L (i co X) 还可以总结出以下两个降低幂次的万
7、能公式： rf) 乂 dx=i Ji; rf) d3f J)Adx=4_ 利用这两个公式可以简化很多复杂的幂函数，所以灵 活应用特殊函数可以达到事半功倍的效果 . 第 四 种 分 段 函 数 的 求 解 由于求不定积分可能会遇到绝对值、分段、定义域不连续 等情况 ,所以对分段函数的求解要考虑周全，同 时也要考虑到 原函数的连续性问题，但基本的方法还是前面讲到的方法 . 六，总述 综上所述，在理解不定积分的定义的基础上要搞清楚 被积函数、原函数与不定积分之间的关系，还有不定积分的 几何意义的理解 .求解一个不定积分时，不同的思路就可以 产生不同的解法 .一 般思路来说，求解不定积分的时候，首 先
8、考虑到是否能用不定积分的性质，或者是将被积式进行 化简，再直接求解；其次考虑的是能否可用换元法；最后考 虑到的是分部积分法，或综合使用上述方法 ,或者是一些特 殊的函数 .可以看出不定积分的求解是非常灵活的，可以根 据形式的不 同，把最基本的方法应用到当中去，以上的几种 方法也是经常用到的，但并不拘泥于这几种，所以以后可以 根据具体的题目，灵活的改变方法，在此也就不能一一举例 说明了，主要靠经验的积累 .前面也提到，不定积分的性质 说明微分与积分两者是互为逆运算的，因此我们可以利用 求导数的方法来验证积分的结果 . 【参考文献】 1 徐志庭，刘名生，冯伟贞 .微积分 .北京 :科学教育出 版社
9、， 2009. 2 吴赣昌 .高等数学 M 北京：中国人民大学出版 社， 2009. 3 李文林数学史教程 .北京 :高等教育出版社，2000. 4 王高雄，周之铭，朱思铭，王寿松 .常微分方程讲义 . 第二版 .北京：高等教育出版社， 1983. 5 同济大学应用数学系主编 .高等数学 .第四版 .北 京 :高等教育出版社， 2002 6 同济大学应用数学系主编 .高等数学 .第五版 .北 京 :高等教育出版社， 2002 Ch 接 92 页） 结合 （ 9) (10)可知 U 和 E 是有界线性算子 . 定理 （ AfU+E 注成某个正压缩 q 半群 T(1). 证 明 根 据 q 半群的唯一性注成的正 压缩 半群正是 T(以根据 Banach 空间理论，可以证 明 X 的共轭空间为 X* = 邙 6 亡 c )X 亡 0 )x I I I KI I I = sup |L sup| CH l 3)! 私 0 乇 0 ). 那么 Y(x)是 X 中的一个锥 .在 Y(x中我们引入如下 序关系 ： K np ， 我们取 守 （ 9= II PII (1， 1, 1, 1， ） .