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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -第六章弯曲变形6.1工程中的弯曲变形问题6.2挠曲线的微分方程6.3用积分法求弯曲变形6.4用叠加法求弯曲变形6.5简洁超静定梁6.6提高弯曲刚度的一些措施6.1工程中的弯曲变形问题1. 实例车床主轴：变形过大，会使齿轮啮合不良，轴与轴承产生非匀称磨损，产生噪声，降低寿命，影响加工精度。吊车梁：变形过大会显现小车爬坡现象，引起振动。2. 讨论变形目的建立刚度条件，解决刚度问题建立变形和谐条件，解决超静定问题为振动运算奠定基础。 6.2挠曲线的微分方程1. 概念以简支梁为例，以变形前的轴线为x 轴，垂直向上
2、为 y 轴， xoy 平面可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -为梁的纵向对称面。挠曲线：在对称弯曲情形下， 变形后梁的轴线为 xoy 平面内的一条曲线， 此曲线称为挠曲线。挠度：梁的任一截面形心的竖直位移称为挠度。挠曲线的方程式：w=fx转角：弯曲变形中，梁的横截面对其原先位置转过的角度，称为截面转角。依据平面假设，梁的横截面变形前，垂直于轴
3、线，变形后垂直于挠曲线。故可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结转角1.挠曲线的法线与2.挠曲线的切线与y轴的夹角x轴的夹角可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结tand w d xyarctand wd x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结挠度 w 和转角 是度量弯曲变形的两个基本量。挠度与转角符号规定：在图示坐标中，挠度向上为正，o反时针的转角为正。2. 挠曲线的曲率表示式： xd ds+dxxdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 -
4、- - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -纯弯曲： 1MEI横力弯曲：1MxxEI可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结瘦长梁 lh5 ，忽视 Fs 影响。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 挠曲线的曲率表达式纯弯曲：y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1M（a）EIMMMM可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结
5、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结横力弯曲：对瘦长梁而言， 忽视剪力 Fs 的影M 0d w2dx2 0M 0wd2dx2 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结响1Mxox（ b）y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xEI可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结高等数学中对曲率的定义及表达式d x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结dsdox1dd xd s可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ds于是式（ a）转化为dMd sEI（ c）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在我们选定的坐标系内， 如弯矩 M
6、为正，就挠曲线向下凸，（如下列图），随着弧长 S 的增加， 也是增加的，即正增量ds 对应的 d也是正的，于是考虑符号后，式（ c）可写成可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结dMdsEI（ d）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结tan
7、dd w dxddxdarctan dwdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结dsdx1dsd 2 wdx2dw dxdxdx2 dsdxd s可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22dsdxdw21dwdx dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结留意到d 2 w3 2dd x2d sdw21dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结代入式（ d）及：1d 2 wdx 2MEI23 2d wdx（ e）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结
8、此为挠曲线的微分方程，适用于弯曲变形的任意情形，它是非线性的。在小变形的情形下，梁的挠度w 一般都远小于跨度，挠曲线w=fx是一 特别平整的曲线，转角 也是一个特别小的角度，于是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结tan2d wf xdx（ f）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结式（ e）中 dwdx1 ，于是式（ e）可写成可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结d 2 wMd x 2EI（ g）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结此式为挠曲线的近似微分方程。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师
9、归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -6.3用积分法求弯曲变形1. 挠曲线的近似微分方程y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2d 2 wMdxEIx=a, =0a=0ox可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对等直梁而言， EI 为常量， 于是上式可写成d 2wy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结EI2Md xx=b, =0a可编辑资料 - -
10、- 欢迎下载精品名师归纳总结积分可得转角方程，再积分可得挠曲线方程ox可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结EI d wd xM d xCyx=c, =0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结EIwMdx dxCxDa式中 C、D 为积分常数，可由边界条件及连ox续条件确定。2. 边界条件：在挠曲线的某些点上，挠度或转角有时是已知的这类条件称为边界条件。3. 连续条件：挠曲线是一条光滑连续的曲线，在挠曲线的任一点上有唯独确定的挠度和转角这就是连续条件。4. 刚度条件：w m xww xtExample1.EI=const可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资
11、料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -Find.w max、maxSolution.y列弯矩方程：1 2qMxqx2 A0xl L列微分方程及积分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结EIw EIw 1 qx 22EI1 qx3C6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结EIw1 qx 4CxD 24可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求积分常数边界条件：当 x=l
12、时， w =0， w =0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结C1 ql 3D61 ql 48可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结转角方程及挠度方程：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结EIw EI1 qx 361 ql 36可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结EIw求A,wA1 qx4241 ql 3 x61 ql 48可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结将 x=0 代入以上二式ql 3A6EIql 4wA8EI可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共
13、12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -Example2. 内燃机的凸轮轴或齿轮轴运算简图，试求转角方程及挠度方可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结程， wmax、max 。SolutionyaF b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求反力：FRAFb , lFaACBFRBlxx2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结列弯矩方程：11（AC） MFb x lFbRARBL0x1 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结
14、（CB） M 2x2Fx2ala x2l 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结列微分方程及积分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（AC）11EIw Fb x l可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1EIw Fb x 2C112l可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（CB）EIw1Fb x 316lC1 X1D1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2EIw Fb x lF x2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2EIw Fb x 222222lFxa 2C 2可编辑资料
15、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结EIw2求积分常数Fb3x26lFxa 326C2 X 2D2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结边界条件：当 x1=0 时， w1=02当 x2=l 时， w2=0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1连续条件：当 x1=x2=a 时， w1= w1， w1= w2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料w
16、ord 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结C1C2Fbb 2l 26l可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结D1=D2=0转角方程及挠度方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（AC）1EIwFb 3x 2116lb 2l 2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（CB）EIw1Fb x 316lb2l 2 xb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2EIw Fb2x22lFxa 222Fb b2l 2c22d6l可编辑资料 -
17、- - 欢迎下载精品名师归纳总结EIw 2Fb3x26lFxa 326Fb bl 6l可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结最大挠度 wmax ，最大转角 max可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 x1=0 时，AFab lb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6 EIl可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 x2=l 时，BFab la可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 ab，就B6 EIlA,max B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 a b，就BAmaxA可
18、编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结最大挠度 wmax可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 wd w0.时,w为极值 ,所以应第一确定为零的截面位置。如d x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在式（ a）中，令 x1=a，可求的Fabcab3EIl可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 ab，就C 为正值。可见从截面A 到截面 C 转角由负变正，转变了符号，挠曲线既为光滑连续曲线，=0 的截面必定在（ AC）段。令式（a）等于零：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页
19、，共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -0Fb3x 2b2l 206lx22lb033x0 即为挠度为最大值的截面横坐标。以x0 代入式（ b）的最大挠度可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结wmaxw1x1 x0Fb93EIll 2b2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 F 作用于中点时，即 abl2Fl 3, x 0l ，最大挠度发生在中点。2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师
20、归纳总结wmaxw11x x0248 EI可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结极端情形，当 F 无限接近右支座时， b2 l2，b2 可以省略，于是lx00.577l3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结wmaxFbl 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结93 EI可见即是在这种极端情形下，最大挠度仍旧发生在跨度中点邻近，也就是最大挠度总在靠近跨度中点。所以可以用跨度中点的挠度近似代替最大挠可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结度，因此，在式（ b）中令 x1l 求出跨2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎
21、下载精品名师归纳总结度中点挠度为：wl 2Fb 48 EI3l 24b 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即是在极端情形下， b 0 时2wlFb3l 2Fbl248EI16EI可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页，共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -误差分析：l用 w代替 wmax 所引起的误差可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2Lwmax22.6
22、5%可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结wmax结论可见在简支梁中，只要挠曲线无拐点，总可用跨度中点的挠度代替最大挠度不会引起很大误差。 6.4用叠加法求弯曲变形1. 积分法优点：可以求得挠曲线的转角方程和挠曲线方程，因此可求任意截面的转角和挠度是最基本的方法。缺点：积分法比较麻烦。2. 叠加法在小变形，线弹性前提下（材料听从胡克定律），挠度与转角均与载荷成线性关系。因此，当梁上有多个载荷作用时，可以分别求出每 一载荷单独引起的变形，把所得变形叠加即为这些载荷共同作用时 的变形，这就是弯曲变形的叠加法。为了便于工程运算，把简洁基本载荷作用下梁的挠曲线方程，最大挠度，最大转角运算公式
23、编入手册，以便查用。P188-1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Example 1Given： EIconstFind：A,B,wC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 10 页，共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Solution：查表 P190ql 3Fl 2可编辑资料 -
24、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结A AqB Bq24EIAFql 3BF24EI16EIFl 216EI可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结wCwCqwCF5ql 4Fl 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结384EI48EIExample 2.EIconstFind:： A, B, wC, wD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Solution：查表 P189-1902FlMel可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A AFB BFwCwCFAMeBMewCMe16EIFl 216EIFl 348EI6EIMel 3EIMel 216EI可
25、编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Example 3.EIconst可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Find:： A, B, wC, wDSolution：查表 P188-189可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A AMeB BMeMel 6EIMel 3EIqa2l 12EIqa 2l6 EI可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结wCwCMeMel 2qa 2 l 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结w Dw DMe16EIwDq32EIBMe awDqqa3 l6 EIql 4
26、8EI可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 11 页，共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Example 4.EIconst可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Find：A, wASolution：查表 P188Fa 2F xBxd
27、x= q x dxq0AAA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A2EIFa 2w A3la6EIFdxq x x 2d xBAA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结dw A2 EIq x x23lx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6 EIq xx q0 l可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结以 q xdx 代替以上二式中的F，以 x 代替 a，然后积分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结L q x dxx 2l3qx0d xq0lx3d xq l 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0A02 EI0 2 EIl2 EIl08 EI可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结L q x x 2w3lx d xq0l3x3lx d x11q 0l可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A06 EI6EIl0120 EI可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 12 页，共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载