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1、基本概念：基本概念：观察以下四个不等式：观察以下四个不等式：a+2 a+1 -(1)a+3 3a -(2)3x+1 2x+6 -(3)X a -(4)同向不等式同向不等式:在两个不等式中，如果每一个的左边都大于右边在两个不等式中，如果每一个的左边都大于右边或每一个的左边都小于右边或每一个的左边都小于右边(不等号的方向相同不等号的方向相同).异向不等式：异向不等式：在两个不等式中，如果一个不等式的左边大于右在两个不等式中，如果一个不等式的左边大于右边，而另一个的左边小于右边边，而另一个的左边小于右边(不等号的方向相反不等号的方向相反).同解不等式同解不等式:形式不同但解相同的不等式形式不同但解相
2、同的不等式.其它重要概念其它重要概念:绝对不等式、条件不等式、矛盾不等式绝对不等式、条件不等式、矛盾不等式.Ox基本理论：基本理论：1.实数在数轴上的性质实数在数轴上的性质:研究不等式的出发点是实数的大小关系。数轴上研究不等式的出发点是实数的大小关系。数轴上的点与实数一一对应，因此可以利用数轴上点的的点与实数一一对应，因此可以利用数轴上点的左右位置关系来规定实数的大小：左右位置关系来规定实数的大小：aba bx用数学式子表示为用数学式子表示为: 设设a 、b是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是是A 、B ，那么，当点，那么，当点A在点在点B的左边时，的
3、左边时， a b. 关于关于a，b的大小关系，有以下的大小关系，有以下基本事实基本事实: 如果如果a b，那么那么a- -b是正数；如果是正数；如果a=b，那么，那么a- -b等于零；如果等于零；如果a b，那么那么a- -b是负数；反过来也对是负数；反过来也对.000 .abababababab-；000 .abababababab-；上式中的左边部分反映的是实数的大小顺序，而上式中的左边部分反映的是实数的大小顺序，而右边部分则是实数的运算性质，合起来就成为实右边部分则是实数的运算性质，合起来就成为实数的大小顺序与运算性质之间的关系数的大小顺序与运算性质之间的关系. 这一性质这一性质不仅可以
4、用来比较两个实数的大小，而且是推导不仅可以用来比较两个实数的大小，而且是推导不等式的性质、不等式的证明、解不等式的主要不等式的性质、不等式的证明、解不等式的主要依据依据.要比较两个实数要比较两个实数a与与b的大小，可以转化为比较它的大小，可以转化为比较它们的差们的差a - - b 与与0的大小的大小. 在这里，在这里，0为实数比较大为实数比较大小提供了小提供了“标杆标杆”.思考：思考：从上述事实出发，你认为可以用什么方法比较从上述事实出发，你认为可以用什么方法比较两个实数的大小？两个实数的大小？例例1 试比较试比较 2x4+1 与与 2x3+x2 的大小的大小. 432432432333322
5、2222(21)(2)212(22)(1)2(1)(1)(1)2(1)(1)(1)(1)2(1)(1)(22)(22 )(1)(1) (221)11(1)20.22xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx-解解：技能：技能：分组组合；添项、拆项；配方法分组组合；添项、拆项；配方法.作差比较大小：作差比较大小：分四步进行：作差；变形；定号；分四步进行：作差；变形；定号； 结论结论. 2243224324324321120221(1)02121(1)0212.12121212.xRxxxxxxxxxxxxxxxxxxx-，若若，那那么么，则则；若若，那那么么，则则综综上上所所
6、述述：若若时时，；若若时时，练习练习: :已知实数已知实数x、y，比较，比较x2+y2与与xy+x+y- -1的大小的大小【解题回顾解题回顾】用作差比较法比较两个实数的大小，其步骤是：用作差比较法比较两个实数的大小，其步骤是： 作差作差变形变形判断符号判断符号常见的变形手段是常见的变形手段是: 通分、因式分解或配方等；通分、因式分解或配方等；变形的结果是常数、若干个因式的积或完全平方变形的结果是常数、若干个因式的积或完全平方式等式等. 【解题回顾解题回顾】本题的解答关键在于选择合适的方法本题的解答关键在于选择合适的方法. . 例例3 比较以下两个实数的大小：比较以下两个实数的大小：181616
7、18(1)18161816 与与；*1(2)2()1n nNnn -与与 2111.MaaNaaa-例例 比比较较和和的的大大小小作商比较法：作商比较法：作商作商变形变形与与1比较大小比较大小大多用于比较幂指式的大小大多用于比较幂指式的大小练习练习: :202mmmm 若若，比比较较与与的的大大小小. .222230(21)(21)(1)(1).aaaaaaaaa-已已知知，试试比比较较与与的的大大小小【知识回顾知识回顾】1.不等式的概念不等式的概念: 同向不等式；同向不等式；异向不等式；异向不等式；同解不等式同解不等式2.比较两个实数大小的主要方法比较两个实数大小的主要方法:(1)作差比较法
8、：作差比较法：作差作差变形变形定号定号下结论；下结论；(2)作商比较法：作商比较法：作商作商变形变形与与1比较大小比较大小下下结论结论 大多用于比较幂指式的大小大多用于比较幂指式的大小探究：探究：类比等式的基本性质，不等式有哪些基本性质呢？类比等式的基本性质，不等式有哪些基本性质呢？000.abababababab-；不等式的基本性质：不等式的基本性质：(1)()(2)()(3)()(4)0000(5)01(6)01.nnnnabbaab bcacabacbcab cdacbdab cacbcabcacbcabcdacbdabnNnababnN nab对对称称性性 ；，传传递递性性 ；可可加加
9、性性 ；，；，；，；，；，；，单向性单向性双向性双向性注意：注意：1.注意公式成立的条件，要特别注意注意公式成立的条件，要特别注意“符号问符号问题题”；2.要会用自然语言描述上述基本性质；要会用自然语言描述上述基本性质；3.上述基本性质是我们处理不等式问题的理论基上述基本性质是我们处理不等式问题的理论基础础.上述结论是用类比的方法得到的，它们一定是正上述结论是用类比的方法得到的，它们一定是正确的吗？你能够给出它们的证明吗？确的吗？你能够给出它们的证明吗？100.ababcddc例例 已已知知，求求证证: :260842833_.xyxyxy-例例已已知知，则则的的取取值值范范围围是是；的的取取值值范范围围是是 2756， 20311， 1233311.xxxx-例例已已知知，求求下下列列各各式式的的取取值值范范围围: :； 244111253.fxaxcfff- - - - 例例已已知知，且且，求求的的取取值值范范围围 1 20- - ，思考思考： ._.a bcddcabcdadbca b c d实实数数 ， ， ， 满满足足下下列列三三个个条条件件: :；则则将将 ， 按按照照从从小小到到大大的的次次序序排排列列为为acdb