等比数列经典例题透析.doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上等比数列经典例题透析类型一:等比数列的通项公式例1等比数列中,, ,求.思路点拨:由等比数列的通项公式,通过已知条件可列出关于和的二元方程组,解出和,可得;或注意到下标,可以利用性质可求出、,再求.总结升华: 列方程(组)求解是等比数列的基本方法,同时利用性质可以减少计算量;解题过程中具体求解时,要设法降次消元,常常整体代入以达降次目的,故较多变形要用除法(除式不为零).举一反三:【变式1】an为等比数列,a1=3,a9=768,求a6。【变式2】an为等比数列,an0,且a1a89=16,求a44a45a46的值。【变式3】已知等比数列,若,求。类型二:等比数列的前

2、n项和公式例2设等比数列an的前n项和为Sn,若S3+S6=2S9,求数列的公比q.解析:若q=1,则有S3=3a1,S6=6a1,S9=9a1.因a10,得S3+S62S9,显然q=1与题设矛盾,故q1.由得,整理得q3(2q6-q3-1)=0,由q0,得2q6-q3-1=0,从而(2q3+1)(q3-1)=0,因q31,故,所以。举一反三:【变式1】求等比数列的前6项和。【变式2】已知:an为等比数列,a1a2a3=27,S3=13,求S5.【变式3】在等比数列中,求和类型三:等比数列的性质例3. 等比数列中,若,求. 举一反三:【变式1】正项等比数列中,若a1a100=100; 则lga

3、1+lga2+lga100=_.【变式2】在和之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则插入的三个数的乘积为_。类型四:等比数列前n项和公式的性质例4在等比数列中,已知,求。思路点拨:等差数列中也有类似的题目,我们仍然采用等差数列的解决办法,即等比数列中前k项和,第2个k项和,第3个k项和,第n个k项和仍然成等比数列。举一反三:【变式1】等比数列中,公比q=2, S4=1,则S8=_.【变式2】已知等比数列的前n项和为Sn, 且S10=10, S20=40,求:S30=?【变式3】等比数列的项都是正数,若Sn=80, S2n=6560,前n项中最大的一项为54,求n.【答案】 ,(否则)=80

4、.(1)=6560.(2),(2)(1)得:1+qn=82,qn=81.(3)该数列各项为正数,由(3)知q1an为递增数列,an为最大项54.an=a1qn-1=54,a1qn=54q,81a1=54q.(4)代入(1)得,q=3,n=4.【变式4】等比数列中,若a1+a2=324, a3+a4=36, 则a5+a6=_.【变式5】等比数列中,若a1+a2+a3=7,a4+a5+a6=56, 求a7+a8+a9的值。类型五:等差等比数列的综合应用例5已知三个数成等比数列,若前两项不变,第三项减去32,则成等差数列.若再将此等差数列的第二项减去4,则又成等比数列.求原来的三个数.思路点拨:恰当

5、地设元是顺利解方程组的前提.考虑到有三个数,应尽量设较少的未知数,并将其设为整式形式.总结升华:选择适当的设法可使方程简单易解。一般地,三数成等差数列,可设此三数为a-d, a, a+d;若三数成等比数列,可设此三数为,x, xy。但还要就问题而言,这里解法二中采用首项a,公比q来解决问题反而简便。举一反三:【变式1】一个等比数列有三项,如果把第二项加上4,那么所得的三项就成为等差数列,如果再把这个等差数列的第三项加上32,那么所得的三项又成为等比数列,求原来的等比数列.【变式2】已知三个数成等比数列,它们的积为27,它们的平方和为91,求这三个数。【变式3】有四个数,其中前三个数成等差数列,

6、后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和为12,求这四个数.类型六:等比数列的判断与证明例6已知数列an的前n项和Sn满足:log5(Sn+1)=n(nN+),求出数列an的通项公式,并判断an是何种数列?思路点拨:由数列an的前n项和Sn可求数列的通项公式,通过通项公式判断an类型.【变式2】设an、bn是公比不相等的两个等比数列,Cn=an+bn,证明数列Cn不是等比数列.【证明】设数列an、bn的公比分别为p, q,且pq为证Cn不是等比数列,只需证.,又 pq, a10, b10,即数列Cn不是等比数列.【变式3】判断正误:(1)an为等比数列a7=a3a4;(2)若b2=ac,则a,b,c为等比数列;(3)an,bn均为等比数列,则anbn为等比数列;(4)an是公比为q的等比数列,则、仍为等比数列;(5)若a,b,c成等比,则logma,logmb,logmc成等差.类型七:Sn与an的关系例7已知正项数列an,其前n项和Sn满足,且a1,a3,a15成等比数列,求数列an的通项an.举一反三:【变式】命题1:若数列an的前n项和Sn=an+b(a1),则数列an是等比数列;命题2:若数列an的前n项和Sn=na-n,则数列an既是等差数列,又是等比数列。上述两个命题中,真命题为 个.专心-专注-专业

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