数学物理方法讲义.doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上数学物理方法（Methods of Mathematical Physics）数学物理方法是物理类及光电子类本科专业学生必修的重要基础课，是在高等数学课程基础上的一门重要的应用数学类课程，为专业课程的深入学习提供所需的数学方法及工具。课程内容： 复变函数（18学时），付氏变换（20学时），数理方程（26学时）第一篇 复变函数（38学时）绪 论第一章 复变函数基本知识4学时第二章 复变函数微分4学时第三章 复变函数积分4学时第四章 幂级数4学时第五章 留数定理及应用简介2学时第六章 付里叶级数第七章 付里叶变换第八章 拉普拉斯变换第二篇 数学物理方程 （26学时）第九章

2、 数理方程的预备知识第十章 偏微分方程常见形式第十一章 偏微分方程的应用绪 论含 义使用数学的物理（数学）物理物理学中的数学（应用）数学Mathematical Physics方 程 常微分方程 偏微分方程数学物理方程 复 数1. 数的概念的扩充正整数（自然数） 1，2，运算规则 ， 负 数 0，-1，-2，整 数 ，-2，-1，0，1，2， 有理数（分数） 整数、有限小数、无限循环小数 无理数 无限不循环小数实 数 有理数、无理数 虚 数 复 数 实数、虚数、实数虚数 2. 负数的运算符号 虚数单位，作为运算符号。3. 作为方程的解 （ ） （ ）4. 数学运算的需要 数系的完备性、自洽性5

3、. 物理学的需要 平面矢量、二维数组第一章 复变函数基本知识4学时复数表示代数式 三角式 指数式 几何意义运算规则复变函数 常用初等复变函数指数函数三角函数双曲函数对数函数根式函数反三角函数幂函数一般指数函数第二章 复变函数微分4学时复变函数的极限复变函数的连续性复变函数的导数解析函数在点， 及其某一邻域内的每一点可导。在区域，处处可导。连续、可导、解析三者关系在点， 如可导，则连续。 在点， 如解析，则可导。即在点，连续、可导、解析三个条件依次变强。而在区域，可导与解析等价。柯西-黎曼方程可导、解析、柯西-黎曼方程三者关系可导的必要条件是 ， 存在且柯西-黎曼方程成立。可导的充分必要条件是

4、， 连续且柯西-黎曼方程成立。在区域，解析的充分必要条件是 ， 连续且柯西-黎曼方程成立。条件 ， 连续等价于 全微分 ，存在或称，处处可微调和函数 共轭调和函数 解析函数、调和函数、共轭调和函数三者关系在区域，如解析，则 ， 调和，从而 与 共轭、与 共轭。构造解析函数调和函数 + 柯西-黎曼方程 解析函数常用初等复变函数具有解析性第三章 复变函数积分4学时复变函数的积分 复变函数可积条件充分条件 沿曲线 连续 必要条件 沿曲线 有界柯西积分定理 如 在单连通区域 内解析， 为 内任一周线，则推 论 解析函数积分与路径无关如在单连通区域 的边界（分段光滑）上连续，则对多连通区域的边界 ，亦有

5、可表示为对内任一点 ，有柯西积分公式推 论设 为简单闭曲线，为 的外部区域 ，有限。如在 内，则如 不在 内，则此时 无意义。第四章 幂级数4学时41 复级数复级数 复级数的收敛 复级数的绝对收敛 复级数收敛的必要条件 复级数收敛的充分条件 收 敛复级数收敛的充分必要条件 1 对任意小 ，有 ；当 ， 2 、收 敛复级数绝对收敛的必要条件 收 敛复级数绝对收敛的充分必要条件 、 收 敛42 复函数级数复函数级数 复函数级数的收敛 在点 对任意小 ，有 （与点有关）；当 ，复函数级数的一致收敛 在区域对任意小 ，有 （与点无关）；当 ，复函数级数一致收敛的充分必要条件 对任意小 ，有 （与点无关

6、）；当 ， 复函数级数基本性质-如 ， 且 收敛则 在 区域绝对且一致收敛-在 区域，如 连续， 且 一致收敛则 连续-沿曲线，如 连续， 且 一致收敛则 -在 区域，如 解析， 且 一致收敛则 解析常用级数 收 敛 发 散 收 敛 发 散 收 敛 收 敛 43 复幂级数在 收 敛在 绝对一致收敛收敛半径 级数收敛判别法 收 敛 不 定 发 散 收 敛 不 定 发 散44 幂级数展开对 ， 如 非奇点， 在 Taylor 级数对 ，如孤立奇点， 在 Laurent 级数闭合曲线 ： 对 ， 如 非奇点时，由柯西积分公式 时，由解析函数性质45 复函数的零点与奇点复函数的零点 复函数的奇点 奇点

7、分类无穷远点性质 46 幂级数求和第五章 留数定理及应用简介2学时留数定义 解 析， 孤立奇点， C： - 解 析， 孤立奇点， C： 留数定理 周 线 包围区域 奇 点留数计算留数理论应用第六章 付里叶级数61 付里叶（ Fourier）级数（复数形式）： 令 ，则 如 而 是区间 上的正交完备函数族故 从而 令 可将 解析开拓到区间 62 付里叶级数（实数形式）令 付里叶级数收敛充分条件 Dirichlet 定理 连 续 有限个极值点 不连续 有限个间断点 则 可展为付里叶级数收敛充分条件（严格） 连 续 绝对可积例 题例 题例 题常用付里叶级数正弦波（奇）余弦波（偶）锯齿波矩形波（奇）三

8、角波（奇）三角波（偶）半波整流全波整流付里叶级数的频谱 、 、通 常 白噪声 、 常数 付里叶级数的积分如 分段连续 则 或 者 付里叶级数的微分如 连 续 绝对连续 则 如 则 有限区间上的付里叶级数解析延拓 平移延拓 奇延拓 偶延拓 第七章 付里叶积分71 付里叶积分 为实数， 一般为实数， 一般为复数。付里叶变换F F 常用函数的付里叶变换1 函 数即F F 2 Gauss 函 数F 3 常数函数 F 4 框形函数 F 付里叶变换主要性质线性性质位移性质相似性质微分性质积分性质乘积定理能量性质相关函数互相关函数 自相关函数 72 卷 积 卷积定理 （convolution theorem

9、）定 义结 论F F 函 数 广义函数定 义性 质表 示物理意义力 学 质 点电 学 点电荷光 学 点扩散函数第八章 拉普拉斯变换 F F F拉普拉斯（Laplace）变换L L 第二篇 数学物理方程 （26学时）第九章 数理方程的预备知识9-1 常微分方程常微分方程定解条件 如 表示坐标，称边界条件，通常 取区间边界。如 表示时间，称初始条件，通常 取时间零点。偏微分方程 9-2 二阶常微分方程的级数解法微分方程的解析解、级数解、数值解例 题 勒让德（Legendre）方程 9-2 本征值问题Sturm Liouville 方程算 符本征方程 本征值 本征函数 Sturm Liouville

10、 方程的常见形式 简谐方程 贝赛尔方程 球贝赛尔方程 勒让德方程 连带勒让德方程 边界条件齐次边界条件 周期边界条件 自然边界条件 本征值问题 = 本征方程 + 边界条件Sturm Liouville 本征值问题的主要结果条 件 结 果1. 本征值存在 实 数 2. 3. 如齐次边界条件本征值 、本征函数 一一对应 有 个零点 4. 如周期边界条件一个本征值可与多个本征函数对应 一一 即简并5. 构成正交完备函数系，即5. 6. 连 续第十章 偏微分方程常见形式偏微分方程 数学物理方程10-1 物理形式拉普拉斯方程 （Laplace） 波动方程 输送方程 麦克斯韦电磁波方程（Maxwell）薛

11、定谔方程（Schrodinger）10-2 数学形式10-3 基本例题1 2 3 4 5 6 7 8 9 行波法 10. 行波法 11分离变量法 第十一章 偏微分方程的应用例 题 1 薛定谔方程-氢原子中的电子例 题 2 波动方程导体空腔中的电磁波偏微方程分离变量本征方程级数解法定解条件特殊函数1 微观粒子 1926 薛定谔 波动力学状态函数 薛定谔方程哈密顿算符 含时薛定谔方程 2 氢原子中的电子物理算符 分离变量本征方程 本征方程-定态薛定谔方程 此 外方程通解本征函数本征值1. 能量算符 能量量子数能 量 确 定2. 角动量平方算符 角量子数角动量大小 确 定 3. 角动量分量算符 磁量

12、子数角动量分量 确 定归一化的径向波函数为，量子体系的各守恒量并不一定都可以同时取确定值。例如中心力场中的粒子，l的三个分量都守性，但由于不对易，一般说来它们并不能同时取确定值（角动量l=0的态除外）皆不显含时间，又， 所以粒子在中心力场中运动时，角动量平方和角动量分量都是守恒量。角动量算符在直角坐标中的三个分量可表示为 只与q,j 有关，与r 无关，而且只与j 有关。 或 其中，可称为径向动量算符。在球坐标系中，只与q, j有关，所以，则 (6)令，其中Q(q)只是q的函数，y(j)只是j的函数，由(6)式可得 的本征值为l(l+1)2，所属的本征函数为Ylm(q,j)， ；Ylm(q,j)

13、 正交归一条件为：说明：(1)、由上面结果可知的本征值为l(l+1)2，所属的本征函数为Ylm(q,j)， ， 显然，只能取一系列离散值，由于l是表征角动量的大小，所以称l为角量子数。(2)、 Ylm(q,j)即是的本征函数，也是的本征函数，其相应的本征值分别为l(l+1)2，m。即球谐函数Ylm(q,j)是的共同本征态 (3)、我们把一个本征值只对应一个本征函数的情况称为非简并；把对应于一个本征值有一个以上本征函数的情况称为简并，把对应于同一本征值的本征函数的数目称为简并度。的本征值是(2l+1)度简并的。1. lz 本征函数 角动量算符的本征函数 组成正交归一系： (7)2. 本征函数角动

14、量平方算符属于本征值的本征函数 组成正交归一系： (8) (7)和(8)可合写为 (9)第二节 氢原子的波函数波函数 氢原子是所有原子中最简单的原子，它核外仅有一个电子，电子在核外运动时的势能，只决定于核对它的吸引，它的Schrdinger方程可以精确求解。能够精确求解的还有类氢离子，如He+、Li2+离子等。 为了求解方便，要把直角坐标表示的(x，y，z) 改换成球极坐标表示的(r,，)，二者的关系如图8-3所示：r表示P点与原点的距离，、 称为方位角。 x = r sin cos y = r sin sin z = r cos 解出的氢原子的波函数n,l,m(r,，)及其相应能量列于表8-

15、1中。图8-3 直角坐标转换成球极坐标 表8-1 氢原子的一些波函数及其能量轨道n，l，m(r, )R n，l (r)Y l，m (, )能量/J1s A1e-Br A1e-Br-2.1810-182sA2re-Br/2 A2re-Br/2-2.1810-18/222pzA3re-Br/2 cosA3re-Br/2cos-2.1810-18/222pxA3re-Br/2 sincosA3re-Br/2sincos-2.1810-18/222pyA3re-Br/2 sinsinA3re-Br/2sinsin-2.1810-18/22* A1、A2、A3、B均为常数 为了方便起见，量子力学借用Bo

16、hr N H D理论中“原子轨道” (atomic orbit)的概念，将波函数仍称为原子轨道(atomic orbital)，但二者的涵义截然不同。例如：Bohr N H D认为基态氢原子的原子轨道是半径等于52.9 pm的球形轨道。而量子力学中，基态氢原子的原子轨道是波函数1S(r, )=A1e-Br ，其中A1和B均为常数，它说明1S在任意方位角随离核距离r改变而变化的情况，它代表氢原子核外1s电子的运动状态，但并不表示1s电子有确定的运动轨道。1s电子具有的能量是-2.1810-18J。氢原子核外电子的运动状态还有许多激发态，如2s(r, )、 (r, )等，相应的能量是-5.4510

17、-19J。一维定态薛定谔方程I I 物质的波动性波动力学24-4 德布罗意波假设1924 德布罗意 实物 粒子性辐射 波动性 波函数 24-5电子衍射实验1927 戴维孙、革末 电子在镍晶体表面散射，衍射。1927 P.汤姆逊 电子通过多晶薄膜透射，衍射。1929 斯特恩 氦原子通过金箔透射，衍射。1931 约翰逊 氢原子（分子）通过金箔透射，衍射。1961 约恩孙 电子的单缝、双缝、三缝衍射、干涉。24-6波函数的物理意义1926 玻 恩 统计解释 概率密度 24-7不确定关系1927 海森堡 不确定关系式量子力学建立1925 海森堡 矩阵力学1926 薛定谔 波动力学1926 狄拉克 量子

18、力学III 原子理论24-9 早期原子理论1904 J.Thomson 蛋糕模型 (1897，发现电子)原子大小约0.1nm，均匀带正电。电子带负电，嵌于原子内，电子以一定频率振动，发射线光谱。 1911 E.卢瑟福 有核模型 原子大小约 ，内有硬核，大小约 。1911？ 长 冈 行星模型1913 N. 波 尔 轨道模型1926 量子力学 电子云模型原子基本性质有限性 电中性 稳定性 线光谱24-10 玻尔原子理论 能 量 量子数 氢原子基态能量角动量 轨道半径 波尔半径24-11量子力学的原子理论 电子波函数 概率密度 电子云 无轨道主要物理量1. 位 置 不确定 仅知概率 2. 动 量 不

19、确定 仅知概率 3. 能 量 确 定 能量量子数4. 角动量大小 确 定 角量子数5. 角动量分量 确 定 磁量子数6. 自旋角动量大小 确 定 自旋量子数7. 自旋角动量分量 确 定 自旋磁量子数8. 辐射频率 确 定 9. 轨道磁矩大小 确 定 角量子数10. 轨道磁矩分量 确 定 磁量子数11. 自旋磁矩大小 确 定 自旋量子数12. 自旋磁矩分量 确 定 自旋磁量子数 氢原子基态能量 波尔磁子 有确定值的物理量均是量子化的多电子原子结构 泡利不相容原理能量最小原理数学物理方法课程简介课程编号：L 英文名称：Methods of Mathematical Physics学 分：4学 时：

20、64授课对象：光电子技术科学专业课程目标： 数学物理方法是物理类及光电子类本科专业学生必修的重要基础课，是在高等数学课程基础上的一门重要的应用数学类课程，为专业课程的深入学习提供所需的数学方法及工具。课程内容： 复变函数（18学时），付氏变换（20学时），数理方程（26学时）预修课程：大学物理学、高等数学。教 材：数学物理方法，科学出版社，邵惠民编著。主要教学参考书：数学物理方法， 高教出版社，梁昆淼主编。数学物理方法， 高教出版社，郭敦仁主编。数学物理方法， 吴崇试主编。数学物理方法， 中国科技大学出版社，严镇军编著。特殊函数概论， 北京大学出版社，王竹溪、郭敦仁编著。数学物理方法学习指导，

21、科学出版社，姚端正编著。数学物理方法解题指导，高等教育出版社，胡嗣柱、徐建军编。Mathematics of Classical and Quantum Physics F.W. Byron & R.W. Fuller,数学物理方法课程教学大纲（Methods of Mathematical Physics）一、基本信息课程编号：L课程类别：学科基础课必修课 适用层次：本科适用专业：光电子技术科学专业开课学期：4总学分：4总学时：64学时考核方式：考试二、课程教育目标数学物理方法是物理类及光电子类本科专业学生必修的重要基础课，是在高等数学课程基础上的一门重要的应用数学类课程，为专业课程的深入学

22、习提供所需的数学数学方法和工具。因此本课程应受到相关专业学生和教师的重视。对实际的工程、技术、科学问题，通常需要转换为物理问题，然后利用物理原理进一步翻译为数学问题，进一步求解该数学问题，再将得到的数学结果翻译成物理问题，即讨论所得结果的物理意义。因此，数学是物理的语言之一，数学物理方法是联系数学和物理类及光电子类专业课程的纽带。本课程的主要任务就是告诉学生如何将各种物理问题翻译成数学的定解问题，并了解、掌握求定解问题的若干方法，如行波法、分离变数法、付里叶级数法、幂级数解法、积分变换法、保角变换法、格林函数法、电像法等。三、教学内容与要求教学内容：1复变函数部分复变函数基本知识、复变函数积分

23、、复变幂级数、留数定理及应用、拉普拉斯变换简介。2付氏变换部分付里叶级数、付里叶级数应用、付里叶积分、付里叶积分应用、3数理方程部分数理方程的建立、数理方程的定解条件、二阶线性偏微分方程的分类、数理方程的求解（行波法、分离变数法、其它方法）、二阶常微分方程的级数解法、特殊函数（球函数、柱函数）。基本要求：1作为光电子专业的专业基础课，本课程强调数学在物理学中的应用。2本课程强调对所学内容在宏观上的了解，和部分重点内容的掌握。3本课程包含了复变函数、付氏变换、数理方程三个相对独立部分。其中复变函数是基础，要求了解基本思想和掌握适量的常用计算。付氏变换是本专业学生进行专业学习和工作所必备的工具，因

24、此对基本思想要求理解，常用计算要求熟练掌握。数理方程部分是本课程的核心，但由于学科特点和学时所限，强调对基本思想和重要结论的了解及掌握简单的计算。四. 各个章节学时分配第一章 复变函数18学时1-1复变函数基本知识2学时1-2复变函数积分4学时1-3复变幂级数4学时1-4留数定理及应用2学时1-5拉普拉斯变换简介2学时习题4学时第二章 付氏变换20学时2-1付里叶级数4学时2-2付里叶级数应用4学时2-3付里叶积分4学时2-4付里叶积分应用4学时习题4学时第三章 数理方程26学时3-1数理方程的建立4学时3-2数理方程的定解条件2学时3-3二阶线性偏微分方程的分类2学时3-4数理方程的求解（行

25、波法、分离变数法、其它方法）8学时3-5二阶常微分方程的级数解法4学时3-6特殊函数（球函数、柱函数）4学时习题2学时学时分配表章 节主 要 内 容各个教学环节学时分配备 注理论课实验课习题课讨论课小计第一章复变函数14418第二章付氏变换16420第三章数理方程24226合 计541064五. 预修课程大学物理学、高等数学。六.成绩评定成绩评定方式：考 试成绩结构比例：期末成绩70%+平时成绩30%编写人（签字）： 赫 然 编写人职称： 教 授 审阅人（签字）： 审阅人职称： 审批人（签字）： 审批人职务： 本大纲启用日期： 2005 年5 月 10日吉林大学本科生公共数学课程教学大纲 课程

26、编号：-4 课程名称：数学物理方法I-II 课程英文名称：Methods of Mathematial Physics I-II 学时数： 126学时 学分数： 6学分 适用专业：电子科学与工程，地球探测科学与技术，环境资源工程 开课学期：第-学期 考核方式：期末考试（命题式） 一、 本课程的性质、目的和任务 数学物理方法课程是一些对数理基础要求比较高的专业，如电子科学与工程中的所有相关专业，地球探测科学与技术中的地球物理学专业、勘查技术与工程专业，环境资源工程中的水文水资源专业、水文地质与环境地质等专业的继高等数学之后的一门必修学科基础课。 通过本课程的学习，要使学生获得 （1） 复变函数；

27、 （2） Fourier变换与Laplace变换； （3） 数学物理方程模型的建立； （4） 数学物理方程的分离变量解法； （5） 行波法； （6） 积分变换法； （7）Green函数法。 等方面的基本概念，基本理论和解决工程与物理问题的一些典型的数学方法，为学习后继专业课程和将来从事相关专业的科学研究工作打下坚实的基础。 数学物理方法作为一门数学课程，将起到联系相关专业课的纽带和桥梁的作用，是最能体现数学素质教育特色的一门课程。在传授知识、讲授方法的同时，应该特别注重培养学生的理性思维，分析解决实际问题的能力和创新意识的增强与提高。 二、 本课程教学基本要求 要熟练地掌握下述概念、性质、公式

28、、定理及方法： 复数的表示法，复变函数的概念，复变函数的极限与连续性；复变函数的导数，解析函数的概念，解析函数的充要条件，初等函数的解析性；复变函数的积分的概念及性质，柯西积分定理，复合闭路定理，柯西积分公式，解析函数的高阶导数公式，解析函数与调和函数的关系；幂级数及其性质，函数展成泰勒级数，函数展成洛朗级数；孤立奇点的类型，零点与极点的关系，留数的定义及留数定理，留数的计算准则，留数在定积分计算上的应用；导数的几何意义与共形映射，分式线性映射及其性质，唯一决定分式线性映射的条件。 傅里叶变换的概念，傅里叶变换的基本性质，卷积与卷积定理；拉普斯变换的概念，拉普拉斯变换的性质，拉普拉斯逆变换，拉

29、普拉斯变换的卷积定理，常微分方程（组）的拉氏变换解法。 热传导问题数学模型的建立，弦振动问题数学模型的建立，线性问题的迭加原理和齐次化原理；一维波动问题的行波法，三维波动方程的球对称解，降维法与柱面波，波动问题解的物理意义；一维问题的分离变量法，非奇次方程的固有函数展开法；勒让德多项式及其性质，球域Laplace方程的分离变量法；贝赛尔方程及贝赛尔函数，贝赛尔函数的递推公式，函数展成贝赛尔函数的级数，圆域内发展方程的分离变量法；积分变换法及其综合应用；格林公式， Laplace方程解的唯一性，泊松方程第一边值问题的格林函数法，求格林函数的静电源象法。 对教学内容中的其它内容也是不可缺少的，只是

30、教学要求低于上述内容。 三、 本课程的教学内容及学时分配 1 复数与复变函数（4学时） 复数在平面上的几何表示，复数的运算，复球面及无穷大；区域与曲线，复变函数的概念，复变函数的极限，复变函数的连续性。 2解析函数（6学时） 复变函数的导数，解析函数的概念；解析函数的充要条件；初等函数。 3 复变函数的积分（8学时） 积分的定义，积分的性质，积分的计算；柯西积分定理，复合闭路定理，不定积分；柯西积分公式；解析函数的高阶导数；解析函数与调和函数的关系。 4级数（8学时） 复数项级数，幂级数；泰勒级数；洛朗级数及其收敛圆环，洛朗展开定理。 5留数（7学时） 孤立奇点的类型，零点与极点的关系，函数在无穷远点的性态；留数的定义及留数定理，留数的计算准则，在无穷远点的留数，对数留数；留数在定积分计算上的应用。 6共形映射（7学时） 导数的几