数学物理方法讲义.pdf

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1、 数学物理方法（M e t h o d s o f M a t h e m a t i c a lP h y s i c s）数学物理方法 是物理类及光电子类本科专业学生必修的重要基础课，是在 高等数学 课程基础上的一门重要的应用数学类课程,为专业课程的深入学习提供所需的数学方法及工具。课程内容：复 变 函 数（18学时），付 氏 变 换（20 学时），数 理 方 程（2 6学时）第一篇复变函数（3 8学 时）绪 论第一章 复变函数基本知识4学时第二章复变函数微分4学时第三章复变函数积分4学时第 四 章 塞 级 数4学时第五章留数定理及应用简介2学时第六章付里叶级数第七章付里叶变换第八章拉普拉

2、斯变换第 二 篇 数 学 物 理 方 程（26学 时）第九章数理方程的预备知识第十章偏微分方程常见形式第十一章偏微分方程的应用绪 论含 义使用数学的物理（数学）物理物理学中的数学（应用）数学M a t h e m a t i c a l P h y s i c s方 程X=X2=1ax+bxy-cla2x+b2y=c2dx/=a(t)dt xdt-常微分方程 0)(b2-4ac Y 0)4.数学运算的需要数系的完备性、自洽性5.物理学的需要平面矢量、二维数组第一章 复变函数基本知识4学时复数表示z-x+iy三角式 z=p cos cp +ip sin cpi cp用 将 士指数式z-Lp e几

3、何意义运算规则复变函数=/(z)z=x+iyw=u+iv-i(Pz peiOyv-reu=w (x,y)v=v(x,歹)(x,y)(，v)常用初等复变函数指数函数三角函数双曲函数对数函数根式函数反三角函数塞函数一般指数函数第二章复变函数微分4学时复变函数的极限lim/(z)=AZf Z。复变函数的连续性lim/(2)=/(z0)z-z。lim(x,y)=(Xo,J。)J x 4-X o，N olim v(x,j/)=M x。，孔)I X J f X o，V o复变函数的导数加 二 lim/U G O)dz z f Z o z-ZQ解析函数在z。点，及其某一邻域内的每一点可导。在D区域，处处可导

4、。连续、可导、解析三者关系在Z。点，如可导，则连续。lim(/(z)-/(z()=孚 lim(z-zo)=OZ f z()d z Z f z()lim/(z)-/(zo)=Ozf z()在2。点，如解析，则可导。即在Z。点，连续、可导、解析三个条件依次变强。而在。区域，可导与解析等价。柯西黎曼方程d u d v d x d yd u d vd y d x可导、解析、柯西黎曼方程三者关系可导的必要条件是跳，号，上 存在且柯西黎曼方程成d x d y d x d y立。可导的充分必要条件是已 手，上学连续且柯西-黎曼方d x d y d x d y程成立。在D区域，解析的充分必要条件是矍，粤，已空

5、连续d x d y d x d y且柯西黎曼方程成立。条件M,品 连 续等价于全微分7 d u.d u 1d u=d x H-d y ,d x d y公存在d x d y或称uv=v(x,y)处处可微调和函数，2 g 2、SX 2 +Sy 2 ,共辄调和函数 d2u、2+a 2 d u=0d u d vd x d yd u d vd y d x解析函数、调和函数、共朝调和函数三者关系在。区域，如/(z )解析，则=(x,y),v =v(x,y)调和，从 而 丫 与“共匏、与 一 丫共朝。构造解析函数调 和 函 数+柯西黎曼方程f解析函数常用初等复变函数具有解析性第三章复变函数积分4学时复变函数

6、的积分z-x+iy/(z)=+，vC:y=y(x)j fzdz=(udx-vdy)+i(udy+vdx)c c c/(z)=r eieC:夕=夕(0 )j/(z)dz=re l0+(pdp+i Jrp el0+(pd(p复变函数可积条件充分条件/(z)沿曲线必要条件/(z)沿曲线柯西积分定理如/(z)在单连通区域D内解析，C为D内任一周线，则步(z)dz=OC推 论解析函数积分与路径无关J/(2)d z=J/(z)d zCC2如/(z)在单连通区域D的边界r (分段光滑)上连续，则(z)dz=0r对多连通区域的边界=0 +，亦有/（Z）dz=or可表示为(2比=,狂+(2达+0 1 2对。内任

7、一点zo ，有柯西积分公式/（z（）=，-g /G）必Z；Z Z o推 论设c为简单闭曲线，D为C的外部区域，/（0）有限。如Z 0在。内，则/(zO)=-J f dzZ71 I Z Z 0Z7r i C zI，-zn Cz 8n i/zU-zn二J /(z)dz+/(oo)Z7l l J i Z ZQ=f )dz/(8 )=0Z7T IZ-Zo如zo不 在D内，则ZTC i*Z-ZQ0L 3/+，3 d z =0zn i c l z -Z o z n i z-z0f /(Z)dz+/(o o )=0Z7ll c 00复级数收敛的充分条件00SZk收 敛k=l复级数收敛的充分必要条件1对任意小

8、,有N ；当n N ,n+pLkk=n+Y 002 E*k、k=l002九 收 敛k=l复级数绝对收敛的必要条件复级数绝对收敛的充分必要条件00EZk收 敛k=l00 00Z 收 敛k=1 k=142复函数级数00复函数级数 Z，（z）k=00复函数级数的收敛 在Z o点/（z）=Z/*（z）k=对任意小，有N（与Z。点有关）；当N,E/（2）-/（z）Y k=复函数级数的一致收敛 在。区域对任意小，有N（与z。点无关）；当n N,E 九 -/（z）|Y 复函数级数一致收敛的充分必要条件对 任 意 小 ,有N（与z。点无关）；当n N,n +pE f k（z）Y?左=+1复函数级数基本性质00

9、如|九（2）朋,且后收敛k=l00则 E A（z）在D区域绝对且一致收敛k=l在D区域,00如 九G）连续，且 2九Q）一致收敛k=i则/（z）连续沿c曲线，00如 九（z）连续，且2九（z）一致收敛k=l0 0则 J/（2*=X JfkG YzC卜=1 c在D区域，00如 九（）解析，且E A（z）一致收敛k=l则（Z ）解析00/、厂）（2）=九 G）常用级数ooZk=1I n k00 1k=i a00 1y-k!1k np kzk0=02p 收 敛 p Wl发 散00zk=lp 收 敛 p wi发散sin kTr00zk=cos k I7p A。收 敛p。收 敛43复幕级数0 0k=0在

10、卜I Y R 收 敛在|z|W r Y R 绝对一致收敛收敛半径n kR=lim-k T 8 cck+Rlim Ck T gkR。，火 0 ,+0 0级数收敛判别法C k+limk T 9Ckk+ZkZY 1收 敛44塞级数展开对/(z),如z 0非 奇 点，在 z-z RT aylor级数00/(z)=E 匕(z -z。)k=0小)Ck=r对/(z),如z 0孤 立 奇 点，在/Y|Z-ZO|YRLaurent 级数00/(z)=Z 4 (z-z 0)左=一00闭合曲线r：z-zQ=p r Y p Y R对/(z),如z 0非奇点左 0时，由柯西积分公式/任）（2。）=A j J-g2 71

11、1*dzk+l 5乙-zo）a Y 0时，由解析函数性质45复函数的零点与奇点/G）复函数的零点2 3 -/z z z sinz e/z ez-l复函数的奇点g(z)=%(z)奇点分类无穷远点性质/(z)46塞级数求和00E z y =/Q）左=0第五章留数定理及应用简介2学时留数定义/（Z）解析,。Y|Z Z0|Y Rzo 孤立奇点，C：匕一Zo|二 l R00K/（2）=E%（2-Z o）左 二-ooR e s /（Z o）=c _=f /（z）d z2 7TI/（Z）解 析，R Y|z|Y+800 孤立奇点，Q.R Y z=y Y+oo0 0 /(z)=I Ck(-)k ooRes/(o

12、 o)=-c _1=,/(z)dz2 711 CJ.留数定理r 周 线D 包围区域Z k奇点H 1f R e s /(z j=4/(z)dzg2力 R e s /(z j +Res/(o o)=0k=l留数计算留数理论应用第六章付里叶级数61付里叶（Fourier）级 数（复数形式）00K/(z)=工 Ck Z左二-00D：l-=/Y Z YR=1 +令zeie夕=i,o w e w 2万则00g(e)=Ek=s如ikOeg*e)=g(e)而ik 6是 区 间o w e w 2万上的正交完备函数族故1 2万，=或 j g e）乙儿0-ike dd*co =co从而0 0g(e)=E ck =-

13、8i k O0 00 0=0 o+Z q(c o si e+，si n8)+ck(c os k O-i s m k d)k=l k=l=%+L+c j)c os k e+i f L-/*)s i nk k k=T0 00 0=g+Z 4 c o se+，b k si n左9k=k=令 g(e +2 )=g(e)可 将g(。)解析开拓到区间-8 Y e Y+o ock=Ak+i Bk*ck=4-刈*ak =ck+ck =2 Akbk=-，*二 -2 41 2zrao =J g )de0ak =2TC2 1j g(e-ike+eikeydeJ2一，g(。)c o s kOdO7 1 o 2%b k

14、=jg)乙 o(-ik e ikee-e dOI)2zr J g(。)si n k3d07 1 o6-2付里叶级数（实数形式）00 00g(e)=%+Z w coske+Z bkk=T k=lsin左。2万bk=Jg)sin k d671 o0-令71-XO0 2TI0 x-7l0+7T-I X Nx)=g)=/(z)F（x）=%+00万 00 兀Z ak coskx+工 bk sinkxI k=Idx1bk=1A.7cos k-x dxsin k-x dx付里叶级数收敛充分条件-Dirichlet 定理/W X +I厂G）连 续 有 限 个 极 值 点Xk不连续有限个间断点Xk厂（乙）=月（

15、乙-。）+尸（/+。）2-00 Y X Y +0 0F（x+2 l）=F（x）则F（x）可展为00万00耳、）=旬+Z 怎 COS-X+Z ak=I k=sm k-x付里叶级数收敛充分条件（严格）/x W+1厂G）连 续 绝 对 可 积-0 0 Y X Y 4-0 0F（x +2l）=F（x）例 题-71 X +不厂（+皿X例 题,nX H-2-08kfg常用付里叶级数正弦波（奇）8-腐）=S bk sin-xk=l I余弦波（偶）00兀尸（x）=%+Z w cos 左 一 Xk=T I锯齿波F（x）=x/V x +/）=汇 sin彳k-矩形波（奇）0 x +/-/x0A 00尸n n-12

16、n-lsin（2?-l）x三角波（奇）-/W-%-Al-x-+lA+%X+1F(x)=$5*sin(2z?-l)x三角波（偶）尸（x）=+2a(z x+/A)2a-xI2aH-XI-(x-n-l-x 4-%0 ak smkx+bk cosk-k=i k兀、I I或 者00兀F（x）=+以 coskx+k=i I00 A 冗=%+Z ak cost x+hk=l I II兀sin左一xI）L ）-x）00 _ bk sin左一xk=i I兀、k sinkx/）Xj F(x)d x Ioo=g(x+/)+Z (-i)A k=i k i.TC 71ak sin k x+bk cos k x007+y

17、 k=k7iJ付里叶级数的微分如 F（x）连续 1 4 x4+1厂(1)绝对连续00尸（、）=。+E akk=l兀 00COS左一X+Z 4I k=lsink-x00=%+Zk-7 71COS 左一 X+冗bk s in左一 x/）4则尸(X)_ F（/）-F（-/）-I2/j洋尸一网少 华J+）b,+（-1）-cosA:x-a,sin左 一 工t r L u i）/u J/.如 F（/）-F（-/）=0则s 77（TT TT 尸（x）=-T-bkcosk-x-aksinkxk=i I 1 I）有限区间上的付里叶级数解析延拓/(X)平移延拓F(x+/)=F(x)奇延拓产(1)=一/(%)偶延拓

18、尸(一 X)=F(x)0 X +/T-I-Q O Y X Y +ooT-21-Q O Y X Y +ooT 2/o o Y x Y +oo第七章付里叶积分71付里叶积分00ikOg e)=E 卜k=-oo-ikOde00万00F(x)=a0+以 co s-x +Z 4k=I k=si n 左 一x+/T Cak=-JF(X)COS k-x dxI-ibk=；0(x)i-isi n 上(x dx/(X )=-J(2乃)%4-ooJ尸0)00el0)xdco/（。）=/G)e-IC D X dxX，。为 实 数，/（X）一 般 为 实 数,般 为 复 数。尸（。）一付里叶变换F /(x)=F ()

19、F-廿3)=X)常用函数的付里叶变换1 5函数1+8 15 (%)=-j -(7(2 n 2(2 ”+8=f /x dco2万 00dco +8/（。）=75 i（271）/2 _0 0_ （2%）%jfy V i co xdco即2 G a u ss函数一一 _ 1F。L e-/e（2a）%3 常数函数/（%）=1-0 0 X 0 0 1 =（2）/5（G）4 框形函数/（x）=1-b x +oo1 si n kx71 X1+83 (x )=2万皿 dco物理意义力 学 质 点2 =m b(x)4-oo+ooM=2 dl=m b(x)dx=m 00 00电学点电荷2 =q “x )+oo 4

20、-ooQ=J 2 d l =J 夕(5(x)d x =q 00 00光 学 点扩散函数/，(/)=/(x)0 /(x)4-oo/，()=j h x -x)/(x)d x 00力(X )=X )+oo/(x )=J S(x-x)/(x)d x =I(E)00第八章拉普拉斯变换cr+zoo12 Tli歹（s）ds4-oob(s)=f/(0dtog(/)=f g，F g(，,cr)=G(0,b)s（J +10）F g（/）=G（s）k G（s）=g（/）拉普拉斯（Laplace）变换I /（，）=尸（s）尸（s）=/（，）/（，）-g（，）c G（s）一 尸（s）第 二 篇 数 学 物 理 方 程（

21、26学 时）第九章数理方程的预备知识9-1 常微分方程常微分方程y=Mx)y=Q(X)yff=MHaxy+b(x)yr+c(x)y+d(x)=0ax(x)y+(x)y+cx(x)z+dx(x)=0a?(x)z+b2(x)y+c2(x)z+d2(x)=0(y)2=ax定解条件y=q(x)-二4(X)dxdy=a(x)dxy =J axdxa(x)=xy=x2+C2V =X/V./VfArC =_ K 1 2 xoY/V Y/V/AV o如X表示坐标，称边界条件，通 常xo取区间边界。如X表示时间，称初始条件，通 常xo取时间零点。偏微分方程=夕(x,y,Z(o2 o2 o2、d i/d y/d

22、y/、dx2 dy2 dz2)J/9-2 二阶常微分方程的级数解法y+Pxy+Q(x)y=Q00 Jy(x)=Ck Xk=0=Co%(x)+cg(x)微分方程的解析解、级数解、数值解例 题 勒让德(Leg en d r e)方程(1-x2 y-2xyr+/(/+l)y=0 2x ry-y +”尸。1 -X00y(x)=Z Ck xk=0OO7 I 3 ky(x)=t kCk X =(左+1)%1 xk-Q k=0oo1 Q a)iy(x)=Z(田 依 T h x 迂(左+2)优+1)%2 Xk=0k=Q00 C k xk=0=0C.=0ft9-2 本征值问题Sturm-Liouville 方程

23、且H、)包dx|_ dx g(x)y+初(x)y=。算 符L=-kx+(x)dx _ dx本征方程L y=2p(x)y本征值 4本征函数小）Sturm-Liouville 方程的常见形式简谐方程d dydx _dx_贝赛尔方程d dydx|_ dx _球贝赛尔方程d 2 dy x dx_ dx_勒让德方程/J连带勒让德方程4(i-2dx|_1 Y X Y 1卜=0 0Y尤Y 1冽2-X y +3 =o 0Y无Y a1(/+l)y+人=0 Oy尤 Y a+T V 1浦-百 乎+办 边界条件齐次边界条件力1 （。）+4 2歹 （。）=。B2yf（b）=0周期边界条件V（。）|=2 6），（。）|=

24、自然边界条件加（。）Y MB 3）Y M本征值问题=本征方程+边界条件Sturm-Liouville本征值问题的主要结果条 件左（X）夕（x）结 果1.本征值存在 实 数20l im 4=+oo左 一 83 .如齐次边界条件本征值乙、本征函数对应左（1）有k个零点Q Y X Yb4 .如周期边界条件一个本征值可与多个本征函数对应一 一 即简并%(%)ax02 =0 Vo(x)=l6.2连 续第十章偏微分方程常见形式偏微分方程数学物理方程10-1物理形式拉普拉斯方程(Laplace)U=(X,Z)，会 2 Q2 久 2、O U O U O U 八-r+-r+r=0dx2 dy dz2?波动方程U

25、=W(X,J,Z,/)d2U 2 (合 2 合 2,dt Qy2 Qz2 J输送方程u=(x,y,z,)du 2(S2u d2u d2u dt(S/Qy2 Qz2 J麦克斯韦电磁波方程(M a xw el l)屋 E 1 d2E _d t2 u d x 262 H 1 d2 H.d t2 u 8 x2薛定谓方程(Sc h r od in g er)=(x,y,z )计tdi/_ 2(3 2 dt2m I dx2o2、O 1 1/H-丁8z2)+驾+U(x,y,zV1 0-2数学形式1 0-3 基本例题u=(x,y )2.u=u(x,)-二ud x d yu=(x,y,zQ2U A SV 办2&

26、2 JA u=04.uuX)d2udx2=0d2u二06.u u（人。，9）A=i ar2s in2 6 7.9.UA u-0U 14r)8.行波法d2uy二u(x)=0-0 0 Y X Y +0 010.d2U 2 S2”T-a-7=0dt2 dx2行波法14 14(X)0 x/d2U 2 c-v-a r =0dt2 a%21 1.分离变量法U =U（X ）0 xZd2u 29 Q 7dt2 dx2=0第十一章偏微分方程的应用例 题 1薛定谓方程一氢原子中的电子例 题 2波动方程一导体空腔中的电磁波偏微方程分离变量本征方程级数解法定解条件特殊函数1 微观粒子1 9 2 6 薛定丹 波动力学状

27、态函数=（X,儿 Z,/）薛定娉方程*2m、dx2 dy2 dz2,哈密顿算符八 -h-2H=-(522m dx2+a25/球、5z2?+uA=V2-V 22 m+u含时薛定常方程a2dx2+a2dtHy/2 氢原子中的电子U=U&)=（/，e,0,，）物理算符+。22mr2人2巴-+2m 2 =_%2i as in。dO(s in。S、1 a2-)I-；-Td6 s in2 6 d(pfi 打2力Lz=-n -d(p人 ,5L_=ih d(p分离变量=w Q,e,(P,t)=尸（，0）f（0=R(r)Y(0,(p)f(t)w=R 0(e)()f(t)尸=火(尸)丫(仇。)y（e#）=（e）（

28、。）本征方程叶 S“T Tin 二 H wdt=尸f (0.力 d f _ 力 _ _z 力-一-H J/一 Ef dt 产ih =E fdtHy/r=Ey/-ih -=E fdt_.Ef(f)=Ce 人H W亍=E i/-本征方程一定态薛定谭方程力=%亿”。)=%力(“。)H i-=E y/-尸=火(尸)丫(仇9)八2 f2-+-+C/(r)7?(r)丫(仇少日队)Y(p)2m 2mr业 火（小 黑M+叱水 人2Pr2mR(a +U(y)R(4-E R(4R(r)2丫(仇 叫2mr2 y(O,9)-r2R r回u)/忧R(DR(n+2m户(E-U)BY（九（P）丫（a 0）丫（。冲）y（e，

29、o）一上2=/(/+1)力 2-r2pR(r)+2mr2(E-t/(r)7?(r)=lR(r)?Ya(p)=EYa(p)力 2 +(r2,)R(r)+2mr2(E-U(r)R(r)=f R(r)尺（外）=及/（外）广 丫(4 9)=/(/+1)%2 y(仇0y（80）=（e）（。）a a 呼 力2sin 夕(sin 9)0(8)(。)+。(8)(。)80 dO d(p=Z?sir?的(。)()h+2-s-i-n-。-d-(/s i.n 0nd)x+,2 s m 2 6八=一 力昆2 -1-/-二u2&(0)dO dO 沟2 zd&ded）+Z?s in2 刨9）=6）（。）d6力 2 s i

30、n 0（s i n。y（a ）=几（e,0）=加（。）加（）1（p）=eim（p此夕卜1（9）=Z（9）匕）（仇叫=LZY（仇 总 z%（人仇。）=4 （/，仇9）L”（r,仇（p,t）=Lzy/（r.2%（r,a（p）=2%（r,9,（P）2 （人。=2 （j 仇 ,“H y/-=Ey/-人H i/=E i/方程通解=乙 加 亿a。）力 =&）九（a。）力 W=R n M。加加）（，）本征函数/、-/（0=Ce 力R t）=Rnl（r）y（仇9）=（氏0）=。加（。）加（）1（P）=eim（p而尸=加（尸，夕，）=此/（尸），（8，）本征值人1.能量算符 HE _ E、乜 _-Y n-1,2

31、,n能量E 确 定2.角动量平方算符Z?L=-y/(/+1 y/r I=0,1,1 ,n角 动 量 大 小 上 确 定人3.角动量分量算符 L zLz=m 1h-mt=0,I,-,角动量分量L z确 定能量量子数1 角量子数磁量子数归一化的径向波函数为RM=N/产尸(_ +7 +1,27+2,2),H i/r=Ey/-量子体系的各守恒量并不一定都可以同时取确定值。例如中心力场中的粒子，/的三个分量都守性，但由于 不对易，一般说来它们并不 能 同 时 取 确 定 值(角 动 量/=o 的态除外)人一 2 人 人 人I皆不显含时间，又 西,n=0,旧,。=0 (a=x,y,z)所以粒子在中心力场中

32、运动时，角动量平方和角动量分量庐工/工)都是守恒量。角动量算符7=方=-ihr xV=lxex+(4+l:e:1在直角坐标中的三个分量可表示为-d dlx=也 z。、,-z-)dz dy人 d dly=zpx-xpz=-ihz-X)ox dz人 5 d4=xp/v-ypx=/H-ii，h(x-y )lx ifi(sin(p +ctgOcos(p )d6 d(plv=-ih(cos(p-c tg 0 sm(p)dO d(p人dl=-ih d(p 2=力2 i asin。dO/.n S、1 d2.(sing)+-80 sin2 0 d(p2 4,和户只与6,0有关，与无关，而且 只与夕有关。V2d

33、2 d2 d2-1-1-d x2 d y2 d z2-Im d,(r 28)、H -1 -a (sz i n.0a d ),H-1 -a-2-r d r d r r s i n d 0 d 6 r s i n -0 d(p或V2度上=度 上方2 trr2 方2方2 r 2其 中 万=2（0 +3,优=一方2二2 0 2 2）,以可称为径向动量算符。i d r r r or d r在球坐标系中，。只与“涌关，所以丫=丫 的，9）,则-tr-（s i n 6）+-Y=72Y（6）s i n 0 d O d O s i n2 0。夕令 尸=助2,y（仇 夕）=。（仍 以 夕），其中（只是。的函数，以

34、 夕）只是0的函数，由（6）式可得a a o 2-s i n (s i n )0()()+-0()(9)=/I s i n2d O d O e(p-叱 旦(s i n。也)+3=g,0(0)d O d O d(pn”的本征值为/（/+i）力2,所属的本征函数为丫加（“。）,I 0,1,2,-；m 0,l,.,/Y M（p）正交归一条件为：广用的九的夕所卯如展即黑，说明：（1）、由上面结果可知户的本征值为/（/+1）方2,所属的本征函数为丫1加（回。）,广，(仇9)=/(/+1)而，(49)m=0,1,2,显然，/2=/（/+1）方2只能取0,2力2,6吐.,一系列离散值，由于/是表征角动量的大

35、小，所以称/为角量子数。（2）、%（夕 夕）=母，（夕 夕）即是户的本征函数，也是 的本征函数，其相应的本征值分别为/（/+1）力2,mho即球谐函数匕,“（。,0）是（尸,）的共同本征态（3）、我们把一个本征值只对应一个本征函数的情况称为非简并；把对应于一个本征值有一个以上本征函数的情况称为简并，把对应于同一本征值的本征函数的数目称为简并度。力的本征值是（2/+1）度简并的。1 .4本征函数角动量算符 的本征函数1心（。）=右/*（w =0,l,2,.）组成正交归一系：（”“（。）的=%，2.本 征 函 数角动量平方算符属于本征值/（/+1）方2的本征函数为“，（4 ）=NM”c o s 6

36、）战。组成正交归一系：匕：（仇 夕）匕,“（，,）s i n Od d d（p=dn.(8)(7)和(8)可合写为f 匕；叫,，(仇。)sin Odddip=8ir8nm(9)第二节氢原子的波函数波函数氢原子是所有原子中最简单的原子，它核外仅有一个电子，电子在核外运动时的势能，只决定于核对它的吸引，它的$chr6dinger方程可以精确求解。能够精确求解的还有类氢离子，如He LF离子等。为了求解方便，要 把 直 角 坐 标 表 示 的 改 换 成 球 极 坐 标 表 示 的”(彳4 0,二者的关系如图8-3所小：T表示P点与原点的距离，&。称为方位角。x -r sin 0 co sy -r

37、sin 0 sin(Pz-r co s 0r =解 出 的 氢 原 子 的 波 函 数 犷e,。及其相应能量列于表8T中。图8-3直角坐标转换成球极坐标表8 T氢原子的一些波函数及其能量*4、4、4、6均为常数轨道%0)/,”(心 力能量/JIs小e必反Ate-B r-2.1 8 X1 01 812 sA2reB rl 2 点A2reB r,2-2.1 8 X1 01 8/222 0A3reB r2 co s 0A eB r,2co s e-2.1 8 X1 0l8/222 P xAireB rl 2 /二sin 0c os 4椁J14I*sin Jco s 0-2.18X10I8/222 P

38、 yA y reB r2 sin，sin 0A3reB rl 2gsin Jsin 6-2.1 8 X1 01 8/22为了方便起见，量子力学借用B o h r N H D理论中“原子轨道”(a to mic o rbit)的概念，将波函数仍称为原子轨道(a to mic o rbita i),但二者的涵义截然不同。例如：B o h r N H D认为基态氢原子的原子轨道是半径等于52.9 p m的球形轨道。而量子力学中，基态氢原子的原子轨道是波函数g s(r,2 其中4和8均为常数，它说明外在任意方位角随离核距离r改变而变化的情况，它代表氢原子核外1 s电子的运动状态，但并不表示1 s电子有

39、确定的运动轨道。1 s电子具有的能量是-2.1 8 X 1 0，。氢原子核外电子的运动状态还有许多激发态，如 M r,幺力、%(r,幺心等，相应的能量是-5.45X1 0。一维定态薛定谓方程仁 J+U E2m dx2I I物质的波动性波动力学24-4德布罗意波假设1924德布罗意实物 粒子性辐射 波动性v =%i px-Et)波 函 数=0?h24-5电子衍射实验1927戴维孙、革末 电子在银晶体表面散射，衍射。1927 P.汤姆逊电子通过多晶薄膜透射，衍射。1929斯特恩氮原子通过金箔透射，衍射。1931约翰逊氢 原 子（分子）通过金箔透射，衍射。1961约恩孙电子的单缝、双缝、三缝衍射、干

40、涉。24-6波函数的物理意义1 9 2 6玻 恩 统 计 解 释 概 率 密 度0 =I”|224-7不确定关系1 9 2 7海森堡不确定关系式 p Ax 4乃h E N t 2 4%量子力学建立1 9 2 5海 森 堡 矩 阵 力 学1 9 2 6薛 定 调 波 动 力 学1 9 2 6狄 拉 克 量 子 力 学I I I原子理论2 4-9 早期原子理论1904 J.Thomson 蛋糕模型（1897,发现电子）原子大小约O.lnm,均匀带正电。电子带负电，嵌于原子内,电子以一定频率振动，发射线光谱。1911 E.卢瑟福 有核模型原子大小约10一 1 冽，内有硬核，大 小 约 10-15mo

41、1911?长冈 行星模型1913 N.波尔1926 量子力学轨道模型电子云模型原子基本性质有 限 性 电 中 性 稳 定 性 线 光 谱24-10玻尔原子理论L E ,能 量 E=-T =1,2,量子数n4m e=而西=h cR H=13 氢原子基态能量角动量 L=nh-2轨道半径 r=n rxc h2U7V=5 2 9 xlL-波尔半径24-11量子力学的原子理论电子波函数=(x,y,z )=（升）（。汝（0）/）2概率密度电 子 云 无 轨 道主要物理量P=1.位 置r不确定仅 知 概 率P(r)2.动 量P不确定仅 知 概 率P(P)3.能 量E确 定En 2n=1,2,能量量子数4.角

42、 动 量 大 小L确 定L=(J +/=0,1,，-1角量子数5.角 动 量 分 量 确 定L.=m/h-m 1 =0,1,I磁量子数6.自旋角动量大小S 2确 定S=y/s(5+1 )/r=%自旋量子数7.自旋角动量分量 S z确s z=m s m s.=s=%自旋磁量子数定8.辐 射 频 率v 确 定Ex(1 1 Av =nr m r n r )n m9 .轨 道 磁 矩 大 小 /确 定N 1=(/+1)8 /=0,1,n-角量子数1 0 .轨道磁矩分量 历 确 定N七=一 m i R B 加/=,1,，土/磁量子数1 1 .自旋磁矩大小 4s 确 定 s=J s(s +1)B$=%自旋

43、量子数1 2 .自旋磁矩分量 Lz确 定4 sz=msB 加5 =S =%自旋磁量子数4 1=8E：-2 =hcRH=3.6eV=21.76 X 10-19 JH氢原子基态能量ehj=布 波尔磁子有确定值的物理量均是量子化的多电子原子结构n-Z“=Z 2（2/+1）=22/=o泡利不相容原理能量最小原理 数学物理方法课程简介课 程 编 号：L 2 1 1 2 1 1 3英 文 名 称：M e t hod s of M at he m at ic al P hysic s学 分：4学 时：6 4授 课 对 象：光 电 子 技 术 科 学 专 业课 程 目 标：数学物理方法是物理类及光电子类本科专

44、业学生必修的重要基础课，是 在 高等数学 课程基础上的一门重要的应用数学类课程，为专业课程的深入学习提供所需的数学方法及 工 具。课 程 内 容：复 变 函 数（1 8学 时），付 氏 变 换（2 0学 时），数 理 方 程（2 6学 时）预 修 课 程：大学物理学、高等数学。教 材：数学物理方法，科学出版社，邵惠民编著。主 要 教 学 参 考 书:数学物理方法,数学物理方法,数学物理方法,数学物理方法,特殊函数概论,高教出版社,高教出版社,中国科技大学出版社,梁昆淼主编。郭敦仁主编。吴崇试主编。严镇军编著。北京大学出版社，王竹溪、郭敦仁编著。数学物理方法学习指导，科学出版社，姚端正编著。数学

45、物理方法解题指导，高等教育出版社，胡嗣柱、徐建军编。Mathematics of Classical and Quantum Physics F.W.Byron&R.W.Fuller,数学物理方法课程教学大纲（M e t h o d s o f M a t h e m a t i c a l P h y s i c s ）一、基本信息课程编号：L2112113课程类别：学科基础课必修课适用层次：本科适用专业：光电子技术科学专业开课学期：4总学分：4总 学 时:64学时考核方式：考试二、课程教育目标 数学物理方法是物理类及光电子类本科专业学生必修的重要基础课，是在 高等数学课程基础上的一门重要的

46、应用数学类课程，为专业课程的深入学习提供所需的数学数学方法和工具。因此本课程应受到相关专业学生和教师的重视。对实际的工程、技术、科学问题，通常需要转换为物理问题，然后利用物理原理进一步翻译为数学问题，进一步求解该数学问题，再将得到的数学结果翻译成物理问题，即讨论所得结果的物理意义。因此，数学是物理的语言之一，数学物理方法是联系数学和物理类及光电子类专业课程的纽带。本课程的主要任务就是告诉学生如何将各种物理问题翻译成数学的定解问题，并了解、掌握求定解问题的若干方法，如行波法、分离变数法、付里叶级数法、幕级数解法、积分变换法、保角变换法、格林函数法、电像法等。三、教学内容与要求教学内容：1复变函数

47、部分复变函数基本知识、复变函数积分、复变基级数、留数定理及应用、拉普拉斯变换简介。2付氏变换部分付里叶级数、付里叶级数应用、付里叶积分、付里叶积分应用、3数理方程部分数理方程的建立、数理方程的定解条件、二阶线性偏微分方程的分类、数理方程 的 求 解（行波法、分离变数法、其它方法）、二阶常微分方程的级数解法、特 殊 函 数（球函数、柱函数）。基本要求：1作为光电子专业的专业基础课，本课程强调数学在物理学中的应用。2本课程强调对所学内容在宏观上的了解，和部分重点内容的掌握。3本课程包含了复变函数、付氏变换、数理方程三个相对独立部分。其中复变函数是基础，要求了解基本思想和掌握适量的常用计算。付氏变换

48、是本专业学生进行专业学习和工作所必备的工具，因此对基本思想要求理解，常用计算要求熟练掌握。数理方程部分是本课程的核心，但由于学科特点和学时所限，强调对基本思想和重要结论的了解及掌握简单的计算。四.各个章节学时分配第 一 章 复 变 函 数18学时1-1复变函数基本知识2学时1-2复变函数积分4学时1-3复变第级数4学时1-4留数定理及应用2学时1-5拉普拉斯变换简介2学时习题4学时第二章 付氏变换20学时2-1付里叶级数4学时2-2付里叶级数应用4学时2-3付里叶积分4学时2-4付里叶积分应用4学时习题4学时第三章 数理方程26学时3-1数理方程的建立4学时3-2数理方程的定解条件2学时3-3

49、二阶线性偏微分方程的分类2学时3-4数理方程的求解（行波法、分离变数法、其它方法）8学时3-5二阶常微分方程的级数解法4学时3-6特 殊 函 数（球函数、柱函数）4学时习题2学时学时分配表章 节主要内容各个教学环节学时分配备 注理论课实验课习题课讨论课小计第一章复变函数14418第二章付氏变换16420第三章数理方程24226合 计541064五.预修课程大学物理学、高等数学。六.成绩评定成绩评定方式：考 试成绩结构比例：期末成绩70%+平时成绩30%编 写 人（签字）:审 阅 人（签字）:审 批 人（签字）:赫 然 编写人职称:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 审阅人职称:_ _

50、_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 审批人职务:本大纲启用日期：教 授20 0 5年5 月 10日吉林大学本科生公共数学课程教学大纲课程编号：0 70 12450 23-4课程名称：数学物理方法I-H课程英文名称:Methods of Mathematial Physics I-II学时数：126学时学分数：6学分适用专业：电子科学与工程，地球探测科学与技术，环境资源工程开课学期：第n-in学期考核方式：期 末 考 试（命题式）一、本课程的性质、目的和任务数学物理方法课程是一些对数理基础要求比较高的专业，如电子科学与工程中的所有相关专业，地球探测科学与技术中的地球物理学专业、勘查技术与工程