《第九章重积分.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第九章重积分.doc（20页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精选优质文档-倾情为你奉上重积分二、典型错误分析例1 求二重积分，其中。错解 因为，所以，故 。分析 积分区域是一个三角形，而在上述求解时积分区域却成了正方形。正确解法 。例2 求二重积分，其中。错解 令，则 。分析 由于，则，而上述解答中错误地认为。正确解法 。例3计算，其中是由及所围成图形的公共部分。错解 令和分别为大、小圆面，则。分析 答案虽然正确，但是解法有问题。因为在小圆内的被积函数，我们不知道，而错误地看成了和大圆的被积函数一样。正确解法 由于被积函数和积分区域都是对称的，故。例4改变积分的次序。错解 原式。分析 问题出现在上，因为在轴的下方区域取负值，因此。正确解法 原式。例5求
2、由平面，与柱面（）所围成的体积错解 原式 分析 问题出现在不能保证在以为投影的区域内的非负性。正确解法 原式 例6求球面和柱面（）所包围的且在柱面内部的体积。错解 因为所求体积的形体关于平面对称，于是原式 分析 问题出现在不能保证成立。正确解法 原式 例7计算三重积分，其中由锥面与平面（）围成的区域。错解 因为 分析 问题出现在对的积分上限，错误地认为是，而应该为。正确解法 例8计算三重积分，其中：。错解 分析若从积分的物理意义去理解，起错误是明显的。把三重积分看成质量，则被积函数就是球体的密度，它与球体上的点到原点的距离的平方成正比（比例系数为1），仅当点在球面上时，其密度才是。正确解法 采
3、用球坐标计算 三、综合题型分析例 9、求椭球体的体积。分析 由于对称性，只需求出椭球在第一卦限的体积，然后再乘以8即可。解 由于对称性，只需求出椭球在第一卦限的体积，然后再乘以8即可。作广义极坐标变换 （）。这时椭球面化为 。又 ，于是 。所以椭球体积 。例10、估计积分的值，其中是由圆周围成。分析 由重积分的性质：在区域上，如果，则，来进行估计。解 先求函数在区域上的极值。因为没有驻点，所以最值一定在边界取得。设，则由拉格朗日乘数法得驻点为和，比较得的最小值，最大值。因为积分区域的面积为，故。例11、估计积分的值。分析 可以由重积分的性质：在区域上，如果，则，来进行估计。也可以由积分中值定理
4、来估计，在本质上是一致的。解 因为函数在闭区域上连续，所以在上至少存在一点使得，显然，而积分区域的面积为，故。例12、计算分析 直接计算是困难的，要交换积分顺序。解 例13、计算积分，其中区域为在第一象限的部分。分析 被积函数中含圆，如果用直角坐标计算是困难的，采用极坐标计算。注意：一般来说，对被积函数或积分区域含圆，扇形，半圆，圆环等，往往采用极坐标计算比较简单。解 设，则 ，令，则原式。例14、计算分析 被积函数中含有绝对值的积分，在计算是先要去掉绝对值，这是解题的一般方法。解 由函数和积分区域的对称性，其中是在第一象限的部分，故 。例15、设函数连续，且，其中由，围成，求。分析 这是一道
5、综合题目，表面看来很复杂，只要分析清楚了并不难。首先可以知道积分是一个常数，因此变为，两边再求二重积分就可以坚决了。解 设，则。故，两边求二重积分，则 ，从而，故。例16、计算，其中。分析 被积函数中含有绝对值的积分，在计算是先要去掉绝对值，这是解题的一般方法。因此要将积分区域分成几部分。解 积分区域被球面分成上下两部分和，故以上积分均要采用球面坐标计算。故。例17、设为连续函数，证明，其中分析 这种类型的题目有一点小技巧，解题的常用方法是坐标变换。解 令，则，所以积分区域由变为，且雅可比式为。 。例18、计算二重积分，其中。分析 这道题本质上是一道分段函数积分题，关键是把用分段函数表示出来。
6、解 设，则 例19、设是连续可导的函数，且，已知，其中，求。分析 这是一道综合题目，先用球面坐标先计算，然后用罗必达法则计算极限。解 。因为，由罗必达法则得。例20、设在单位圆上有连续的偏导数，且在边界上取值为零，求证：,其中D为圆环域：。分析 这是一道综合题目，涉及的知识点多，有极限、重积分、偏导数。由于积分区域为圆，要先化为用极坐标。解法1：令，则，从而。在单位圆的边界上取值为零，则当时，。因此，故。解法2：令，则。令为（逆时针），为（顺时针）即，则 ，。四、考研试题分析例21(2005年高数一) 设围成的空间区域，的整个边界的外侧，则 。答案 分析 用Gauss公式和求空间物体体积，此题
7、无其它技巧。解答 用Gauss公式得即空间区域体积的三倍。容易求出锥面与半球面 的交线为 。用柱坐标求积分， 。例22(2005年高数一)设表示不超过的最大整数，计算二重积分分析 由于含圆，所以用极坐标求解。解法1 解法2 记 ， ，则有 ， 。于是 。23、（2004年高数二）设函数连续, 区域, 则等于（A）.（B）.（C）.（D） 答案 分析 将二重积分化为累次积分的方法是:先画出积分区域的示意图,再选择直角坐标系和极坐标系,并在两种坐标系下化为累次积分. 将二重积分化为累次积分的常规题,关键在于确定累次积分的积分限.解 积分区域见图.在直角坐标系下, 故应排除（A）、（B）.在极坐标系
8、下, , ,故应选（D）。24、（2005年高数二、高数三）计算二重积分其中分析 将绝对值在积分中的处理和二重积分在直角坐标系/极坐标系中的计算公式相结合即可。解如图,将D分成D1与D2两部分. ,由于 , 其中 , 因此 .25、（2005年高数二）设区域， f(x)为D上的正值连续函数，a,b为常数，则A、.B、.C、. D、 答 D 分析 对于选择题，可以用适合条件的特殊函数代入的方法确定答案。解 本题取，故应选结论（）。如果不用特殊函数代入的方法，要计算积分，注意到区域关于直线对称，因而被积表达式中的和对调积分值不变。故有即得。26、（2003年高数一）设函数f(x)连续且恒大于零，
9、，其中，(1) 讨论F(t)在区间内的单调性.(2) 证明当t0时，分析 (1) 先分别在球面坐标下计算分子的三重积分和在极坐标下计算分母的重积分，再根据导函数的符号确定单调性；(2) 将待证的不等式作适当的恒等变形后，构造辅助函数，再用单调性进行证明即可.解 (1) 因为 ， ，所以在上，故F(t) 在内单调增加.（2） 因 ，要证明t0时，只需证明t0时，即 令 ，则 ，故g(t)在内单调增加.因为g(t)在t=0处连续，所以当t0时，有g(t)g(0).又g(0)=0, 故当t0时，g(t)0,因此，当t0时，注： 本题将定积分、二重积分和三重积分等多个知识点结合起来了，但难点是证明（2
10、）中的不等式，事实上，这里也可用柯西积分不等式证明： ，在上式中取f(x)为，g(x)为即可。 27、（2005年高数三）设 , ,其中3.不同等级的环境影响评价要求A、B、（一）规划环境影响评价的适用范围和责任主体C、D、（ A ）分析 由重积分的性质：在区域上，如果，则，对于安全预评价的内容，要注意安全预评价的目的、时间，安全预评价报告的内容等知识点。来进行比较。解 在积分区域 上有且等号仅在区域D的边界 上成立，从而在积分区域D上有安全评价的原理可归纳为四个基本原理，即相关性原理、类推原理、惯性原理和量变到质变原理。且等号也仅仅在区域D的边界 上成立，此外，三个被积函数又都在区域D上连续
11、，按二重积分的性质即得，故应选结论（A）。注：考虑D上，注意在 上单调减少性即可。另外，用到二重积分的性质。（二）环境保护法律法规体系28、（2001年高数一）交换二次积分的积分顺序= 。 分析 这是一道基础题目，画出积分区域容易解答。解 画出积分区域，知道它是由三条直线：，围成。故考试情况分析29、（1994年高数一、二）设区域，则= 。分析 这是一道基础题目，最好用极坐标求解比较简单。3）规划实施的经济效益、社会效益与环境效益之间以及当前利益与长远利益之间的关系。解 1.环境影响评价工作等级的划分 。30、（1988年高数二）计算。分析 由于作为的函数其原函数不能用初等函数表示，因此应该考虑交换积分顺序。解 由于区域由直线，及抛物线所围成，因此区域可以写成，故1）规划实施对环境可能造成影响的分析、预测和评估。主要包括资源环境承载能力分析、不良环境影响的分析和预测以及与相关规划的环境协调性分析。（一）规划环境影响评价的适用范围和责任主体。专心-专注-专业