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1、第九章重积分第1页，本讲稿共60页2 2 二重积分的计算二重积分的计算统一定义：上函数f(x)的黎曼积分第2页，本讲稿共60页xozyD二重积分定义：二重积分定义：D第3页，本讲稿共60页二重积分的几何意义二重积分的几何意义第4页，本讲稿共60页1.x型区域型区域 与与 y 型区域型区域x型区域：穿过D内部且垂直于x轴的直线与D的边界的交点不多于两个。D表示为：axb1(x)y2(x)xoyDy=2(x)y=1(x)axb一、直角坐标系下二重积分的计算一、直角坐标系下二重积分的计算第5页，本讲稿共60页D：c y d 1(x)x 2(x)y型区域型区域xoycdDx=2(y)x=1(y)y第6
2、页，本讲稿共60页yxzo2.计算公式的推导计算公式的推导(形式推导形式推导)(1)设f(x,y)0,D为x型区域从几何意义考虑，求曲顶柱体体积用平面x=x0截曲顶柱体，得一截面x0aby=2(x)y=1(x)1(x0)2(x0)A(x0)第7页，本讲稿共60页此截面面积为A(xo)，则将之投影到yz平面上，曲边梯形由y=1(xo),y=2(xo),z=0,z=f(xo,y)围成，故第8页，本讲稿共60页故体积为记为第9页，本讲稿共60页所以，二重积分的计算公式为(f(x,y)任意符号)(1)(2)同理，对y型区域D：c y d,1(y)x 2(y)(2)第10页，本讲稿共60页(3)当D既是
3、x型区域：axb,1(x)y 2(x)(3)又是 y型区域：cyd,1(y)x 2(y)有xoyy=2(x)y=1(x)axbydcx=2(y)x=1(y)第11页，本讲稿共60页(4)当D是任意区域时，用直线将D先分割为x型区域和y型区域，D1,D2,Dn，再利用积分在区域上的可加性xoyD1D2D3xoyD1D2D3D4第12页，本讲稿共60页3.例题：例题：例例1.计算，其中D是由直线y=1,x=2及 y=x 所围成的区域.解法解法1:由图55，D可表示为x型区域：于是，由公式(2)，得第13页，本讲稿共60页x0y1D21y=x图 55第14页，本讲稿共60页解法解法解法解法2:2:由
4、图55，区域D可表示为y型区域：于是，由公式(3)，得第15页，本讲稿共60页例例例例2.2.计算解解:第16页，本讲稿共60页例例3.计算,其中D是由抛物线y2=x与直线y=x 2所围成的区域。解解:联立方程组解此方程组得D的两条边界线的交点为A(1,1),B(4,2).0 xyA(1,1)B(4,2)y2=xy=x2由图56可知，应将D视为y型区域，选择先对x 后对y的积分顺序.图 56第17页，本讲稿共60页由公式(3)，得第18页，本讲稿共60页此题若选择先对y后对x的积分顺序，则必须对D进行划分.则用x=1将D分成两个区域D1和D2：第19页，本讲稿共60页例例4.交换下列积分的积分
5、顺序：解解:由积分可知，积分区域D为它是由直线 y=0,y=1及曲线x0yy=11D2D3D1第20页，本讲稿共60页解方程组得交点：联立方程组第21页，本讲稿共60页利用直线将区域D分成D1，D2和D3三个部分：第22页，本讲稿共60页于是第23页，本讲稿共60页例题例题1.则第24页，本讲稿共60页例例1.求由曲线所围成的平面图形的面积A.解解:由故所求面积为图中的阴影部分D.x0y2y=2x第25页，本讲稿共60页交点为(2,4),(3,2),(5,10).从而联立方程组，求交点：第26页，本讲稿共60页故所求面积第27页，本讲稿共60页例题例题例题例题2.2.求D由y=0,x=1,y=
6、x 围成.解解:思考：前一个不定积分如何求出来的？思考：前一个不定积分如何求出来的？xoy1y=x第28页，本讲稿共60页1.曲线之间的变换与区域之间的变换曲线之间的变换与区域之间的变换二、二重积分换元法二、二重积分换元法第29页，本讲稿共60页将xy面上的区域变换成uv面上的区域.将xy面上线变换成uv面上的线xoyuovMDxyMDuv在一定条件下通过变换将xy面上点变换成uv面上的点 第30页，本讲稿共60页例如，u=xy,v=y/x点(1,1)(1,1)xoy(1,1)xy=1xy=2D(1/2,2)(1,4)第31页，本讲稿共60页线xy=1 u=1区域 D D uov(1,1)(2
7、,1)(2,4)(1,4)D xy=2 u=2y=x v=1y=4x v=4第32页，本讲稿共60页 设变换设变换T:x=x(u,v),y=y(u,v)将将uv平面上的平面上的有界闭区域有界闭区域Duv变为变为xy平面上的有界闭区域平面上的有界闭区域Dxy，2.定理定理(换元法换元法)且满足且满足第33页，本讲稿共60页第34页，本讲稿共60页注注1：注注2：一定要将有界区域变为有界区域.如将但将第35页，本讲稿共60页例例5:计算解解:作变换即,第36页，本讲稿共60页故第37页，本讲稿共60页例例6.计算解解解解:积分区域D如图所示.则作变换Tx+y=1 x+y=1x+y=1x y=1xy
8、0第38页，本讲稿共60页而故=0第39页，本讲稿共60页例例例例2.2.求由曲线所围成的平面图形D的面积A.解解:令第40页，本讲稿共60页在变换T下,由曲线所围成的平面区域D变成区域D：由公式(5)，得所求面积第41页，本讲稿共60页例题例题3.求椭圆所围成的区域的面积.解解:所求面积将题中椭园变为uv面上园:u2+v2=1=ab第42页，本讲稿共60页设直角坐标系下二重积分的积分区域 Dxy 经变换变成相坐标系下的区域 三、利用极坐标计算二重积分三、利用极坐标计算二重积分=r 因第43页，本讲稿共60页故得利用极坐标计算二重积分的公式其中r,的累次积分上下限的确定不外乎下列诸情形之一.第
9、44页，本讲稿共60页(1)Dr :oA第45页，本讲稿共60页(2)Dr :oA第46页，本讲稿共60页(3)Dr :oA第47页，本讲稿共60页例例7.计算解解:令故(如果直接运用直角坐标进行计算，则由于积分不能用初等函数表示,所以积分算不出来.)第48页，本讲稿共60页P202例例1证明证证:令则由化重积分为累次积分的公式，得注意到夹在以原点为中心,半径分别为a 和的两个圆域之间，第49页，本讲稿共60页其中故xy0第50页，本讲稿共60页运用极坐标计算上述不等式左、右两端的二重积分：第51页，本讲稿共60页从而有即第52页，本讲稿共60页例例例例8.8.计算解解:令第53页，本讲稿共60页例例9.计算解解:该曲线即令是圆心为xy0第54页，本讲稿共60页由对称性，有第55页，本讲稿共60页例例例例3.3.求位于圆r=a以外及圆r=2acos以内的平面部分的面积 A.解解:联立方程组得两圆的交点xoMDN第56页，本讲稿共60页设所求平面部分为D：故由公式(6)，所求面积第57页，本讲稿共60页在下图的情形，例例.圆r=a，D的面积oA第58页，本讲稿共60页例例例例.求双纽线解解解解:oTA第59页，本讲稿共60页第60页，本讲稿共60页