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1、精选优质文档-倾情为你奉上3三个正数的算术几何平均不等式学习目标1.理解定理3、定理4，会用两个定理解决函数的最值或值域问题.2.能运用三个正数的算术几何平均不等式解决简单的实际问题知识链接1应用三个正数的算术几何平均不等式，求最值应注意什么？答案三个正数的和为定值，积有最大值；积为定值，和有最小值当且仅当三个正数相等时取得2设a，b，c为正数，如何证明a3b3c33abc(当且仅当abc时等号成立)答案a3b3c33abca3b3c33abc0(abc)(a2b2c2abbcac)0(abc)(ab)2(bc)2(ca)20.由于abc0且(ab)2(bc)2(ca)20，因而(abc)(a
2、b)2(bc)2(ca)20成立当且仅当abc时，等号成立预习导引1三个正数算术几何平均不等式当a、b、cR时，那么，当且仅当abc时，等号成立，称为正数a，b，c的算术平均，为正数a，b，c的几何平均2基本不等式的推广情形如果a1，a2，an为n个正数，则，当且仅当a1a2an时，等号成立要点一利用三个正数的基本不等式证明不等式例1设a、b、cR，求证：(1)(abc)227；(2)(abc).证明(1)a，b，cR，abc30，从而(abc)290，又30，(abc)23927，当且仅当abc时，等号成立(2)a，b，cR，(ab)(bc)(ca)30，30，(abc).当且仅当abc时，
3、等号成立规律方法认真观察要证的不等式的结构特点，灵活利用已知条件构造出能利用三个正数的基本不等式的式子跟踪演练1已知a，b，c都是正数，求证：32.证明32abcab32c32c3330，原不等式成立要点二利用三个正数的基本不等式求最值例2已知x，yR且x2y4，试求xy的最小值及达到最小值时x、y的值解 x，yR且x2y4，xyxxy333，当且仅当y时等号成立又x2y4.当x2，y1时，xy取最小值3.规律方法利用注意三个正数的基本不等式应用的条件是“一正二定三相等”，在求最值时，一定要求出等号成立时未知数的值，如果不存在使等号成立的未知数的值，则最值不存在跟踪演练2求ysin xcos2
4、x，x的最大值解x，sin x0，y0.y2sin2 xcos4 x33.故y，此时，2sin2 xcos2 x，tan2 x，y有最大值.要点三三个正数的基本不等式的实际应用例3已知圆锥的底面半径为R，高为H，求圆锥的内接圆柱体的高h为何值时，圆柱的体积最大？并求出这个最大的体积解设圆柱体的底面半径为r，如图，由相似三角形的性质可得，r(Hh)V圆柱r2h(Hh)2h(0hH)根据三个正数的基本不等式可得V圆柱h3R2H.当且仅当h，即hH时，V圆柱最大R2H.规律方法利用三个正数的基本不等式解决应用问题的一般步骤理解题意，设变量设变量时一般要把所求最大值或最小值的变量定为函数；建立相应的函
5、数关系式，把实际问题抽象为求函数的最大值或最小值问题；在定义域内，求出函数的最大值或最小值；验证相等条件，得出结论跟踪演练3设长方体的体积为1 000 cm3，则它的表面积的最小值为_ cm2.答案600解析设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则abc1 000，且a0，b0，c0.它的表面积S2(abbcca)23600.当且仅当abc10(cm)时取“”号它的表面积S的最小值为600 cm2.1已知x为正数，下列求最值的过程正确的是()Ayx22x36，ymin6By2x33，ymin3Cy2x4，ymin4Dyx(1x)(12x)3，ymax答案C2函数yx2(15x)的最大值为()A
6、. B. C. D.答案A解析yx2(15x)xx(15x)3，当且仅当x15x，即x时，等号成立3已知a，b，c为正数，则有()A最小值3 B最大值3C最小值2 D最大值2答案A解析33，当abc时取等号4函数yx(x0)的最小值为_答案解析yx3.当且仅当，即x1时等号成立(1)求实际问题的最值一定要注意变量应在实际允许的范围内取值，在使用三个正数的基本不等式定理求最值时，一定要注意检验等号是否成立(2)求形如yax2(x0，a0，b0)的函数的最小值，关键是拆为，则yax2ax23.求形如yax(x0，a0，bc0)的函数的最小值，关键是拆ax为，则yax3.三个正数的算术几何平均不等式
7、1已知x为正数，下列各题求得的最值正确的是()Ayx22x36，ymin6.By2x33，ymin3.Cy2x4，ymin4.Dyx(1x)(12x)3，ymax.解析：选CA、B、D在使用不等式abc3(a，b，cR)和abc3(a，b，cR)都不能保证等号成立，最值取不到C中，x0，y2x2224，当且仅当x，即x1时，等号成立2已知a，b，c为正数，则有()A最小值3 B最大值3 C最小值2 D最大值2解析：选A33，当且仅当，即abc时，等号成立3若logxy2，则xy的最小值是()A. B. C. D.解析：选A由logxy2，得y.而xyx33，当且仅当，即x时，等号成立4已知圆柱
8、的轴截面周长为6，体积为V，则下列不等式总成立的是()AV BV CV DV解析：选B设圆柱底面半径为r，则圆柱的高h，所以圆柱的体积为Vr2hr2r2(32r)3.当且仅当r32r，即r1时，等号成立5若a2，b3，则ab的最小值为_解析：a2，b3，a20，b30，则ab(a2)(b3)5358.当且仅当a2b3，即a3，b4时，等号成立答案：86设0x1，则x(1x)2的最大值为 _.解析：0x0.故x(1x)22x(1x)(1x)3(当且仅当x时，等号成立)答案：7已知关于x的不等式2x7在x(a，)上恒成立，则实数a的最小值为_解析：2x(xa)(xa)2a.xa0，2x32a32a
9、，当且仅当xa即xa1时，等号成立2x的最小值为32a.由题意可得32a7，得a2.答案：28设a，b，cR，求证：(abc).证明：a，b，cR，2(abc)(ab)(bc)(ca)30.30，(abc).当且仅当abc时，等号成立9已知正数a，b，c满足abc1，求(a2)(b2)(c2)的最小值解：因为(a2)(b2)(c2)(a11)(b11)(c11)3332727，当且仅当abc1时，等号成立所以(a2)(b2)(c2)的最小值为27.10已知a，b，c均为正数，证明：a2b2c226，并确定a，b，c为何值时，等号成立证明：法一：因为a，b，c均为正数，由平均值不等式，得a2b2c2，所以2.故a2b2c22.又26，所以原不等式成立当且仅当abc时，式和式等号成立当且仅当时，式等号成立即当且仅当abc时，原式等号成立法二：因为a，b，c均为正数，由基本不等式，得a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac，所以a2b2c2abbcac，同理，故a2b2c22abbcac6，所以原不等式成立当且仅当abc时，式和式等号成立；当且仅当abc，(ab)2(bc)2(ac)23时，式等号成立，即当且仅当abc，原式等号成立专心-专注-专业