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1、精选优质文档-倾情为你奉上第二章 点、直线、平面之间的位置关系知识点 一、空间点、线、面间的位置关系【课标要求】借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间线、面位置关系的定义，并了解公理14和空间等角定理。【例题1】如图所示，已知空间四边形ABCD，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别是BC，CD上的点，且CG=BC，CH=DC，求证：（1）E，F，G，H四点共面；（2）三直线FH，EG，AC共点.【解析】本题考查空间点、线、面间的位置关系，需要用公理1-3来解决；【答案】如图（1）连接EF，GH，由E，F分别为AB，AD中点，EF BD，由CG= BC，
2、CH= DC，HGBD，EFHG且EFHG，EF，HG可确定平面，E,F,G,H四点共面；（2）由（1）知EFHG为平面图形，且EFHG，EFHG.，四边形EFHG为梯形，设直线FH直线EG=O，点O直线FH，直线FH面ACD，点O平面ACD，同理点O平面ABC，又面ACD面ABC=AC，点O直线AC（公理2），三直线FH，EG，AC共点.【归纳拓展】1、证明点线共面的常用方法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内；或者先证明有关的点、线确定平面，再证明其余元素确定平面，最后证明平面,重合；2、线共点问题就是证明三条或三条以上的直线交于一点，证明三线共点的依据是公理3，证明三线共点的方法
3、是：先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点；把问题转化为证明点在直线上的问题，实际上，点共线、线共点的问题都可以转化为点在直线上的问题来处理。【变式训练1】如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，判断下列命题是否正确，并说明理由；（1）直线AC1平面CC1B1B；（2）设正方形ABCD与A1B1C1D1的中心分别为O，O1，平面AA1C1C 平面BB1D1D=OO1；（3）点A，O，C可以确定一个平面；（4）由点A，C1，B1确定的平面是ADC1B1；（5）由A，C1，B1确定的平面和由A，C1，D确定的平面是同一平面；【变式训练2】如图所示，空间四边形ABCD中，E，F，G分别在AB
4、，BC，CD上，且满足AE:EB=CF:FB=2:1，CG: GD=3:1，过E，F，G的平面交AD于H，连接EH.（1）求AH:HD；（2）求证：EH，FG，BD三线共点. 二、直线、平面平行的判定与性质【课标要求】以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行的判定与性质。【例题2】如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2,点E、F分别是棱CC1、BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC=2FB=2.(1)当点M在何位置时，MB平面AEF;(2)若MB平面AEF，判断MB与EF的位置关系，说明理由，并求MB与EF所成角的余弦值
5、.【解析】对于第(1)题，可采用分析法得到，即假设MB平面AEF，则平面MBF与AEF的交线与MB平行，由平面几何的知识不难探求M应为AC的中点;第(2)题MB与EF异面可由判定定理推证，求夹角用平移法.【答案】(1)如图，当M是线段AC中点时，MB平面AEF.取AE中点N，连接NF,MN，则MNCEBF,，MN=BF，MNBF，MNFB是平行四边形，MBBF，又平面AEF，平面AEF，MB平面AEF；(2)MB与EF是两条异面直线.EF平面BB1CC1 ,B平面BB1CC1,B直线EF,M平面BB1CC1，MB与EF是异面直线由(1)知MBNF,EFN就是异面直线MB与EF所成的角，由平面A
6、BC平面AA1CC1，BMAC,知MB平面AA1CC1，又NFMB,FN平面AA1CC1FNAE，而N是AE的中点,EF=AF=，NF=BM=，在RtEFN中,cosEFN=.即所求角的余弦值为.【归纳拓展】判断或证明线面平行的常用方法有:(1)利用线面平行的定义(无公共点);(2)利用线面平行的判定定理(a,b,aba);(3)利用面面平行的性质定理(,aa);【变式训练3】如图所示，在棱长为的正方体中，分别是，的中点(1)求证：平面(2)求的长(3)求证：平面【变式训练4】如图，四边形ABCD为矩形，M，N分别是EC与AB的中点，求证：MN平面ADE.MDNBCEA【例题3】如图，四边形E
7、FGH为四面体ABCD的一个截面，截面与棱AB，CD都平行.(1)求证：四边形EFGH为平行四边形；(2)若AB=4，CD=6，求四边形EFGH周长的取值范围。DBCEGFAH【解析】第(1)题，由条件的线面平行到所求的线线平行，考查线面平行的性质，第(2)题需要把周长用一个适当的参数表示，利用函数思想来解决。【答案】(1)AB面EFGH，AB面ABC，面ABC面EFGH=EF，ABEF，同理ABGH，EFGH，又CD面EFGH，同理EHFG，四边形EFGH为平行四边形；(2)设，由(1)知EFAB，即，EF=4x，又GHCD，即，EH=6(1-x)，四边形EFGH的周长为l=2(4x+6-6
8、x)=4(3-x)，0x1，8l12.【归纳拓展】平行关系可以相互转化，下面是它们之间转化关系：【变式训练5】如图，四边形EFGH为四面体ABCD的一个截面，截面为平行四边形.(1) 求证：截面EFGH与棱AB，CD都平行；(2)当对棱AB，CD满足什么位置关系时，平行四边形EFGH为矩形？说明理由；(3)若AB=4，CD=6，当平行四边形EFGH为矩形时，求它面积的最大值，并求此时点E、F、G、H的位置。DBCEGFAH三、直线、平面垂直的判定与性质【课标要求】以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面垂直的判定与性质。【例题4】如图，A
9、BCD为矩形，PA平面ABCD ,M、N分别为AB、PC的中点，(1) 证明：ABMN; (2)若平面PDC与平面ABCD成角，证明：平面MND平面PDC.ABCDPMN【解析】第(1)题证明线线垂直，可以用等腰三角形性质，也可用线面垂直的性质，第(2)题需要作出(或找出)二面角的平面角，再证线面垂直，进而得到面面垂直。【答案】证法一：(1)如图，连接AN与BN，PA平面ABCD，PAAC，PABC，又BCAB，BC平面PAB，BCPB，BN=PC，又PAAC，AN= PC，BN=AN，ABN为等腰直角，又M为AB中点，MNABABCDPMN(2)PA平面ABCD，PACD，又CDAD，CD平
10、面PAD，PDA为平面PDC与平面ABCD所成的角，PDA=45，PA=AD=BC，又AM=MB，PAM=CBM=90，PAMCBM，PM=CM，又N为PC中点，MNPC，由(1)知MNAB，又ABCD，MNCD，PC与CD相交，MN平面PCD。证法二：(1)取PD中点Q连接AQ、NQ，AMCD，NQCD，AMNQ，四边形AMNQ为平行四边形，易证AMPA，又AMAD，AM平面PAD，AMAQ，又MNAQ，MNAM，即MNAB；ABCDPMNQ(2) PA平面ABCD，PACD，又CDAD，CD平面PAD，PDA为平面PDC与平面ABCD所成的角，PDA=45，PAAD，AQPD，又MNAQ，
11、MNPD，由(1)MNAB，又由ABCD，MNCD，CD与PD相交，MN平面PCD，平面MND平面PCD。【归纳拓展】空间的线线垂直，一般由线面垂直来证明，而线面垂直又可以由线线垂直或面面垂直证明，所以灵活运用垂直关系的转化是证明的关键；垂直的转化关系如下：线线垂直线面垂直面面垂直【变式训练6】如图所示，已知三棱锥P-ABC中，PC底面ABC，AB=BC，D、F分别是AC、PC的中点，DEAP于E，(1)求证：AP平面BDE；(2)求证：平面BDE平面BDF；DAEPFCB【例题5】如图，直二面角DABE中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF平面ACE. （1
12、）求证：AE平面BCE； （2）求二面角BACE的余弦值； （3）求点D到平面ACE的距离.DFECBA【解析】第(1)题，要证AE平面BCE，只需证AEBC，与AEBF，第(2)题，要求二面角的平面角，需要作出(或找出)平面角来，从棱出发作出两条射线都与AC垂直，这实际上也是一个线面垂直问题，连接BD与棱AC相交来找思路，第(3)题，D到平面ACE的距离需要过D作平面ACE的垂线段，不易直接作，可利用对称性，转到B到平面ACE的距离。【答案】(1)证明：BF平面ACE，BFAE，二面角DABE为直二面角，且CBAB，CB平面ABE，CBAE，AE平面BCE.DFECBAG(2) 连接BD交A
13、C于G点，ACGB，又BF平面ACE，BFAC，AC平面BGF，ACGF，BGF为二面角B-AC-E的平面角，由(1)知AE平面BCE，AEEB，又AE=EB，AB=2，EB=，FB=，BF平面ACE，BFGF，在RTBGF中，BG=，GF=，cosBGF=；(3)BD的中点G在平面ACE上，D点到平面ACE与B到平面ACE的距离相等，又BF平面ACE，BF长为B到平面ACE的距离，所求距离为【归纳拓展】1、求二面角的步骤：（1）作出二面角的平面角；（2）证明该角两边都与棱垂直；（3）指出该角就是二面角的平面角；（4）计算该角大小；简记为作、证、指、算；2、求点到面的距离的方法分为：（1）直接
14、法，作出点到面的垂线段来，再求其长；（2）间接法，把所求的距离看作是一几何体的高（通常是椎体），再用等体积法把高求出，或者转化成其它点到平面的距离；【变式训练7】如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO底面ABCD，E是PC的中点。求证：（1）PA平面BDE （2）平面PAC平面BDE（3）求二面角E-BD-A的大小。 四、空间位置关系的简单证明【课标要求】能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。【例题6】如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB=2EF=2，EFAB,EF平面BFC,BFC为等腰直角三角形，BF=FC,H为BC的中点，(1)求证：FH平面EA
15、C；(2)求证：面EAC面ABCD；(3)求证：BD平面EAC； (4)求四面体BDEF的体积；CBAEFDHG(1)证明：设AC与BD交于点G，则G为AC的中点. 连EG，GH，由于H为BC的中点， GHAB 又EFAB，EFGH 四边形EFHG为平行四边形，EGFH，而EG 平面EDB，FH平面EDB.(2)证明： EF平面BFC， EFFH，EFAB， ABFH，又BF=FC， H为BC的中点，FHBC， FH平面ABCD，FHEG，EG平面ABCD，又EG平面EAC，面EAC面ABCD；(3)由(2)知EG平面ABCD,EGBD, 又四边形ABCD为正方形，BDAC，EGAC=G， B
16、D平面EAC.(4) EF平面BFC，EFBF，又BFC为等腰直角三角形，BF=FC，BFFC， BF平面CDEF， BF为四面体B-DEF的高. 又BC=AB=2, BF=FC=，.【归纳拓展】空间几何综合题涉及的知识点比较多，不但要多注意平行关系，垂直关系各自内部的相互转化，还要分析平行与垂直之间的横向联系，灵活运用所学知识解题；【变式训练8】如图，四边形ADEF是正方形，四边形ABCD为等腰梯形，BCAD，CD=1，AD=，BC=，平面ADEF平面ABCD；(1)求异面直线ED与BF所成角的余弦值； (2)证明CD平面ABF；(3)求二面角B-EF-A的正切值。FEDCBA （完）专心-专注-专业