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1、-高中数学必修2-第二章点、直线、平面之间的位置关系单元测试题-第 11 页第二章综合素能检测时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1(20132014福建师大附中模块)设，表示两个平面，l表示直线，A，B，C表示三个不同的点，给出下列命题：若Al，A，Bl，B，则l；，不重合，若A，A，B，B，则AB；若l，Al，则A；若A，B，C，A，B，C，且A，B，C不共线，则与重合则上述命题中，正确的个数是()A1B2C3D4答案C解析根据公理1可知正确；根据公理3可知正确，根据公理2可知正确；当点A为直
2、线l与平面的交点时，可知错误2菱形ABCD在平面内，PC，则PA与对角线BD的位置关系是()A平行 B相交但不垂直C相交垂直 D异面垂直答案D解析PC平面，PCBD，又在菱形ABCD中，ACBD，BD平面PAC.又PA平面PAC，BDPA.显然PA与BD异面，故PA与BD异面垂直3设P是ABC所在平面外一点，H是P在内的射影，且PA，PB，PC与所成的角相等，则H是ABC的()A内心 B外心 C垂心 D重心答案B解析由题意知RtPHARtPHBRtPHC，得HAHBHC，所以H是ABC的外接圆圆心4已知二面角l的大小为60，m，n为异面直线，且m，n，则m，n所成的角为()A30 B60 C9
3、0 D120答案B解析易知m，n所成的角与二面角的大小相等，故选B.5(20132014珠海模拟)已知a，b，l表示三条不同的直线，表示三个不同的平面，有下列命题：若a，b，且ab，则；若a，b相交，且都在，外，a，a，b，b，则；若，a，b，ab，则b；若a，b，la，lb，则l.其中正确的有()A0个 B1个 C2个 D3个答案C解析可借助正方体模型解决如图，在正方体A1B1C1D1ABCD中，可令平面A1B1CD为，平面DCC1D1为，平面A1B1C1D1为.又平面A1B1CDDCC1D1CD，平面A1B1C1D1平面DCC1D1C1D1，则CD与C1D1所在的直线分别表示a，b，因为C
4、DC1D1，但平面A1B1CD与平面A1B1C1D1不平行，即与不平行，故错误因为a，b相交，可设其确定的平面为，根据a，b，可得.同理可得，因此，正确由两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线和另一个平面垂直，易知正确ab时，由题知l垂直于平面内两条不相交直线，得不出l，错误6(2013新课标全国)已知m，n为异面直线，m平面，n平面.直线l满足lm，ln，l，l，则()A且lB且lC与相交，且交线垂直于lD与相交，且交线平行于l答案D解析由于m，n为异面直线，m平面，n平面，则平面与平面必相交，但未必垂直，且交线垂直于直线m，n，又直线l满足lm，ln，则交线平行于l，故选D.7在正方体A
5、BCDA1B1C1D1中，E，F分别是线段A1B1，B1C1上的不与端点重合的动点，如果A1EB1F，有下面四个结论：EFAA1；EFAC；EF与AC异面；EF平面ABCD.其中一定正确的有()A B C D答案D解析如右图所示由于AA1平面A1B1C1D1，EF平面A1B1C1D1，则EFAA1，所以正确；当E，F分别是线段A1B1，B1C1的中点时，EFA1C1，又ACA1C1，则EFAC，所以不正确；当E，F分别不是线段A1B1，B1C1的中点时，EF与AC异面，所以不正确；由于平面A1B1C1D1平面ABCD，EF平面A1B1C1D1，所以EF平面ABCD，所以正确8如图，若是长方体A
6、BCDA1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EHA1D1，则下列结论中不正确的是()AEHFG B四边形EFGH是矩形C是棱柱 D是棱台答案D解析因为EHA1D1，A1D1B1C1，所以EHB1C1，又EH平面BCC1B1，所以EH平面BCC1B1，又EH平面EFGH，平面EFGH平面BCC1B1FG，所以EHFG，又EHB1C1，所以是棱柱，所以A，C正确；因为A1D1平面ABB1A1，EHA1D1，所以EH平面ABB1A1，又EF平面ABB1A1，故EHEF，所以B正确，故选D.9(201
7、2大纲版数学(文科)已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为BB1、CC1的中点，那么直线AE与D1F所成角的余弦值为()A D C D答案B命题意图本试题考查了正方体中异面直线的所成角的求解的运用解析首先根据已知条件，连接DF，然后则DFD1即为异面直线所成的角，设棱长为2，则可以求解得到DFD1F，DD12，结合余弦定理得到结论10如图，在三棱柱ABCABC中，点E，F，H，K分别为AC，CB，AB，BC的中点，G为ABC的重心，从K，H，G，B中取一点作为P，使得该三棱柱恰有2条棱与平面PEF平行，则点P为()AK BHCG DB答案C解析应用验证法：选G点为P时，EFAB且E
8、FAB，此时恰有AB和AB平行于平面PEF，故选C.11如图，四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，将ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，构成四面体ABCD，则在四面体ABCD中，下列结论正确的是()A平面ABD平面ABCB平面ADC平面BDCC平面ABC平面BDCD平面ADC平面ABC答案D解析由平面图形易知BDC90.平面ABD平面BCD，CDBD，CD平面ABD.CDAB.又ABAD，CDADD，AB平面ADC.又AB平面ABC，平面ADC平面ABC.12(2013全国卷)已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦
9、值等于()A B C D答案A解析如图，连接AC交BD于点O，连接C1O，过C作CHC1O于点H，CH面BDC1，HDC为CD与面BDC1所成的角，设AA12AB2，OC，CC12，OC1，CH，sinHDC，故选A.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共25分把答案填在题中的横线上)13直线l与平面所成角为30，lA，m，Am，则m与l所成角的取值范围是_答案30，90解析直线l与平面所成的30的角为m与l所成角的最小值，当m在内适当旋转就可以得到lm，即m与l所成角的最大值为90.14如图所示，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足_时
10、，平面MBD平面PCD(只要填写一个你认为是正确的条件即可)答案DMPC(或BMPC)解析连接AC，则BDAC，由PA底面ABCD，可知BDPA，BD平面PAC，BDPC.故当DMPC(或BMPC)时，平面MBD平面PCD.15(2014北京高考理科数学)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为_答案2解析三棱锥的直观图如右图AB面BCD，BCD为等腰直角三角形AB2，BD2，BCCD，AC，AD2.16(2013高考安徽卷)如图正方体ABCDA1B1C1D1，棱长为1，P为BC中点，Q为线段CC1上的动点，过A、P、Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是_(写出所
11、有正确命题的编号)当0CQ时，S为四边形当CQ时，S为等腰梯形当CQ时，S与C1D1交点R满足C1R1当CQ1时，S为六边形当CQ1时，S的面积为.答案解析设截面与DD1相交于T，则ATPQ，且AT2PQDT2CQ.对于，当0CQ时，则0DT1，所以截面S为四边形，且S为梯形，所以为真对于，当CQ时，DT1，T与D重合，截面S为四边形APQO1，所以APD1Q，截面为等腰梯形，所以为真对于，当CQ，QC1，DT2，D1T，利用三角形相似解得，C1R1，所以为真对于，当CQ1时，DT2，截面S与线段A1D1，D1C1相交，所以四边形S为五边形，所以为假对于，当CQ1时，Q与C1重合，截面S与线段
12、A1D1相交于中点G，即即为菱形APC1G，对角线长度为和，S的面积为，所以为真，综上，选.三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)如右图，在三棱柱ABCA1B1C1中，ABC与A1B1C1都为正三角形且AA1面ABC，F、F1分别是AC，A1C1的中点求证：(1)平面AB1F1平面C1BF；(2)平面AB1F1平面ACC1A1.分析本题可以根据面面平行和面面垂直的判定定理和性质定理，寻找使结论成立的充分条件证明(1)在正三棱柱ABCA1B1C1中，F、F1分别是AC、A1C1的中点，B1F1BF，AF1C1F.又B1F1AF1F
13、1，C1FBFF，平面AB1F1平面C1BF.(2)在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面A1B1C1，B1F1AA1.又B1F1A1C1，A1C1AA1A1，B1F1平面ACC1A1，而B1F1平面AB1F1，平面AB1F1平面ACC1A1.18(本小题满分12分)(2013四川文科)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面ABC，ABAC2AA12，BAC120，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD上异于端点的点(1)在平面ABC内，试作出过点P与平面 A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l平面ADD1A1；(2)设(1)中的直线l交AC于点Q，求三棱锥A
14、1QC1D的体积(锥体体积公式：VSh，其中S为底面面积，h为高)解析(1)在平面ABC内，过点P作直线l和BC平行理由如下：由于直线l不在平面A1BC内，lBC，故直线l与平面A1BC平行在ABC中，ABAC，D是线段AC的中点，ADBC，lAD.又AA1底面ABC，AA1l.而AA1ADA，直线l平面ADD1A1.(2)过点D作DEAC于点E.侧棱AA1底面ABC，三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，则易得DE平面AA1C1C.在RtACD中，AC2，CAD60，ADACcos601，DEADsin60.SQA1C1A1C1AA1211，三棱锥A1QC1D的体积VA1QC1DVDQA1C1
15、SQA1C1DE1.19(本小题满分12分)如下图所示，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，AB4，BC3，AD5，DABABC90，E是CD的中点(1)证明：CD平面PAE；(2)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥PABCD的体积解析(1)证明：如下图所示，连接AC，由AB4，BC3，ABC90，得AC5.又AD5，E是CD的中点，所以CDAE.PA平面ABCD，CD平面ABCD，所以PACD.而PA，AE是平面PAE内的两条相交直线，所以CD平面PAE.(2)过点B作BGCD，分别与AE，AD相交于F，G，连接PF.由(1)CD平面PAE知，BG平
16、面PAE.于是BPF为直线PB与平面PAE所成的角，且BGAE.由PA平面ABCD知，PBA为直线PB与平面ABCD所成的角由题意，知PBABPF，因为sinPBA，sinBPF，所以PABF.由DABABC90知，ADBC，又BGCD，所以四边形BCDG是平行四边形，故GDBCAG2.在RtBAG中，AB4，AG2，BGAF，所以BG2，BF.于是PABF.又梯形ABCD的面积为S(53)416，所以四棱锥PABCD的体积为VSPA16.20(本小题满分12分)(2013全国新课标卷)如图三棱柱ABCA1B1C1中，CACB，ABAA1，BAA160，(1)证明ABA1C；(2)若AC1，A
17、BCB2，求三棱柱ABCA1B1C1的体积S.命题意图本题主要考查空间线面，线线垂直的判定与性质，及体积的计算，考查空间想象能力，逻辑推理论证能力，属容易题解析(1)证明：取AB中点E，连接CE，A1B，A1E，ABAA1，BAA160，BAA1是等边三角形，A1EAB，CACB，CEAB，CEA1EE，AB面CEA1，ABA1C.(2)由于CAB为等边三角形，CE，A1E，在A1CE中A1C.即有A1C2CE2A1E2，故A1ECE，S底面积ABCE222，A1EAB，A1ECE，hA1E，VSh26.21(本小题满分12分)(2013福建改编)如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，
18、ABDC，ABAD，BC5，DC3，AD4，PAD60.(1)当正视方向为从A到D的方向时，画出四棱锥PABCD的正视图(要求标出尺寸，并写出演算过程)；(2)若M为PA的中点，求证：DM平面PBC；(3)求三棱锥DPBC的体积解析(1)如图1，在梯形ABCD中，过点C作CEAB，垂足为E.由已知得，四边形ADCE为矩形，AECD3，在RtBEC中，由BC5，CE4，依据勾股定理得BE3，从而AB6.又由PD平面ABCD得，PDAD，从而在RtPDA中，由AD4，PAD60，得PD4.正视图如图2所示：(2)方法一：如图3，取PB的中点N，连接MN，CN.在PAB中，M是PA的中点，MNAB，
19、MNAB3，又CDAB，CD3，MNCD，MNCD，四边形MNCD为平行四边形，DMCN.又DM平面PBC，CN平面PBC，DM平面PBC.方法二：如图4，取AB的中点E，连接ME，DE.在梯形ABCD中，BECD，且BECD，四边形BCDE为平行四边形，DEBC.又DE平面PBC，BC平面PBC，DE平面PBC.又在PAB中，MEPB，ME平面PBC，PB平面PBC，ME平面PBC.又DEMEE，平面DME平面 PBC.又DM平面DME，DM平面PBC.(3)VDPBCVPDBCSDBCPD，又SDBC6，PD4，所以VDPBC8.22(本小题满分12分)如图，在四棱锥PABCD中，底面AB
20、CD是矩形，已知AB3，AD2，PA2，PD2，PAB60.(1)求证：AD平面PAB；(2)求异面直线PC与AD所成的角的正切值；(3)求二面角PBDA的正切值解析(1)证明：在PAD中，PA2，AD2，PD2，PA2AD2PD2，ADPA.在矩形ABCD中，ADAB.PAABA，AD平面PAB.(2)BCAD，PCB是异面直线PC与AD所成的角在PAB中，由余弦定理得PB.由(1)知AD平面PAB，PB平面PAB，ADPB，BCPB，则PBC是直角三角形，故tanPCB.异面直线PC与AD所成的角的正切值为.(3)过点P作PHAB于点H，过点H作HEBD于点E，连结PE.AD平面PAB，PH平面ABCD，ADPH.又ADABA，PH平面ABCD.又PH平面PHE，平面PHE平面ABCD.又平面PHE平面ABCDHE，BDHE，BD平面PHE.而PE平面PHE，BDPE，故PEH是二面角PBDA的平面角由题设可得，PHPAsin60，AHPAcos601，BHABAH2，BD，HEBH.在RtPHE中，tanPEH.二面角PBDA的正切值为.