必修2-第二章《点、直线、平面之间的位置关系》练习题.doc

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1、新课标数学必修2 第二章点线平面之间的位置关系 新课标数学（人教A版）必修2 第二章点、直线、平面之间的位置关系练习题一、选择题1【06陕西理】已知平面外不共线的三点到的距离都相等,则正确的结论是A. 平面必平行于 B. 平面必与相交C. 平面必不垂直于 D. 存在的一条中位线平行于或在内2【06上海理】若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的（A）充分非必要条件； （B）必要非充分条件；（C）充要条件； （D）非充分非必要条件3【06上海文】如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”。在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含

2、有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（A）48 （B）18 （C）24 （D）364【06四川理】 已知二面角的大小为，为异面直线，且，则所成的角为（A） （B） （C） （D）5【06四川理】 已知球O半径为1，A、B、C三点都在球面上，A、B两点和A、C两点的球面距离都是，B、C两点的球面距离是，则二面角的大小是（A） （B） （C） （D）7【06天津理】设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面.考查下列命题，其中正确的命题是A B CD8【06北京文】设A、B、C、D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是AAC与BD共面，则AD与BC共面B若AC与BD是异面直线，则AD与

3、BC是异面直线C若AB=AC，DB=DC，则AD=BCD若AB=AC，DB=DC，则ADBC9【06天津文】若为一条直线，为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：；其中正确的命题有A0个 B1个 C2个 D3个10【06浙江理】如图，O是半径为1的球心，点A、B、C在球面上，OA、OB、OC两两垂直，E、F分别是大圆弧与的中点，则点E、F在该球面上的球面距离是（A） （B） （C） （D）11【06浙江文】如图，正三棱柱的各棱长都为2，分别为AB、A1C1的中点，则EF的长是（A）2 （B） （C） （D）12【06重庆文】若是平面外一点，则下列命题正确的是（A）过只能作一条直线与平面相交 （

4、B）过可作无数条直线与平面垂直（C）过只能作一条直线与平面平行 （D）过可作无数条直线与平面平行13【06重庆理】对于任意的直线与平面，在平面内必有直线，使与（A）平行 （B）相交 （C）垂直 （D）互为异面直线14【06福建理】对于平面和共面的直线、下列命题中真命题是（A）若则 （B）若则（C）若则（D）若、与所成的角相等，则15【06湖北理】关于直线、与平面、，有下列四个命题： 若，且，则； 若，且，则； 若，且，则； 若，且，则。其中真命题的序号式A B C D16【06辽宁文】给出下列四个命题：垂直于同一直线的两条直线互相平行垂直于同一平面的两个平面互相平行若直线与同一平面所成的角相等

5、，则互相平行若直线是异面直线，则与都相交的两条直线是异面直线其中假命题的个数是（A）1 （B）2 （C）3 （D）417【06全国理】如图，平面平面，与两平面、所成的角分别为和。过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为、，则（A） （B） （C） （D）18【06全国文】如图（同理科图），平面平面， 与两平面、所成的角分别为和。过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为、，若AB=12，则（A）4 （B）6 （C）8（D）9二、填空题1【06安徽理】多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点A在平面内，其余顶点在的同侧，正方体上与顶点A相邻的三个顶点到的距离分别为1，2和4，

6、P是正方体的其余四个顶点中的一个，则P到平面的距离可能是：3； 4； 5； 6； 7以上结论正确的为_。（写出所有正确结论的编号）2【06安徽文】平行四边形的一个顶点A在平面内，其余顶点在的同侧，已知其中有两个顶点到的距离分别为1和2 ，那么剩下的一个顶点到平面的距离可能是：1； 2； 3； 4； 以上结论正确的为_。（写出所有正确结论的编号）ABCDA13【06山东文】如图，在正三棱柱中，所有棱长均为1，则点到平面 的距离为。4【06北京理】已知三点在球心为，半径为的球面上，且，那么两点的球面距离为 ，球心到平面的距离为_。5【06天津理】如图，在正三棱柱中，若二面角的大小为，则点到平面的距

7、离为_。6【06天津文】如图（同理科图），在正三棱柱中，若二面角的大小为，则点到直线的距离为。7【06浙江理】（如图，在6题上）正四面体ABCD的棱长为l，棱AB平面，则正四面体上的所有点在平面内的射影构成的图形面积的取值范围是_。8【06辽宁理】若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为,则=_。9【06全国理】已知正四棱椎的体积为12，地面的对角线为，则侧面与底面所成的二面角为_。10【06四川文】是空间两条不同直线，是空间两条不同平面，下面有四个命题： 其中真命题的编号是 （写出所有真命题的编号）。三、计算题1【06广东】 如图所示，、分别是、的直径，与两圆所在的平面均垂直，.是的直径，

8、,。（I）求二面角的大小；（II）求直线与所成的角.【解】（I）AD与两圆所在的平面均垂直，ADAB，ADAF，故BAF是二面角BADF的平面角，依题意可知，ABFC是正方形，所以BAF450.即二面角BADF的大小为450；（II）以O为原点，BC、AF、OE所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示），则，），所以，设异面直线BD与EF所成角为，则。直线BD与EF所成的角为。2【06安徽理】如图，P是边长为1的正六边形ABCDEF所在平面外一点，P在平面ABC内的射影为BF的中点O。（）证明；（）求面与面所成二面角的大小。【解】本小题主要考察直线与平面的位置关系、二面角及其平面角等有关

9、知识，考察思维能力和空间想象能力；考查应用向量知识解决立体几何问题的能力。满分12分。方法一：连结AD，则易知AD与BF的交点为O。（I）证法1： 又 证法2: （II）设M为PB的中点，连结AM，MD。斜线PB在平面ABC内的射影为OB，。又 因此，为所求二面角的平面角。在正六边形ABCDEF中，在Rt 在Rt，则 在中，由余弦定理得因此，所求二面角的大小为方法二：由题设条件，以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz,如图。由正六边形的性质，可得在中， 故 因而有（I）证明：因 故所以（II）设M为PB的中点，连结AM, MD, 则M点的坐标 因此，为所求二面角的平面角。 因此，所求二面角的大

10、小为。3【06北京理】 如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，平面，且，点是的中点.（）求证：；（）求证：平面；（）求二面角的大小.【解】 解法一：（）PA平面ABCD， AB是PB在平面ABCD上的射影，又ABAC，AC平面ABCD，ACPB.（）连接BD，与AC相交与O，连接EO，ABCD是平行四边形 O是BD的中点又E是PD的中点， EOPB.又PB平面AEC，EO平面AEC，PB平面AEC，（）如图，取AD的中点F，连EF，FO，则EF是PAD的中位线， EFPA又平面， EF平面同理FO是ADC的中位线，FOABFOAC由三垂线定理可知EOF是二面角EACD的平面角. 又FOABPAE

11、F。EOF45而二面角与二面角EACD互补，故所求二面角的大小为135.解法二：（）建立空间直角坐标系Axyz，如图。设AC=a，PA=b。则有A（0,0,0）、B（0,b,0）、C（a,0,0）、P（0,0,b）， 从而， 。（）连结BD，与AC相交于O，连结EO。由已知得，又， ， ，又PB平面AEC，EO平面AEC。 PB平面AEC。（）取BC中点G，连接OG，则点G的坐标为，又是二面角的平面角。二面角的大小为4【06北京文】如图，是正四棱柱。（I）求证：BD平面；（II）若二面角的大小为60，求异面直线BC1与AC所成角的大小。【解】解法一：（） 是正四棱柱， CC1平面ABCD， B

12、DCC1， ABCD是正方形， BDAC又 AC，CC1平面，且ACCC1=C， BD平面（II）设BD与AC相交于O，连接C1O。 CC1平面ABCD，BDAC， BDC1O， C1OC是二面角的平面角， C1OC=60。连接A1B A1C1AC， A1C1B是异面直线BC1与AC所成角。设BC=a，则CO=，CC1=CO，A1B=BC1= ，。在A1B1C1中，由余弦定理得 ， A1C1 B=， 异面直线BC1与 AC所成的角的大小为。解法二：（I）建立空间直角坐标系Dxyz，如图。设AD=a，DD1=b，则有D（0,0,0），A（a,0,0,）、B（a,a,0,）、C（0,a,0,）、C

13、1（0,a,b,）， ， ， 。 又AC，CC1平面，且ACCC1=C， BD平面（）设BD与AC相交于O，连接C1O，则点O坐标为， ， BDC1O ，又BDCO C1OC是二面角的平面角， C1OC=60。 ， 。 ， 异面直线BC1与 AC所成的角的大小为。5【06山东文】 如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形，与相交于点，且顶点在底面上的射影恰为点，又.（）求异面直接与所成角的余弦值；（）求二面角的大小；（）设点M在棱上，且为何值时，平面。【解】 解法一：平面， 又，由平面几何知识得：（）过做交于于，连结，则或其补角为异面直线与所成的角，四边形是等腰梯形， 又 四边形是

14、平行四边形。 是的中点，且又， 为直角三角形，在中，由余弦定理得：故异面直线PD与所成的角的余弦值为。（）连结，由（）及三垂线定理知，为二面角的平面角， 二面角的大小为（）连结，平面平面， 又在中， 故时，平面解法二： 平面 又，由平面几何知识得：以为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则各点坐标为，（）， ，。 。故直线与所成的角的余弦值为。（）设平面的一个法向量为，由于， 由 得 取，又已知平面ABCD的一个法向量，。又二面角为锐角， 所求二面角的大小为（）设，由于三点共线，平面 由（1）（2）知：，。 故时，平面。6【06陕西理】 如图,=l , A, B,点A在直线l 上的射影

15、为A1, 点B在l的射影为B1,已知AB=2,AA1=1, BB1=, 求:（I） 直线AB分别与平面,所成角的大小；（II）二面角A1ABB1的大小。【解】 解法一：（）如图, 连接A1B,AB1, , =l ,AA1l, BB1l, AA1, BB1. 则BAB1,ABA1分别是AB与和所成的角.RtBB1A中, BB1= , AB=2, sinBAB1 = = . BAB1=45.RtAA1B中, AA1=1,AB=2, sinABA1= = , ABA1= 30.故AB与平面,所成的角分别是45,30.（）BB1, 平面ABB1。在平面内过A1作A1EAB1交AB1于E，则A1E平面A

16、B1B。过E作EFAB交AB于F，连接A1F，则由三垂线定理得A1FAB，A1FE就是所求二面角的平面角.在RtABB1中,BAB1=45， AB1=B1B=. RtAA1B中，A1B= = 。由AA1A1B=A1FAB得 A1F= = ,在RtA1EF中，sinA1FE = = ， 二面角A1ABB1的大小为arcsin.解法二：（）同解法一.（） 如图,建立坐标系, 则A1(0,0,0),A(0,0,1),B1(0,1,0),B(,1,0).在AB上取一点F(x,y,z),则存在tR,使得=t , 即(x,y,z1)=t(,1, 1), 点F的坐标为(t, t,1t).要使,须=0, 即(

17、t, t,1t) (,1,1)=0, 2t+t(1t)=0， 解得t= ，点F的坐标为（, ）, =(, ). 设E为AB1的中点,则点E的坐标为（0, ）。 =(,).又=(,)(,1, 1)= =0, , A1FE为所求二面角的平面角.又cosA1FE= = = = = ,二面角A1ABB1的大小为arccos.7【06上海理】 在四棱锥PABCD中，底面是边长为2的菱形，DAB60，对角线AC与BD相交于点O，PO平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60（1）求四棱锥PABCD的体积；（2）若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的大小（结果用反三角函数值表示）【解】（1）在四

18、棱锥P-ABCD中,由PO平面ABCD，得PBO是PB与平面ABCD所成的角，PBO=60.在RtAOB中BO=ABsin30=1，由POBO,于是，PO=BOtg60=,而底面菱形的面积为2.四棱锥P-ABCD的体积V=2=2.（2）解法一：以O为坐标原点,射线OB、OC、OP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系.在RtAOB中OA=,于是,点A、B、D、P的坐标分别是A(0,0)，B(1,0,0)，D(1,0,0)，P(0,0,)。E是PB的中点，则E(,0,)。 于是=(,0,),=(0,).设与的夹角为，有cos=， =arccos。异面直线DE与PA所成角的大小是arcc

19、os.解法二：取AB的中点F，连接EF、DF.由E是PB的中点，得EFPA,FED是异面直线DE与PA所成角（或它的补角）。在RtAOB中AO=ABcos30=OP,于是,在等腰RtPOA中,PA=,则EF=.在正ABD和正PBD中，DE=DF=. cosFED=异面直线DE与PA所成角的大小是arccos.8【06上海文】 在直三棱柱中，.（1）求异面直线与所成的角的大小；（2）若与平面所成角为，求三棱锥的体积。【解】 （1） BCB1C1， ACB为异面直线B1C1与AC所成角(或它的补角)ABC=90,AB=BC=1， ACB=45,异面直线B1C1与AC所成角为45.（2）AA1平面A

20、BC,ACA1是A1C与平面ABC所成的角，ACA1=45.ABC=90，AB=BC=1，AC= AA1=。三棱锥A1-ABC的体积V=SABCAA1=。9【06四川理】 如图,长方体ABCD-中，E、P分别是BC、的中点,M、N分别是AE、的中点，（）求证：；（）求二面角的大小；（）求三棱锥PDEN的体积。【解】 本小题主要考察长方体的概念、直线和平面、平面和平面的关系等基础知识，以及空间想象能力和推理能力。解法一：（）证明：取的中点，连结分别为的中点面，面面面 面（）设为的中点为的中点 面作，交于，连结，则由三垂线定理得从而为二面角的平面角。在中，从而在中，故：二面角的大小为。（）作，交于

21、，由面得面在中，。方法二：以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立直角坐标系，则分别是的中点（），取，显然面， 又面 面（）过作，交于，取的中点，则设，则又由，及在直线上，可得:解得 即与所夹的角等于二面角的大小故：二面角的大小为。（）设为平面的法向量，则又 即 可取点到平面的距离为，。10【06天津理】 如图，在五面体中，点是矩形的对角线的交点，面是等边三角形，棱（1）证明/平面；（2）设，证明平面【解】 本小题考查直线与平面平行、直线与平面垂直等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.（）证明：取CD中点M，连结OM.在矩形ABCD中。 ，又，则，连结EM，于是四边形EFOM为平行四边形

22、. 又平面CDE，且EM平面CDE，FO平面CDE（）证明：连结FM，由（）和已知条件，在等边CDE中，且.因此平行四边形EFOM为菱形，从而EOFM而FMCD=M， CD平面EOM，从而CDEO.而， 所以EO平面CDF.11【06浙江理】如图，在四棱锥中，底面为直角梯形， 底面，且，分别为、的中点。（）求证：；（）求与平面所成的角。【解】 本题主要考查空间线线、线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力。方法一：（I）因为是的中点，所以.因为平面，所以，从而平面.因为平面，所以.（II）取的中点，连结、，则，所以与平面所成的角和与平面所成的角相等. 因为平面，所以是与平

23、面所成的角.在中，。故与平面所成的角是。方法二：如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，则.（I） 因为，所以（II） 因为，所以，又因为，所以平面因此的余角即是与平面所成的角.因为，所以与平面所成的角为。12【06重庆文】 如图（上右图），在正四棱柱中，为上使的点。平面交于，交的延长线于，求：（）异面直线与所成角的大小；（）二面角的正切值；【解】 解法一：（）由为异面直线所成的角。连接.因为AE和分别是平行平面与平面的交线，所以,由此可得,再由得在。（）作为二面角即二面角的平面角在，从而解法二：（）由为异面直线所成的角。因为和分别是平行平面与平面的交线，所以，由此可得从而，于是在（）在知为

24、钝角，作为二面角二面角的平面角，在,从而。解法三：（）以为原点，所在直线分别为x轴，y轴和z轴建立如图所示的空间直角坐标系。于是，因为和分别是平行平面与平面的交线，所以，设，则由，于是故,设异面直线AD与所成的角的大小为，则，从而。（）作为二面角二面角的平面角,设则，由得，由此得又由共线得，从而，于是联立（i）和（ii）得，故由，得：。13【06重庆理】 如图，在四棱锥中，底面ABCD，为直角，,E、F分别为、中点。（I）试证：平面；（II）高，且二面角的平面角大小，求的取值范围。【解】 （I）证：由已知且为直角。故ABFD是矩形。从而。又底面ABCD，故由三垂线定理知。在Rt中，E、F分别为

25、PC、CD的中点，故EF/PD,从而，由此得面BEF。（II）连接AC交BF于G，易知G为AC的中点，连接EG，则在中易知EG/PA。又因PA底面ABCD，故EG底面ABCD。在底面ABCD中，过G作GHBD。垂足为H，连接EH，由三垂线定理知EHBD。从而为二面角E-BD-C的平面角。设。以下计算GH，考虑底面的平面图（如答（19）图2）。连结GD，因。故GH。在。， 而。因此，。由知是锐角。故要使，必须，解之得，上式中的取值范围为。14【06福建理】 如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，（I）求证：平面BCD； （II）求异面直线AB与CD所成角的大小；（III）求点E到

26、平面ACD的距离。【解】 本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。方法一：（I）证明：连结OC在中，由已知可得而 即 平面（II） 取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角在中，是直角斜边AC上的中线， 异面直线AB与CD所成角的大小为（III） 设点E到平面ACD的距离为， 在中， 而 点E到平面ACD的距离为方法二：（I）同方法一。（II）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则 异面直线AB与CD所成角的大小为（III）解：设平面ACD

27、的法向量为则 令得是平面ACD的一个法向量。又 点E到平面ACD的距离 15【06湖北理】 如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，P是侧棱CC1上的一点，CP=m，（I）试确定m，使得直线AP与平面BD D1B1所成角的正切值为；（）在线段A1C1上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，并证明你的结论。【解】 本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角的有关知识及空间想像能力和推理运算能力。考查应用向量知识解决数学问题的能力。解法：（I）故。所以。又.故在，即.故当时，直线。（）依题意，要在上找一点，使得.可推测的中点即为所求的点。因为，所以又

28、,故。从而解法二：（I）建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,)，C(0,1,0),D(0,0,0),B1(1,1,1),D1(0,0,1).所以又由的一个法向量.设与所成的角为，则依题意有：，解得.故当时，直线。（）若在上存在这样的点，设此点的横坐标为，则。依题意，对任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP。等价于即为的中点时，满足题设的要求。16【06湖北文】 如图，已知正三棱柱的侧棱长和底面边长为1，是底面边上的中点，是侧棱上的点，且。（）求二面角的平面角的余弦值；（）求点到平面的距离。【解】 本小题主要考查线面关系、二面角和点到平面距

29、离的有关知识及空间想象能力和推理运算能力。考查应用向量知识解决数学问题的能力。解法1：（）因为M是底面BC边上的中点，所以AMBC，又AM,所以AM面，从而AM, AMNM，所以为二面角的平面角。又=，MN=,连，得，在中，由余弦定理得。故所求二面角的平面角的余弦值为。（）过在面内作直线，为垂足。又平面，所以AM。于是H平面AMN，故即为到平面AMN的距离。在中，。故点到平面AMN的距离为1。解法2：（）建立如图所示的空间直角坐标系，则（0，0，1），M（0，0）,C(0,1,0)，N (0,1,) ，A ()，所以，。因为所以，同法可得。故为二面角的平面角。 故所求二面角AMN的平面角的余弦

30、值为。（）设为平面AMN的一个法向量，则由得 故可取。设与n的夹角为，则。所以到平面AMN的距离为。17【06湖南理】 如图4, 已知两个正四棱锥的高分别为1和2, 。（I）证明: ；（II）求异面直线所成的角；（III）求点到平面的距离。【解】 解法一：（）连接AC、BD，设ACBDO因为PABCD与QABCD都是正四棱锥，所以PO平面ABCD，QO平面ABCD从而P、O、Q三点在一条直线上，所以PQ平面ABCD（II）由题设知，ABCD是正方形，所以由（I），平面，故可分别以直线CA、DB、QP为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图），由题设条件，相关各点的坐标分别是，A（,0,0）， 于是

31、从而异面直线AQ与PB所成的角是。（）由（），点D的坐标是，设（x,y,z）是平面QAD的一个法向量，由所以点P到平面的距离。解法二：（）取AD的中点M，连接PM、QM。因为PABCD与QABCD都是正四棱锥，所以ADPM，ADQM。从而AD平面PQM。 又PQ平面PQM，所以PQAD。 同理PQAB，所以PQ平面ABCD。（）连接AC、BD，设ACBDO，由PQ平面ABCD及正四棱锥的性质可知O在PQ上，从而P，A，Q，C四点共面。取OC的中点N，连接PN。因为，所以， （或其补角）是异面直线AQ与PB所成的角。连接BN。 因为 所以。从而异面直线AQ与PB所成的角是。（）由（）知，AD平面

32、PQM，所以平面QAD平面PQM 。过点P作PHQM于H，则PHQAD，所以PH的长为点P到平面QAD的距离。连结OM。因为OM=AB=2=OQ，所以MQP=45。又PQ=PO+QO=3，于是PH=PQsin45=。即点P到平面QAD的距离是。18【06江苏】 图1图2在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE:EBCF:FACP:PB1:2（如图1）。将AEF沿EF折起到的位置，使二面角A1EFB成直二面角，连结A1B、A1P（如图2）（）求证：A1E平面BEP；（）求直线A1E与平面A1BP所成角的大小；（）求二面角BA1PF的大小（用反三角函数表示）。【解】考

33、点分析：本题主要考查线面垂直、直线和平面所成的角、二面角等基础知识，以及空间线面位置关系的证明、角和距离的计算等，考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算能力不妨设正三角形的边长为3，则（I）在图1中，取BE的中点D，连结DF，AEEB=CFFA=12，AF=AD=2，而A=60o，ADF为正三角形。又AE=DE=1，EFAD。在图2中，A1EEF，BEEF，A1EB为二面角A1EFB的一个平面角，由题设条件知此二面角为直二面角，A1EBE。又BEEF=E，A1E面BEF，即A1E面BEP。（II）在图2中，A1E不垂直于A1B，A1E是面A1BP的斜线，又A1E面BEP，A1EBP，BP垂直于A

34、1E在面A1BP内的射影（三垂线定理的逆定理）设A1E在面A1BP内的射影为A1Q，且A1Q交BP于Q，则EA1Q就是A1E与面A1BP所成的角，且BPA1Q。在EBP中，BE=BP=2，EBP=60o，EBP为正三角形，BE=EP。又A1E面BEP，A1B=A1P，Q为BP的中点，且EQ=，而A1E=1，在RtA1EQ中，即直线A1E与面A1BP所成角为60o。（III）在图3中，过F作FMA1P于M，连结QM、QF。CF=CP=1，C=60o，FCP为正三角形，故PF=1，又PQ=BP=1， PF=PQ A1E面BEP，EQ=EF=，A1F=A1Q，A1FPA1QP，故A1PF=A1PQ

35、由及MP为公共边知FMPQMP，故QMP=FMP=90，且MF=MQ，FMQ为二面角BA1PF的一个平面角。在RtA1QP中，A1Q=A1F=2，PQ=1， A1P=，MQA1P， MQ=， MF=。在FCQ中，FC=1，QC=2，C=60o，由余弦定理得QF=，在FMQ中，二面角BA1PF的的大小为。19【06江西理】如图，在三棱锥ABCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD，BDCD1，另一个侧面是正三角形（1）求证：ADBC；（2）求二面角BACD的大小；（3）在直线AC上是否存在一点E，使ED与面BCD。成30角？若存在，确定E的位置；若不存在，说明理由。

36、【解】 解法一：（1） 方法一：作AH面BCD于H，连DH。ABBDHBBD，又AD，BD1ABBCAC BDDC又BDCD，则BHCD是正方形，则DH BCADBC方法二：取BC的中点O，连AO、DO则有AOBC，DOBC， BC面AODBCAD（2）作BMAC于M，作MNAC交AD于N，则BMN就是二面角BACD的平面角，因为ABACBCM是AC的中点，且MNCD，则BM，MNCD，BNAD，由余弦定理可求得cosBMN BMNarccos。（3）设E是所求的点，作EFCH于F，连FD。则EFAH，EF面BCD，EDF就是ED与面BCD所成的角，则EDF30。设EFx，易得AHHC1，则C

37、Fx，FD， tanEDF 解得：x，则CEx1故线段AC上存在E点，且CE1时，ED与面BCD成30角。解法二：此题也可用空间向量求解，解答略。20【06江西文】 如图，已知三棱锥的侧棱两两垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中点。（1）求O点到面ABC的距离； （2）求异面直线BE与AC所成的角；（3）求二面角的大小。【解】方法一：（1）取BC的中点D，连AD、OD。 ，则 BC面OAD。过O点作OHAD于H，则OH面ABC，OH的长就是所要求的距离。，。 面OBC，则。，在直角三角形OAD中，有 （另解：由知：）（2）取OA的中点M，连EM、BM，则EMAC，BEM是异面直线BE

38、与AC所成的角。 求得：， 。（3）连结CH并延长交AB于F，连结OF、EF。OC面OAB， OCAB。 又OH面ABC，CFAB EFAB，则EFC就是所求二面角的平面角。作EGCF于G，则。在直角三角形OEF中，（或表示为）方法二：（1）以O为原点，OB、OC、OA分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系。则有A（0,0,1）、B（2,0,0）、C（0,2,0）、E（0,1,0）设平面ABC的法向量为，则由知：，则由知：，取，则点O到面ABC的距离为。（2）。 所以异面直线BE与AC所成的角。（3）设平面EAB的法向量为，则由知；由知：取。由（1）知平面ABC的法向量为。结合图形可知，二面角的

39、大小为：。21【06辽宁理】 已知正方形。、分别是、的中点,将沿折起，如图所示。记二面角的大小为。（I） 证明平面；（II） 若为正三角形，试判断点在平面内的射影是否在直线上，证明你的结论,并求角的余弦值。【解】 （I） 证明：EF分别为正方形ABCD得边AB、CD的中点,EB/FD，且EB=FD，四边形EBFD为平行四边形。 BF/ED 平面.（II）解法1：如右图，点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上，过点A作AG垂直于平面BCDE,垂足为G，连结GC,GD.ACD为正三角形， AC=AD CG=GDG在CD的垂直平分线上，点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上，过G作GH垂直于ED于H，连结AH，则，所以为二面角ADEC的平面角。即。设原正方体的边长为2a，连结AF在折后图的AEF中，AF=，EF=2AE=2a，即AEF为直角三角形，。