《2020_2021学年高中数学第四章圆与方程4.2.1直线与圆的位置关系课件新人教A版必修2.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020_2021学年高中数学第四章圆与方程4.2.1直线与圆的位置关系课件新人教A版必修2.ppt（60页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、4.2直线、圆的位置关系4.2.1直线与圆的位置关系直线直线Ax+By+C=0Ax+By+C=0与圆与圆(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2的位置关系的判的位置关系的判断断位置关系位置关系相交相交相切相切相离相离公共点个数公共点个数2 2个个1 1个个0 0个个位置关系位置关系相交相交相切相切相离相离方方法法几何法几何法: :设圆心到直线设圆心到直线的距离的距离d= d= d d r r代数法代数法: :由由 消元得到一元二次方程消元得到一元二次方程的判别式的判别式 0 0= =0 0 0 022AaBbCAB222AxByC0 xaybr【思考思考】利用几何
2、法、代数法都可以判断直线与圆的利用几何法、代数法都可以判断直线与圆的位置关系位置关系, ,哪种方法简单哪种方法简单? ?提示提示: :一般几何法较为简单一般几何法较为简单. .【素养小测素养小测】1.1.思维辨析思维辨析( (对的打对的打“”“”, ,错的打错的打“”)”)(1)(1)过不在圆内的一点一定能作圆的两条切线过不在圆内的一点一定能作圆的两条切线. . ( () )(2)(2)过圆内一点作一条直线过圆内一点作一条直线, ,则该直线一定与圆相交则该直线一定与圆相交. . ( () )(3)(3)如果一条直线与圆相交如果一条直线与圆相交, ,所得的弦长是圆的弦中最所得的弦长是圆的弦中最长
3、的长的, ,那么这条直线一定过圆心那么这条直线一定过圆心. .( () )提示提示: :(1)(1). .当点在圆上时当点在圆上时, ,只能作圆的一条切线只能作圆的一条切线. .(2).(2).过圆内的一点作直线过圆内的一点作直线, ,一定与圆有两个交点一定与圆有两个交点, ,因因此一定相交此一定相交. .(3).(3).直径是圆的最长弦直径是圆的最长弦, ,因此直线一定过圆心因此直线一定过圆心. .2.2.直线直线y=2x-6+2 y=2x-6+2 与圆与圆x x2 2+y+y2 2-4x+4y=0-4x+4y=0的位置关系的位置关系为为( () )A.A.相离相离 B.B.相切相切C.C.
4、相交且经过圆心相交且经过圆心D.D.相交但不经过圆心相交但不经过圆心10【解析解析】选选B.B.化圆的方程为化圆的方程为(x-2)(x-2)2 2+(y+2)+(y+2)2 2=8,=8,可得圆可得圆心坐标为心坐标为(2,-2),(2,-2),半径为半径为r=2 .r=2 .因为圆心到直线因为圆心到直线y=y=2x-6+2 2x-6+2 的距离的距离 所以直线所以直线y=2x-6+2 y=2x-6+2 与圆与圆x x2 2+y+y2 2-4x+4y=0-4x+4y=0的位置关系的位置关系为相切为相切. .2102 2262 10d2 2r5 103.3.直线直线x-y=0 x-y=0与圆与圆(
5、x-2)(x-2)2 2+y+y2 2=4=4交于点交于点A,B,A,B,则则|AB|= |AB|= _._.【解析解析】圆心到直线的距离圆心到直线的距离d= = ,d= = ,半径半径r=2,r=2,所所以以|AB|= |AB|= 答案答案: : |20|22222 rd2 2.2 2类型一直线与圆的位置关系的判断类型一直线与圆的位置关系的判断【典例典例】1.1.已知已知a,bR,aa,bR,a2 2+b+b2 20,0,则直线则直线l:ax+by=0:ax+by=0与与圆圆C:xC:x2 2+y+y2 2+ax+by=0+ax+by=0的位置关系是的位置关系是( () )A.A.相交相交B
6、.B.相离相离C.C.相切相切D.D.不能确定不能确定2.(20192.(2019青岛高一检测青岛高一检测) )过点过点(0,4)(0,4)的直线的直线l与与x x2 2+y+y2 2=4=4相交相交, ,则直线则直线l的倾斜角的倾斜角的范围是的范围是_._. 【思维思维引引】1.1.表示出圆的半径、圆心到直线的距离表示出圆的半径、圆心到直线的距离然后作出判断然后作出判断. .2.2.首先验证斜率不存在时是否符合题意首先验证斜率不存在时是否符合题意, ,然后设出直线然后设出直线方程方程, ,利用直线与圆相切的条件求斜率及倾斜角的范围利用直线与圆相切的条件求斜率及倾斜角的范围. .【解析解析】1
7、.1.选选C.C.圆圆C C的圆心的圆心C ,C ,半径半径r= r= = ,= ,因为圆心因为圆心C C到直线到直线l的距离的距离d= d= 所以直线所以直线l与圆与圆C C的位置关系是相切的位置关系是相切. .ab(,)2222ab422ab222ab|a ()b ()|22ab22abr2 ，2.2.当直线当直线l的倾斜角为的倾斜角为9090时时, ,显然满足题意显然满足题意; ;当直线当直线l的倾斜角不等于的倾斜角不等于9090时时, ,存在斜率存在斜率, ,设为设为k,k,则直线则直线l:y= :y= kx+4,kx+4,即即kx-y+4=0,kx-y+4=0,依题意圆心依题意圆心(
8、0,0)(0,0)到直线到直线l的距离小的距离小于半径于半径2,2,所以所以 2, :k 或或k- ,k- ,所以倾所以倾斜角斜角所以倾斜角所以倾斜角60609090或或9090120120，综上所述综上所述: :倾斜角倾斜角的取值范围是的取值范围是6060120120. . 24k133答案：答案：60601200,0,则相交则相交; ;若有两组相同的实数解若有两组相同的实数解, ,即即=0,=0,则相切则相切; ;若无若无实数解实数解, ,即即0,0,则相离则相离. .(2)(2)几何法几何法: :由圆心到直线的距离由圆心到直线的距离d d与半径与半径r r的大小来判的大小来判断断: :当
9、当drdrdr时时, ,直线与圆相离直线与圆相离. .【习练习练破破】(2019(2019安庆高一检测安庆高一检测) )对于对于aR,aR,直线直线l:(a-1)x-y+ :(a-1)x-y+ a+1=0a+1=0和圆和圆C:xC:x2 2+y+y2 2-4x-12=0,-4x-12=0,则直线则直线l与圆与圆C C的位置关系的位置关系为为( () )A.A.相交相交B.B.相切相切C.C.相离相离D.D.以上三种位置均有可能以上三种位置均有可能【解析解析】选选A.A.直线直线l:(a-1)x-y+a+1=0:(a-1)x-y+a+1=0恒过恒过(-1,2),(-1,2),圆圆C:xC:x2
10、2+y+y2 2-4x-12=0-4x-12=0化为化为(x-2)(x-2)2 2+y+y2 2=16,=16,则圆的圆心为则圆的圆心为(2,0),(2,0),半径为半径为4.4.因为因为(-1,2)(-1,2)与与(2,0)(2,0)的距离为的距离为 4,1,=171,所以点所以点A A在圆外在圆外. .(1)(1)若所求切线的斜率存在若所求切线的斜率存在, ,设切线斜率为设切线斜率为k,k,则切线方则切线方程为程为y+3=k(x-4).y+3=k(x-4).因为圆心因为圆心C(3,1)C(3,1)到切线的距离等于半到切线的距离等于半径径, ,半径为半径为1,1,所以所以 =1,=1,即即|
11、k+4|= ,|k+4|= ,所所以以k k2 2+8k+16=k+8k+16=k2 2+1,+1,解得解得k=- .k=- .所以切线方程为所以切线方程为y+3=y+3=- (x-4),- (x-4),即即15x+8y-36=0.15x+8y-36=0.2|3k 134k |k1 2k1158158(2)(2)若直线斜率不存在若直线斜率不存在, ,圆心圆心C(3,1)C(3,1)到直线到直线x=4x=4的距离也的距离也为为1,1,这时直线与圆也相切这时直线与圆也相切, ,所以另一条切线方程是所以另一条切线方程是x=4.x=4.综上综上, ,所求切线方程为所求切线方程为15x+8y-36=01
12、5x+8y-36=0或或x=4.x=4.【加练加练固固】已知直线已知直线x=a(a0)x=a(a0)和圆和圆(x-1)(x-1)2 2+y+y2 2=4=4相切相切, ,那么那么a a的值的值是是( () )A.5A.5B.4B.4C.3C.3D.2D.2【解析解析】选选C.C.结合图形结合图形, ,可知直线可知直线x=ax=a要与圆要与圆(x-1)(x-1)2 2+y+y2 2 =4=4相切相切, ,则则a=3a=3或或-1,-1,因为因为a0,a0,所以所以a=3.a=3.类型三直线与圆的相交问题类型三直线与圆的相交问题角度角度1 1求弦长求弦长【典例典例】求直线求直线l:3x+y-6=0
13、:3x+y-6=0被圆被圆C:xC:x2 2+y+y2 2-2y-4=0-2y-4=0截得的截得的弦长为弦长为_._.【思维思维引引】利用弦长、弦心距、半径的关系求弦长利用弦长、弦心距、半径的关系求弦长. .【解析解析】方法一方法一: :圆圆C:xC:x2 2+y+y2 2-2y-4=0-2y-4=0可化为可化为x x2 2+(y-1)+(y-1)2 2=5,=5,其圆心坐标为其圆心坐标为(0,1),(0,1),半径半径r= .r= .点点(0,1)(0,1)到直线到直线l的距离的距离为为d= d= 弦长弦长= = 所以截所以截得的弦长为得的弦长为 . .答案答案: : 522|3 0 16|
14、10231 ，222 rd10，1010方法二方法二: :设直线设直线l与圆与圆C C交于交于A,BA,B两点两点. .由由 得交点得交点A(1,3),B(2,0),A(1,3),B(2,0),所以弦所以弦ABAB的长为的长为|AB|=|AB|= 答案答案: : 223xy60 xy2y40 ， ，22(2 1)(0 3)10. 10方法三方法三: :设直线设直线l与圆与圆C C交于交于A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2) )两点两点, ,由由 得得x x2 2-3x+2=0,-3x+2=0,则则x x1 1+x+x2 2=3,x=3,x1 1x x2 2
15、=2,=2,所以所以|AB|= |AB|= 答案答案: : 223xy60,xy2y40,221212xxyy222212121222221212xxk xx1kxx1kxx4x x1 33810.10【素养素养探探】在与弦长有关的问题中在与弦长有关的问题中, ,常常用到核心素养中的数学运常常用到核心素养中的数学运算算, ,通过圆的半径、弦心距、弦长的关系或利用方程解通过圆的半径、弦心距、弦长的关系或利用方程解决相关的问题决相关的问题. .本例中本例中, ,若过点若过点P(1,5)P(1,5)的直线与圆的直线与圆C C相交相交, ,弦长为弦长为4,4,求直求直线线l的方程的方程. .【解析解析
16、】圆圆C:xC:x2 2+y+y2 2-2y-4=0-2y-4=0可化为可化为x x2 2+(y-1)+(y-1)2 2=5,=5,其圆心其圆心坐标为坐标为(0,1),(0,1),半径半径r= ,r= ,因为弦长为因为弦长为4,4,所以圆心到直所以圆心到直线的距离为线的距离为 =1,=1,当直线的斜率不存在时当直线的斜率不存在时, ,直线的方直线的方程为程为x=1,x=1,令令x=1,x=1,由由1+y1+y2 2-2y-4=0,-2y-4=0,即即y y2 2-2y-3=0,-2y-3=0,解得解得y=y=-1-1或或3,3,弦长为弦长为4,4,符合题意符合题意; ;当直线的斜率存在时当直线
17、的斜率存在时, ,设直设直554线方程为线方程为y-5=k(x-1),y-5=k(x-1),即即kx-y+5-k=0,kx-y+5-k=0,则则 =1,=1,即即|4-k|= ,|4-k|= ,解得解得k= ,k= ,直线方程为直线方程为 x-y+5-x-y+5- =0, =0,即即15x-8y+25=0,15x-8y+25=0,所以所求的直线方程为所以所求的直线方程为x=1x=1或或15x-8y+25=0.15x-8y+25=0.20 1 5kk1 2k1158158158角度角度2 2综合性问题综合性问题【典例典例】已知圆已知圆M M与直线与直线x=2x=2相切相切, ,圆心在直线圆心在直
18、线x+y=0 x+y=0上上, ,且直线且直线x-y-2=0 x-y-2=0被圆被圆M M截得的弦长为截得的弦长为2 ,2 ,求圆的方程求圆的方程. .2【思维思维引引】利用圆心在直线上设出圆心利用圆心在直线上设出圆心, ,利用圆与利用圆与x=2x=2相切相切, ,弦长为弦长为2 2 构造方程组求解构造方程组求解. .2【解析解析】因为圆心在直线因为圆心在直线x+y=0 x+y=0上上, ,所以设圆心所以设圆心M(a,-a),M(a,-a),因为圆因为圆M M与直线与直线x=2x=2相切相切, ,且直线且直线x-y-2=0 x-y-2=0被圆被圆M M截得的弦截得的弦长为长为2 ,2 ,所以所
19、以 解得解得 所以圆的所以圆的方程为方程为x x2 2+y+y2 2=4.=4.22ra2 ,2 a1r2,2a0,r2,【类题类题通通】1.1.求圆的弦长的两个方法求圆的弦长的两个方法圆的性质圆的性质利用圆的半径利用圆的半径r,r,圆心到直线的距离圆心到直线的距离d,d,弦弦长长l之间的关系之间的关系r r2 2=d=d2 2+ + 解题解题交点坐标交点坐标若直线与圆的交点坐标易求出若直线与圆的交点坐标易求出, ,求出交求出交点坐标后点坐标后, ,直接用两点间距离公式计算直接用两点间距离公式计算弦长弦长2( )2l2.2.与弦长相关的问题与弦长相关的问题利用弦长、弦心距、半径的关系构造方程或
20、方程组利用弦长、弦心距、半径的关系构造方程或方程组, ,解解出其中的未知量出其中的未知量. .【习练习练破破】1.1.直线直线x+2y-5+ =0 x+2y-5+ =0被圆被圆x x2 2+y+y2 2-2x-4y=0-2x-4y=0截得的弦长截得的弦长为为( () )A.1A.1B.2B.2C.4C.4D.4 D.4 56【解析解析】选选C.C.圆的方程可化为圆的方程可化为C:(x-1)C:(x-1)2 2+(y-2)+(y-2)2 2=5,=5,其其圆心为圆心为C(1,2),C(1,2),半径半径r= .r= .取弦取弦ABAB的中点的中点P,P,连接连接CP,CP,则则CPAB,CPAB
21、,圆心圆心C C到直线到直线ABAB的距离的距离d=|CP|= =1,d=|CP|= =1,在在RtRtACPACP中中,|AP|= =2,|AP|= =2,故直线被圆截得的弦长故直线被圆截得的弦长|AB|=4.|AB|=4.522|1455 |12 22rd2.(20192.(2019重庆高一检测重庆高一检测) )已知圆已知圆C C过点过点(1,1),(1,1),圆心在圆心在x x轴正半轴上轴正半轴上, ,且与直线且与直线y=x-4y=x-4相切相切. .(1)(1)求圆求圆C C的标准方程的标准方程. .(2)(2)已知过点已知过点P(1,3)P(1,3)的直线的直线l交圆交圆C C于于A
22、,BA,B两点两点, ,且且|AB|=2,|AB|=2,求直线求直线l的方程的方程. .【解析解析】(1)(1)由题意设圆心坐标为由题意设圆心坐标为C(a,0)(a0),C(a,0)(a0),由题意由题意, , 解得解得a=-6(a=-6(舍舍) )或或a=2,a=2,所以圆所以圆的半径为的半径为r= r= 则圆则圆C C的标准方程为的标准方程为(x-2)(x-2)2 2+ +y y2 2=2.=2.22a4a10 12，242,2(2)(2)若斜率不存在若斜率不存在, ,则直线方程为则直线方程为x=1,x=1,弦心距弦心距d=1,d=1,半径半径为为 , ,则则|AB|=2 =2,|AB|=
23、2 =2,符合题意符合题意. .若斜率存在若斜率存在, ,设设直线方程为直线方程为y-3=k(x-1),y-3=k(x-1),即即kx-y-k+3=0.kx-y-k+3=0.弦心距弦心距d= d= 得得|AB|= =2,|AB|= =2,解得解得k=- ,k=- ,直线方程为直线方程为y=- xy=- x+ .+ .综上所述综上所述, ,直线直线l的方程为的方程为x=1x=1或或y=- x+ .y=- x+ .222rd2k31k，22k32 21k434313343133【加练加练固固】已知圆已知圆C C和和y y轴相切轴相切, ,圆心圆心C C在直线在直线x-3y=0 x-3y=0上上, ,且被直线且被直线y=xy=x截得的弦长为截得的弦长为2 ,2 ,求圆求圆C C的方程的方程. .7【解析解析】设圆心坐标为设圆心坐标为(3m,m).(3m,m).因为圆因为圆C C和和y y轴相切轴相切, ,得得圆的半径为圆的半径为3|m|,3|m|,所以圆心到直线所以圆心到直线y=xy=x的距离为的距离为 所以所以9m9m2 2=7+2m=7+2m2 2, ,所以所以m=m=1,1,所以所求圆所以所求圆C C的方程的方程为为(x-3)(x-3)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=9=9或或(x+3)(x+3)2 2+(y+1)+(y+1)2 2=9.=9.2m22 m .