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1、第8章 空间解析几何与向量代数4（平面与空间直线）平面与空间直线平面与空间直线 一、平面的点法式方程一、平面的点法式方程 如果一非零向量垂直于一平面，则称该向量为如果一非零向量垂直于一平面，则称该向量为平平面的法向量面的法向量。 定理定理 设设M0(x0，y0，z0)是平面是平面上的一点，平面上的一点，平面的法向量的法向量n=A，B，C ，则平面，则平面的方程为：的方程为：A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0该方程称为平面的点法式方程。该方程称为平面的点法式方程。 例例 已知点已知点 M0(3，-2，1) 是平面是平面上的一点，平上的一点，平面面的法向量的法向量 n=1，3，-1
2、 ，求平面，求平面 的方程的方程.解：由平面的点法式方程有：解：由平面的点法式方程有： 得得 平面平面的方程为：的方程为：0) 1() 1()2(3) 3(1zyx043zyx练习（练习（P236）1.求下列平面的方程求下列平面的方程 已知平面过点已知平面过点 ，且法向量，且法向量 )2, 1, 2(3 ,2, 1 n 定理定理 设设 是平面是平面 外一外一点，则点，则 点点 到此平面的距离为：到此平面的距离为： 例例 求点求点 到平面到平面 的距离的距离解：平面方程化为一般式：解：平面方程化为一般式： 则点则点 到平面的距离为：到平面的距离为：练习（练习（P236）2.求点求点 到平面到平面
3、 的距离的距离),(0000zyxP0DCzByAx0P222000CBACzByAxd)5,0,1(P32zyx032zyxP2221) 1(235012d64632)1 ,2,1(01022zyx 定理定理 设平面设平面 和和 的方程分别为：的方程分别为： 则平面则平面 与与 的夹角的夹角 的余弦为：的余弦为： 例例 求两平面求两平面 ， 的夹角。的夹角。解：解： 两平面的夹角：两平面的夹角： 练习（练习（P236）3.求两平面求两平面 ， 的夹角的夹角, 01111DzCyBxA1222222212121212121cosCBACBACCBBAA052zyx0102zyx02222DzC
4、yBxA212032zyx2222221) 1(221112) 1(121cos213022zyx 二、空间直线方程二、空间直线方程 空间直线空间直线 可以看作是两个平面的交线，设平面可以看作是两个平面的交线，设平面 和和 的方程分别为：的方程分别为：则它们的相交直线为：则它们的相交直线为：此方程组称为此方程组称为空间直线的一般方程空间直线的一般方程。 与直线平行的向量称为直线的与直线平行的向量称为直线的方向向量方向向量。 设设 为直线为直线 上一点，向量上一点，向量 为直线的方向向量，则直线方程可表示为：为直线的方向向量，则直线方程可表示为：此方程组称为此方程组称为直线的参数方程直线的参数方
5、程。lptzzntyymtxx00012, 01111DzCyBxA02222DzCyBxA02222DzCyBxA01111DzCyBxA),(0000zyxPl,pnmF 消去直线参数方程中的参数消去直线参数方程中的参数 得：得：此等式称为此等式称为直线的点向式方程直线的点向式方程。 定理定理 设直线设直线 的方向向量的方向向量 ，其方程的，其方程的一般方程式为：一般方程式为：则：则：pzznyymxx000,pnmF l01111DzCyBxA02222DzCyBxA12212211CBCBCBCBm)(12212211CACACACAn12212211BABABABAm例例 用点向式方
6、程和参数方程表示直线用点向式方程和参数方程表示直线解：在直线解：在直线 找一点找一点 ，令，令 ，方程，方程组化为：组化为： 则则 为直线上一点；为直线上一点；则则 为直线的方向向量；为直线的方向向量；即直线的点向式为：即直线的点向式为： 直线的参数方程为：直线的参数方程为：0423022zyxzyxll),(0000zyxP10 x1212zyzy11zy) 1 , 1 , 1(0P2112m, 32311n, 11321p55, 1, 3F511131zyxtztytx51131练习（练习（P236）6.用点向式方程和参数方程表示直线：用点向式方程和参数方程表示直线：723zyxzy 定理
7、定理 设直线设直线 和和 的方程分别为的方程分别为则则 与与 的夹角的夹角 的余弦为：的余弦为： 例例 求两直线求两直线 和和 的夹角的夹角解：解： 所以，两直线的夹角：所以，两直线的夹角： 1l2l,111111pzznyymxx222222pzznyymxx1l2l222222212121212121cospnmpnmppnnmm13412:1zyxl12222:2zyxl22222212)2() 1(4) 1(1) 1(24)2() 1(cos422练习（练习（P236）7.已知直线已知直线 和和 的点向式方程为的点向式方程为求求 与与 的夹角的夹角1l1l2l2l，14-315:1zyxl172322:2zyxl