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1、第8章 空间解析几何与向量代数5（二次曲面和空间曲线）二次曲面和空间曲线二次曲面和空间曲线 一、曲面一、曲面 1.曲面方程的概念曲面方程的概念 定义定义 如果曲面如果曲面S是任一点的坐标都满足方程是任一点的坐标都满足方程F(x,y,z)=0，而不在曲面，而不在曲面S上的点的坐标都不满足方上的点的坐标都不满足方程程F(x,y,z)=0，则方程，则方程F(x,y,z)=0称为称为曲面曲面S的方程的方程，曲面曲面S称为方程称为方程F(x,y,z)=0的的图形图形。 如果曲面方程如果曲面方程F(x,y,z)=0是一次的，则它对应的是一次的，则它对应的曲面是一个平面；如果方程是二次的，则它对应的曲面是一
2、个平面；如果方程是二次的，则它对应的曲面称为曲面称为二次曲面二次曲面。 2.旋转曲面旋转曲面 定义定义 如果一条平面曲线如果一条平面曲线c绕着同一平面内的一条绕着同一平面内的一条直线直线 旋转一周所形成的曲面称为旋转一周所形成的曲面称为旋转曲面旋转曲面，曲线，曲线c 称为旋转曲面的称为旋转曲面的母线母线，直线，直线 称为旋转曲面的称为旋转曲面的轴轴。 以坐标轴为旋转轴的旋转曲面方程形式：以坐标轴为旋转轴的旋转曲面方程形式： 以以z轴为轴的旋转曲面方程为：轴为轴的旋转曲面方程为： 以以x轴为轴的旋转曲面方程为：轴为轴的旋转曲面方程为： 以以y轴为轴的旋转曲面方程为：轴为轴的旋转曲面方程为：例例
3、求求 平面上的直线平面上的直线 ，分别绕，分别绕z轴和轴和y 轴旋轴旋转而成的曲面方程转而成的曲面方程解：在直线方程中的解：在直线方程中的 换成换成 ，便得到以，便得到以 轴轴为旋转轴的曲面方程：为旋转轴的曲面方程： 在直线方程中的在直线方程中的 换成换成 ，便得到以，便得到以 轴轴为旋转轴的曲面方程：为旋转轴的曲面方程：0),(22zyxfll0),(22xzyf0),(22yzxfkyzyOzyy22yx z22yxkzz22zx kyzx22练习（练习（P242）3.建立旋转曲面的方程建立旋转曲面的方程 面上的直线面上的直线 分别绕分别绕x轴及轴及z轴旋转而轴旋转而成的旋转曲面。成的旋转
4、曲面。xOzzx31 3.柱面柱面 设一动直线设一动直线 沿一定曲线沿一定曲线 移动，移动时始终保移动，移动时始终保持与定直线持与定直线 平行，则由平行，则由 形成的曲面称为形成的曲面称为柱面柱面，动，动直线直线 称为称为柱面的母线柱面的母线，定曲线，定曲线 称为称为柱面的准线柱面的准线。 柱面的母线平行于坐标轴的柱面方程形式：柱面的母线平行于坐标轴的柱面方程形式： 母线平行于母线平行于z轴的柱面方程：轴的柱面方程： 母线平行于母线平行于x轴的柱面方程：轴的柱面方程： 母线平行于母线平行于y轴的柱面方程：轴的柱面方程： 几种常用的母线平行于几种常用的母线平行于z轴的柱面方程：轴的柱面方程： 圆
5、柱面方程：圆柱面方程： 椭圆柱面方程：椭圆柱面方程： 抛物柱面方程：抛物柱面方程： 双曲柱面方程：双曲柱面方程：llc0),(yxfcll0),(zyf0),(zxf222ayx12222byax)0( ,22ppxy12222byax 4.其他几种常见的二次曲面其他几种常见的二次曲面 椭球面方程：椭球面方程： 椭圆抛物面方程：椭圆抛物面方程： 旋转抛物面方程：旋转抛物面方程： 双曲抛物面方程：双曲抛物面方程： 单叶抛物面方程：单叶抛物面方程： 双叶抛物面方程：双叶抛物面方程：pzyx2221222222czbyax)0( ,2222pqzqypx)0( ,2222pqzqypx1222222
6、czbyax1222222czbyax 二、空间曲线二、空间曲线 空间曲线空间曲线 可以看作是两个曲面的交线，设两个可以看作是两个曲面的交线，设两个相交曲面相交曲面 和和 的方程分别为：的方程分别为：则它们的相交曲线为：则它们的相交曲线为：此方程组称为此方程组称为空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程。例例 求球面求球面 与旋转抛物面与旋转抛物面 的交线的交线在在 平面的投影。平面的投影。解：消去两曲面方程中的解：消去两曲面方程中的z变量：先两方程相减变量：先两方程相减 得得 则曲线在则曲线在 平面的投影方程为：平面的投影方程为：l0),(0),(zyxGzyxF1S2S, 0),(zyxF0),(zyxG0322 zz3222zyx0222zyxxOyzyx222舍去）(3, 1zz222yxxOy练习（练习（P242）8.求曲线求曲线 在在 平面上的投影方程平面上的投影方程30222zxzyxOy