2019全国卷1（文）.pdf

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1、绝密绝密启用前启用前 20192019 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学文科数学 注意事项：注意事项： 1 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。置上。 2 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。将答案

2、写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分。在每小题给出的四个选分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设3i12iz=+，则z= A. 2 B. 3 C. 2 D. 1 1.C 因为312izi=+，所以(3)(1 2 )17(12 )(1 2 )55iiziii=+，所以2217( )()255z =+ =，故选 C 2.已知集合1,2,3,4,5,6,7

3、2,3,4,52,3,6,7UAB=，则CUBA A. 1,6 B. 1,7 C. 6,7 D. 1,6,7 2.C 由已知得1,6,7UC A =，所以UBC A=6,7，故选 C 3.已知0.20.32log 0.2,2,0.2abc=，则 A. abc B. acb 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021C. cab D. bca 3.B 22log 0.2log 10,a =0.20221,b=0.3000.20.21,=则01,cacb故选 B 4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是512（5120.61

4、8，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为 105cm，头顶至脖子下端的长度为 26 cm，则其身高可能是 A. 165 cm B. 175 cm C. 185 cm D. 190cm 4.B 设 人 体 脖 子 下 端 至 肚 脐 的 长 为 x cm ， 肚 脐 至 腿 根 的 长 为 y cm ， 则2626511052xxy+=+，得42.07,5.15xcm ycm又其腿长为 105cm，头顶至脖子下端的长度为 26cm，所以其身高约为 4207+515+105+26=1

5、7822，接近 175cm故选 B 5.函数 f(x)=2sincosxxxx+在，的图像大致为 A. B. 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021C. D. 5.D 由22sin()()sin()( )cos()()cosxxxxfxf xxxxx+ = + +，得( )f x是奇函数，其图象关于原点对称又221422()1,2()2f+=2( )01f= +故选 D 6.某学校为了解 1 000 名新生的身体素质，将这些学生编号为 1，2，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取 100 名学生进行体质测验，若 46 号学生被抽到，则下面

6、4名学生中被抽到的是 A. 8号学生 B. 200号学生 C. 616 号学生 D. 815 号学生 6.C 由已知将 1000名学生分成 100 个组，每组 10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到， 所以第一组抽到 6号，且每组抽到的学生号构成等差数列na，公差10d =， 所以6 10nan=+()nN， 若86 10n= +，则15n =，不合题意；若2006 10n= +，则19.4n =，不合题意； 若6166 10n=+，则61n =，符合题意；若8156 10n=+，则80.9n =，不合题意故选C 7.tan255= A. 23 B. 2+3 C. 23 D. 2+3 7.D

7、000000tan255tan(18075 )tan75tan(4530 )=+=+=000031tan45tan30323.1tan45 tan30313+=+ 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 20218.已知非零向量 a，b 满足a=2b，且（ab）b，则 a与 b 的夹角为 A. 6 B. 3 C. 23 D. 56 8.B 因 为()abb， 所 以2()ab ba bb = =0 ， 所 以2a bb=， 所 以cos=22|12|2a bba bb=，所以a与b的夹角为3，故选 B 9.如图是求112122+的程序框图，图中空白框中应填入

8、A. A=12A+ B. A=12A+ C. A=112A+ D. A=112A+ 9.A 执行第 1 次，1,122Ak= 是，因为第一次应该计算1122+=12A+，1kk=+=2，循环，执行第 2 次，22k =，是，因为第二次应该计算112122+=12A+，1kk=+=3，循环，执行第 3 次，22k =，否，输出，故循环体为12AA=+，故选 A 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 202110.双曲线 C:22221(0,0)xyabab=的 一条渐近线的倾斜角为 130 ，则 C的离心率为 A. 2sin40 B. 2cos40 C. 1s

9、in50 D. 1cos50 10.D 由已知可得tan130 ,tan50bbaa= =， 2222222sin 50sin 50cos 50111tan 501cos 50cos 50cos50cbeaa+ =+=+ =+=，故选 D 11.ABC 的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知 asinAbsinB=4csinC，cosA=14，则bc= A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 11.A 由已知及正弦定理可得2224abc=，由余弦定理推论可得 22222141313cos,464224242bcacccbAbcbcbc+= =，故选 A 12.已知椭圆 C的焦点为12

10、1,01,0FF()， ()，过 F2的直线与 C交于 A，B 两点.若222AFF B= ，1ABBF=，则 C 的方程为 A. 2212xy+= B. 22132xy+= C. 22143xy+= D. 22154xy+= 12.B 法一：如图，由已知可设2F Bn=，则212 ,3AFnBFABn=，由椭圆的定义有121224 ,22aBFBFnAFaAFn=+=在1AFB中，由余弦定理推论得22214991cos2 233nnnF ABnn+=在12AFF中，由余弦定理得更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021221442 2243nnnn+

11、=，解得32n = 222242 3 ,3 ,3 12,anabac= =所求椭圆方程为22132xy+=，故选 B 法二：由已知可设2F Bn=，则212 ,3AFnBFABn=，由椭圆的定义有121224 ,22aBFBFnAFaAFn=+=在12AFF和12BFF中， 由余弦定理得22212221442 22 cos4,422 cos9nnAF FnnnBF Fn+ =+ =，又2121,AF FBF F互补，2121coscos0AF FBF F+=，两式消去2121coscosAF FBF F,，得223611nn+=，解得32n =222242 3 ,3 ,3 12,anabac=

12、 =所求椭圆方程为22132xy+=，故选 B 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分。分。 13.曲线23()exyxx=+在点(0,0)处的切线方程为_ 13.30 xy= /223(21)3()3(31),xxxyxexx exxe=+=+ 所以，/0|3xky= 所以，曲线23()exyxx=+在点(0,0)处的切线方程为3yx=，即30 xy= 14.记 Sn为等比数列an的前 n项和.若13314aS=，则 S4=_ 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 202114.58 设等

13、比数列的公比为q，由已知 223111314Saa qa qqq=+= +=，即2104qq+= 解得12q = ， 所以441411 ()(1)521181 ()2aqSq = 15.函数3( )sin(2)3cos2f xxx=+的最小值为_ 15.423( )sin(2)3coscos23cos2cos3cos12f xxxxxxx=+= = +23172(cos)48x= +， 1cos1x ，当cos1x =时，min( )4fx =， 故函数( )f x的最小值为4 16.已知ACB=90，P为平面 ABC 外一点，PC=2，点 P 到ACB 两边 AC，BC 的距离均为3，那么

14、P到平面 ABC 的距离为_ 16.2 作,PD PE分别垂直于,AC BC，PO平面ABC，连CO， 知,CDPD CDPO，=PDOD P， CD平面PDO，OD平面PDO， CDOD 3PDPE=，2PC =3sinsin2PCEPCD=， 60PCBPCA=， POCO，CO为ACB平分线， 451,2OCDODCDOC=，又2PC =， 422PO= 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021 三、解答题：共三、解答题：共 7070 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17211721题

15、为必考题，每个试题考生都必须作答。第题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 2222、2323 题为选考题，考生根据要求题为选考题，考生根据要求作答。作答。 （一）必考题：（一）必考题：6060 分。分。 17.某商场为提高服务质量，随机调查了 50名男顾客和 50 名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表： 满意 不满意 男顾客 40 10 女顾客 30 20 （1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率； （2）能否有 95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？ 附：22()()()()()n adbcKab cd ac bd=+ P（K2k） 0

16、.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021 17.（1）由题中表格可知，50 名男顾客对商场服务满意的有 40 人， 所以男顾客对商场服务满意率估计为1404505P =, 50 名女顾客对商场满意的有 30 人， 所以女顾客对商场服务满意率估计为2303505P =, （2）由列联表可知22100(40 2030 10)1004.7623.84170 30 50 5021K=， 所以能有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异. 18.记 Sn为等差数列an的前 n项

17、和，已知 S9=a5 （1）若 a3=4，求an的通项公式； （2）若 a10，求使得 Snan的 n 的取值范围 18.（1）设等差数列 na的首项为1a，公差为d， 根据题意有1119 89(4 )224adadad+= +=， 解答182ad= ，所以8(1) ( 2)210nann= + =+， 所以等差数列 na的通项公式为210nan=+； （2）由条件95Sa= ，得559aa=，即50a =， 因为10a ，所以0d ，并且有5140aad=+=，所以有14ad= ， 由nnSa得11(1)(1)2n nnadand+，整理得2(9 )(210)nn dnd， 因为0d ，所以

18、有29210nnn，即211100nn+， 解得110n， 所以n的取值范围是：110()nnN 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 202119.如图，直四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，BAD=60，E，M，N分别是 BC，BB1，A1D的中点. （1）证明：MN平面 C1DE； （2）求点 C到平面 C1DE的距离 19.（1）连接ME，1B C M，E分别为1BB，BC中点 ME为1B BC的中位线 1/MEBC且112MEBC= 又N为1AD中点，且11/ /AD BC 1/NDBC且112NDBC= / /ME

19、ND 四边形MNDE为平行四边形 /MNDE，又MN 平面1C DE，DE平面1C DE / /MN平面1C DE （2）在菱形ABCD中，E为BC中点，所以DEBC， 根据题意有3DE =，117C E =， 因为棱柱为直棱柱，所以有DE 平面11BCC B， 所以1DEEC，所以113172DECS=， 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021设点 C 到平面1C DE的距离为d， 根据题意有11CCDEC C DEVV=，则有11113171343232d= ， 解得44 171717d =， 所以点 C 到平面1C DE的距离为4 1717.

20、20.已知函数 f（x）=2sinxxcosxx，f（x）为 f（x）的导数 （1）证明：f（x）在区间（0，）存在唯一零点； （2）若 x0，时，f（x）ax，求 a 的取值范围 20.（1）( )2coscossin1cossin1fxxxxxxxx=+ =+ 令( )cossin1g xxxx=+，则( )sinsincoscosgxxxxxxx= += 当()0,x时，令( )0gx=，解得：2x= 当0,2xp骣西桫时，( )0gx；当,2x时，( )0gx ( )g x在0,2上单调递增；在,2上单调递减 又( )01 10g= =，1022g= ，( )1 12g= = 即当0,

21、2xp骣西桫时，( )0g x ，此时( )g x无零点，即( )fx无零点 ( )02gg 0,2x，使得()00g x= 又( )g x在,2上单调递减 0 xx =为( )g x，即( )fx在,2上唯一零点 综上所述：( )fx在区间()0,存在唯一零点 （2）若0,x时，( )f xax，即( )0f xax恒成立 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021令( )( )()2sincos1h xf xaxxxxax=+ 则( )cossin1h xxxxa=+ ，( )( )coshxxxgx= 由（1）可知，( )hx在0,2上单调递增；在

22、,2上单调递减 且( )0ha= ，222ha=，( )2ha= ( )( )min2h xha= ，( )max222h xha= 当2a 时，( )( )min20h xha= ，即( )0h x在0,上恒成立 ( )h x在0,上单调递增 ( )( )00h xh?，即( )0f xax，此时( )f xax恒成立 当20a 时，( )00h，02h，( )0h 1,2x，使得( )10h x= ( )h x在)10,x上单调递增，在(1,x上单调递减 又( )00h=，( )()2sincos10haa=+= ( )0h x在0,上恒成立，即( )f xax恒成立 当202a时，( )

23、00h，2022ha= 20,2x，使得()20h x= ( )h x在)20,x上单调递减，在2,2x上单调递增 ()20,xx 时，( )( )00h xh=，可知( )f xax不恒成立 当22a时，( )max2022h xha= 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021( )h x在0,2上单调递减 ( )( )00h xh= 可知( )f xax不恒成立 综上所述：(,0a 21.已知点 A，B 关于坐标原点 O对称，AB =4，M过点 A，B且与直线 x+2=0相切 （1）若 A 在直线 x+y=0 上，求M 的半径 （2）是否存在定点

24、P，使得当 A运动时，MAMP为定值？并说明理由 21.（1）A在直线22gRr上 设(),A tt，则(),Bt t 又4AB = 2816t=，解得：2t = M过点A，B 圆心M必在直线yx=上 设(),M a a，圆的半径为r M与20 x+=相切 2ra =+ 又MAMBr=，即()()22222aar+= ()()()222222aaa+=+，解得：0a =或4a = 当0a =时，2r =；当4a =时，6r = M的半径为：2或6 （2）存在定点()1,0P，使得1MAMP= 说明如下： A，B关于原点对称且4AB = 直线AB必为过原点O的直线，且2OA = 当直线AB斜率存

25、在时，设AB方程为：ykx= 则M的圆心M必在直线1= yxk上 设(),Mkm m，M的半径为r 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021M与20 x+=相切 2rkm = + 又222224rMAOAOMk mm=+=+ 22224kmk mm +=+，整理可得：24mkm= 即M点轨迹方程为：24yx=，准线方程为：1x =，焦点()1,0F MAr=，即抛物线上点到2x = 的距离 1MAMF=+ 1MAMF= 当P与F重合，即P点坐标为()1,0时，1MAMP= 当直线AB斜率不存在时，则直线AB方程为：0 x = M在x轴上，设(),0M

26、n 224nn+=+，解得：0n=，即()0,0M 若()1,0P，则2 11MAMP= = 综上所述，存在定点()1,0P，使得MAMP为定值. （二）选考题：共（二）选考题：共 1010 分。请考生在第分。请考生在第 2222、2323 题中任选一题作答，如果多做，题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。则按所做的第一题计分。 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为2221141txttyt=+=+，（t为参数） ，以坐标原点 O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l的极坐标方程为2cos3 sin110+= （1）求 C

27、和 l 的直角坐标方程； （2）求 C 上的点到 l距离的最小值 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 202122.（1）由2211txt=+得：210,( 1,11xtxx= +，又()2222161tyt=+ ()()22211614 1144111xxyxxxxx+=+=+ 整理可得C的直角坐标方程为：221,( 1,14yxx+= 又cosx=，siny= l的直角坐标方程为：23110 xy+= （2）设C上点的坐标为：()cos ,2sin 则C上的点到直线l的距离4sin112cos2 3sin11677d+= 当sin16+= 时，d取最小

28、值 则min7d= 23.选修 4-5：不等式选讲 已知 a，b，c为正数，且满足 abc=1证明： （1）222111abcabc+； （2）333()()()24abbcca+ 23.（1）1abc = 111111abcbcacababcabc+=+=+ () () () ()2222222222222abcabbccaabbcac+=+ 当且仅当abc=时取等号 ()22211122abcabc+，即：222111abcabc+ （2）()()()()()()3333abbccaabbcca+，当且仅当abc=时取等更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021号 又2abab+，2bcbc+，2acac+ （当且仅当abc=时等号同时成立） ()()()()33323 22224abbccaabbcacabc+ = 又1abc= ()()()33324abbcca+ 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021