203条高中数学常用公式及结论汇总(1)

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1、高中数学常用公式及常用结论高中数学常用公式及常用结论 1.1. 元素与集合的关系元素与集合的关系UxAxC A, ,UxC AxA. . 2 2. .德摩根公式德摩根公式();()UUUUUUCABC AC B CABC AC B. . 3 3. .包含关系包含关系ABAABBUUABC BC AUAC B UC ABR4 4. .容斥原理容斥原理()()card ABcardA cardBcard AB()()card ABCcardA cardBcardCcard AB()()()()card ABcard BCcard CAcard ABC. . 5 5集合集合12 ,na aa的子集个

2、数共有的子集个数共有2n个；真子集有个；真子集有2n1 1 个；非空子集有个；非空子集有2n1 1 个；个；非空的非空的真子集有真子集有2n2 2 个个. . 6 6. .二次函数的解析式的三种形式二次函数的解析式的三种形式(1)(1)一般式一般式2( )(0)f xaxbxc a; ; (2)(2)顶点式顶点式2( )()(0)f xa xhk a; ; (3)(3)零点式零点式12( )()()(0)f xa xxxxa. . 7.7.解连不等式解连不等式( )Nf xM常有以下转化形式常有以下转化形式( )Nf xM ( ) ( )0f xMf xN |( )|22MNMNf x( )0

3、( )f xNMf x11( )f xNMN. . 高中学习技巧、精品资料都在公众号：高中学长加油站高中学习技巧、精品资料都在公众号：高中学长加油站公众号：高中学长加油站8.8.方程方程0)(xf在在),(21kk上有且只有一个实根上有且只有一个实根, ,与与0)()(21kfkf不等价不等价, ,前者是后者的前者是后者的一个必要而不是充分条件一个必要而不是充分条件. .特别地特别地, , 方程方程)0(02acbxax有且只有一个实根在有且只有一个实根在),(21kk内内, ,等价于等价于0)()(21kfkf, ,或或0)(1kf且且22211kkabk, ,或或0)(2kf且且22122

4、kabkk. . 9.9.闭区间上的二次函数的最值闭区间上的二次函数的最值二次函数二次函数)0()(2acbxaxxf在闭区间在闭区间qp,上的最值只能在上的最值只能在abx2处及区间的处及区间的两端点处取得，具体如下：两端点处取得，具体如下： (1)(1)当当 a0a0 时，若时，若qpabx,2，则，则minmaxmax( )(), ( )( ), ( )2bf xff xf pf qa； qpabx,2，maxmax( )( ), ( )f xf pf q，minmin( )( ), ( )f xf pf q. . (2)(2)当当 aa0a0) ) （1）)()(axfxf，则)(x

5、f的周期 T=a；（2）0)()(axfxf，或)0)()(1)(xfxfaxf，或1()( )f xaf x ( ( )0)f x , 或21( )( )(),( ( )0,1 )2f xfxf xaf x,则)(xf的周期 T=2a； (3)0)()(11)(xfaxfxf，则)(xf的周期 T=3a； (4)()(1)()()(212121xfxfxfxfxxf且1212( )1( ()()1,0 | 2 )f af xf xxxa，则)(xf的周期 T=4a； (5)( )()(2 ) (3 )(4 )f xf x af xa f xaf xa ( ) () (2 ) (3 )

6、(4 )f x f x a f xa f xa f xa,则)(xf的周期 T=5a； (6)()()(axfxfaxf，则)(xf的周期 T=6a. 3030. .分数指数幂分数指数幂 (1)1mnnmaa（0,am nN，且1n ）. (2)1mnmnaa（0,am nN，且1n ）. 3131根式的性质根式的性质（1）()nnaa. 高中学习技巧、精品资料都在公众号：高中学长加油站高中学习技巧、精品资料都在公众号：高中学长加油站公众号：高中学长加油站（2）当n为奇数时，nnaa；当n为偶数时，,0|,0nna aaaa a. 3232有理指数幂的运算性质有理指数幂的运算性质 (1)

7、(0, ,)rsr saaaar sQ. (2) ()(0, ,)rsrsaaar sQ. (3)()(0,0,)rrraba b abrQ. 注：若 a0，p 是一个无理数，则 ap表示一个确定的实数上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用. 33.33.指数式与对数式的互化式指数式与对数式的互化式 logbaNbaN(0,1,0)aaN. . 3434. .对数的换底公式对数的换底公式 logloglogmamNNa (0a ,且1a ,0m ,且1m , 0N ). 推论 loglogmnaanbbm(0a ,且1a ,0m n ,且1m ,1n , 0N ). 3535对数的

8、四则运算法则对数的四则运算法则若 a0，a1，M0，N0，则 (1)log ()loglogaaaMNMN; (2) logloglogaaaMMNN; (3)loglog()naaMnM nR. 36.36.设函数)0)(log)(2acbxaxxfm,记acb42.若)(xf的定义域为R,则0a，且0;若)(xf的值域为R,则0a，且0.对于0a的情形,需要单独检验. 37.37. 对数换底不等式及其推广若0a ,0b ,0 x ,1xa,则函数log ()axybx 高中学习技巧、精品资料都在公众号：高中学长加油站高中学习技巧、精品资料都在公众号：高中学长加油站公众号：高中学长加油站

9、(1)当ab时,在1(0, )a和1( ,)a上log ()axybx为增函数. (2)当ab时,在1(0, )a和1( ,)a上log ()axybx为减函数. 推论:设1nm，0p ，0a ，且1a ，则（1）log()logm pmnpn. （2）2logloglog2aaamnmn. 38. 38. 平均增长率的问题平均增长率的问题如果原来产值的基础数为 N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值y，有(1)xyNp. 3939. .数列的同项公式与前数列的同项公式与前 n n 项的和的关系项的和的关系 11,1,2nnnsnassn( 数列na的前 n 项的和为12nnsaa

10、a). 4040. .等差数列的等差数列的通项公式通项公式 *11(1)()naanddnad nN；其前 n 项和公式为 1()2nnn aas1(1)2n nnad 211()22dnad n. 4141. .等比数列的等比数列的通项公式通项公式 1*11()nnnaaa qqnNq；其前其前 n n 项的和公式为项的和公式为 11(1),11,1nnaqqsqna q 或或11,11,1nnaa qqqsna q. . 4242. .等比差数列等比差数列 na: :11,(0)nnaqad ab q的通项公式为的通项公式为高中学习技巧、精品资料都在公众号：高中学长加油站高中学习技巧

11、、精品资料都在公众号：高中学长加油站公众号：高中学长加油站1(1) ,1(),11nnnbnd qabqdb qdqq；其前其前 n n 项和公式为项和公式为 (1) ,(1)1(),(1)111nnnbn nd qsdqdbn qqqq. . 4343. .分期付款(按揭贷款) 每次还款(1)(1)1nnabbxb元(贷款a元,n次还清,每期利率为b). 4444常见三角不等式常见三角不等式（1）若(0,)2x，则sintanxxx. (2) 若(0,)2x，则1sincos2xx. (3) |sin |cos | 1xx. 4545. .同同角三角函数的基本关系式角三角函数的基本关系式

12、 22sincos1，tan= =cossin，tan1cot. . 4646. .正弦、余弦的诱导公式正弦、余弦的诱导公式 212( 1) sin ,sin()2( 1)s ,nnnco 212( 1)s ,s()2( 1)sin ,nnconco 4747. .和角与差角公式和角与差角公式 sin()sincoscossin; ; cos()coscossinsin; ; tantantan()1tantan. . (n 为偶数) (n 为奇数) (n 为偶数) (n 为奇数) 高中学习技巧、精品资料都在公众号：高中学长加油站高中学习技巧、精品资料都在公众号：高中学长加油站公众号：高中学长

13、加油站22sin()sin()sinsin(平方正弦公式); 22cos()cos()cossin. . sincosab= =22sin()ab( 辅助角所在象限由点( , )a b的象限决定,tanba ). 4848. .二倍角公式二倍角公式 sin2sincos. . 2222cos2cossin2cos1 1 2sin . . 22tantan21 tan. . 49. 49. 三倍角公式三倍角公式 3sin33sin4sin4sin sin()sin()33. . 3cos34cos3cos4cos cos()cos()33. .323tantantan3tan

14、tan()tan()1 3tan33. . 5050. .三角函数的周期公式三角函数的周期公式函数sin()yx，xR 及函数cos()yx，xR(A,为常数，且 A0，0)的周期2T；函数tan()yx，,2xkkZ(A,为常数，且 A0，0)的周期T. 5151. .正弦定理正弦定理 2sinsinsinabcRABC. . 5 52 2. .余弦定理余弦定理 2222cosabcbcA; ; 2222cosbcacaB; ; 2222coscababC. . 5353. .面积定理面积定理高中学习技巧、精品资料都在公众号：高中学长加油站高中学习技巧、精品资料都在公众号：高中学长加

15、油站公众号：高中学长加油站（1）111222abcSahbhch（abchhh、、分别表示 a、b、c 边上的高）. （2）111sinsinsin222SabCbcAcaB. (3)221(| |)()2OABSOAOBOA OB. 5454. .三角形内角和定理三角形内角和定理在ABC 中，有()ABCCAB 222CAB222()CAB. 55.55. 简单的三角方程的简单的三角方程的通解通解 sin( 1) arcsin (,| 1)kxaxka kZa . . s2arccos (,| 1)co xaxka kZ a. . tanarctan (,)xaxka kZ aR. .

16、特别地特别地, ,有有 sinsin( 1)()kkkZ . . scos2()cokkZ. . tantan()kkZ. . 56.56.最简单的三角不等式及其解集最简单的三角不等式及其解集 sin(| 1)(2arcsin ,2arcsin ),xa axkaka kZ . . sin(| 1)(2arcsin ,2arcsin ),xa axkaka kZ . . cos(| 1)(2arccos ,2arccos ),xa axkaka kZ . . cos(| 1)(2arccos ,22arccos ),xa axkaka kZ . . tan()(arctan ,),2xa aR

17、xka kkZ . . tan()(,arctan ),2xa aRxkka kZ . . 57.57.实数与实数与向量的积的运算律向量的积的运算律设、为实数，那么 (1) 结合律：(a)=()a; 高中学习技巧、精品资料都在公众号：高中学长加油站高中学习技巧、精品资料都在公众号：高中学长加油站公众号：高中学长加油站(2)第一分配律：(+)a=a+a; (3)第二分配律：(a+b)=a+b. 58.58.向量的数量积的运算律：向量的数量积的运算律： (1) ab= ba （交换律）; (2)（a） b= （ab）=ab= a （b）; (3)（a+b） c= a c +bc. 59.59.平

18、面向量基本定理平面向量基本定理如果 e1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1、2，使得 a=1e1+2e2 不共线的向量 e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 6060向量平行的坐标表示向量平行的坐标表示设 a=11(,)x y,b=22(,)xy，且 b0，则 a b(b0)12210 x yx y. 53.53. a a与与 b b 的的数量积数量积( (或内积或内积) ) ab=|a|b|cos 61.61. a ab b 的几何意义的几何意义数量积 ab 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos的

19、乘积 62.62.平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算 (1)设 a=11(,)x y,b=22(,)xy，则 a+b=1212(,)xxyy. (2)设 a=11(,)x y,b=22(,)xy，则 a-b=1212(,)xxyy. (3)设 A11(,)x y，B22(,)xy,则2121(,)ABOBOAxx yy. (4)设 a=( , ),x yR，则a=(,)xy. (5)设 a=11(,)x y,b=22(,)xy，则 ab=1212()x xy y. 63.63.两向量的夹角公式两向量的夹角公式 121222221122cosx xy yxyxy( (a a= =11(,)x

20、y, ,b b= =22(,)xy) ). . 6464. .平面两点间的距离公式平面两点间的距离公式 ,A Bd= =|ABAB AB 高中学习技巧、精品资料都在公众号：高中学长加油站高中学习技巧、精品资料都在公众号：高中学长加油站公众号：高中学长加油站222121()()xxyy(A(A11(,)x y，B B22(,)xy).). 65.65.向量的平行与垂直向量的平行与垂直设 a=11(,)x y,b=22(,)xy，且 b0，则 A|bb=a 12210 x yx y. ab(a0)ab=012120 x xy y. 6666. .线段的定比分公式线段的定比分公式设111( ,)

21、P x y，222(,)P xy，( , )P x y是线段12PP的分点,是实数，且12PPPP，则 121211xxxyyy121OPOPOP 12(1)OPtOPt OP（11t）. 6767. .三角形的重心坐标公式三角形的重心坐标公式 ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则ABC 的重心的坐标是123123(,)33xxxyyyG. . 6868. .点的平移公式点的平移公式 xxhxxhyykyykOPOPPP . . 注:图形 F 上的任意一点 P(x，y)在平移后图形F上的对应点为( ,)P x y，且PP的坐标为( ,

22、 )h k. 69.69.“按向量平移”的几个结论“按向量平移”的几个结论（1）点( , )P x y按向量 a=( , )h k平移后得到点(,)P xh yk. (2) 函数( )yf x的图象C按向量 a=( , )h k平移后得到图象C,则C的函数解析式为()yf xhk. (3) 图象C按向量 a=( , )h k平移后得到图象C,若C的解析式( )yf x,则C的函数解析高中学习技巧、精品资料都在公众号：高中学长加油站高中学习技巧、精品资料都在公众号：高中学长加油站公众号：高中学长加油站式为()yf xhk. (4) 曲线C:( , )0f x y 按向量 a=( , )h

23、 k平移后得到图象C, 则C的方程为(,)0f xh yk. (5) 向量 m=( , )x y按向量 a=( , )h k平移后得到的向量仍然为 m=( , )x y. 70.70. 三角形五“心”向量形式的充要条件三角形五“心”向量形式的充要条件设O为ABC所在平面上一点，角, ,A B C所对边长分别为, ,a b c，则（1）O为ABC的外心222OAOBOC. （2）O为ABC的重心0OAOBOC. （3）O为ABC的垂心OA OBOB OCOC OA. （4）O为ABC的内心0aOAbOBcOC. （5）O为ABC的A的旁心aOAbOBcOC. 7171. .

24、常用不等式：常用不等式：（1）, a bR222abab(当且仅当 ab 时取“=”号) （2）, a bR2abab(当且仅当 ab 时取“=”号) （3）3333(0,0,0).abcabc abc （4）柯西不等式 22222()()() , , , ,.abcdacbda b c dR （5）bababa. 7272. .极值定理极值定理已知yx,都是正数，则有（1）若积xy是定值p，则当yx 时和yx 有最小值p2；（2）若和yx 是定值s，则当yx 时积xy有最大值241s. 推广已知Ryx,，则有xyyxyx2)()(22 高中学习技巧、精品资料都在公众号：高中学长加油

26、对值的不等式含有绝对值的不等式当当 a 0a 0 时，有时，有 22xaxaaxa . . 22xaxaxa或或xa . . 7575. .无理不等式（1）( )0( )( )( )0( )( )f xf xg xg xf xg x . （2）2( )0( )0( )( )( )0( )0( ) ( )f xf xf xg xg xg xf xg x或. （3）2( )0( )( )( )0( ) ( )f xf xg xg xf xg x. 7676. .指数不等式与对数不等式指数不等式与对数不等式 (1)(1)当当1a 时时, , ( )( )( )( )f xg xaaf xg x;

27、 ; 高中学习技巧、精品资料都在公众号：高中学长加油站高中学习技巧、精品资料都在公众号：高中学长加油站公众号：高中学长加油站( )0log( )log( )( )0( )( )aaf xf xg xg xf xg x. . (2)(2)当当01a时时, , ( )( )( )( )f xg xaaf xg x; ; ( )0log( )log( )( )0( )( )aaf xf xg xg xf xg x 7777. .斜率公式斜率公式 2121yykxx（111( ,)P x y、222(,)P xy）. . 7878. .直线的五种方程直线的五种方程（1）点斜式 11()yyk xx

28、(直线l过点111( ,)P x y，且斜率为k) （2）斜截式 ykxb(b 为直线l在 y 轴上的截距). （3）两点式 112121yyxxyyxx(12yy)(111( ,)P x y、222(,)P xy (12xx). (4)截距式 1xyab(ab、分别为直线的横、纵截距，0ab 、) （5）一般式 0AxByC(其中 A、B 不同时为 0). 79.79.两条直线的两条直线的平行和垂直平行和垂直 (1)若111:lyk xb，222:lyk xb 121212|,llkk bb; 12121llk k . (2)若1111:0lA xB yC,2222:0lA xB yC,且

29、A1、A2、B1、B2都不为零, 11112222|ABCllABC； 1212120llA AB B； 80.80.夹角公式夹角公式高中学习技巧、精品资料都在公众号：高中学长加油站高中学习技巧、精品资料都在公众号：高中学长加油站公众号：高中学长加油站(1)212 1tan|1kkk k. (111:lyk xb，222:lyk xb,121k k ) (2)12211212tan|ABA BA AB B. (1111:0lA xB yC,2222:0lA xB yC,12120A AB B). 直线12ll时，直线l1与l2的夹角是2. 81.81. 1l到到2l的角公式的角公式 (1)2

30、121tan1kkk k. (111:lyk xb，222:lyk xb,121k k ) (2)12211212tanABA BA AB B. (1111:0lA xB yC,2222:0lA xB yC,12120A AB B). 直线12ll时，直线l1到l2的角是2. 8282四种常用直线系方程四种常用直线系方程 (1)定点直线系方程：经过定点000(,)P xy的直线系方程为00()yyk xx(除直线0 xx), 其中k是待定的系数 ; 经过定点000(,)P xy的直线系方程为00()()0A xxB yy,其中,A B是待定的系数 (2)共点直线系

31、方程：经过两直线1111:0lA xB yC,2222:0lA xB yC的交点的直线系方程为111222()()0AxB yCA xB yC(除2l)，其中是待定的系数 (3)平行直线系方程：直线ykxb中当斜率 k 一定而 b 变动时，表示平行直线系方程与直线0AxByC平行的直线系方程是0AxBy(0)，是参变量 (4)垂直直线系方程：与直线0AxByC (A0，B0)垂直的直线系方程是高中学习技巧、精品资料都在公众号：高中学长加油站高中学习技巧、精品资料都在公众号：高中学长加油站公众号：高中学长加油站0BxAy,是参变量 8383. .点到直线的距离点到直线的距离 0022|A

32、xByCdAB(点00(,)P xy,直线l：0AxByC). 84.84. 0AxByC或或0所表示的所表示的平面区域平面区域设直线:0l AxByC，则0AxByC或0所表示的平面区域是：若0B ，当B与AxByC同号时，表示直线l的上方的区域；当B与AxByC异号时，表示直线l的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下. 若0B ，当A与AxByC同号时，表示直线l的右方的区域；当A与AxByC异号时，表示直线l的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左. 85.85. 111222()()0A xB yCA xB yC或0所表示的平面区域设曲线111222:()()0CAxB yC

33、A xB yC（12120A A B B ），则 111222()()0A xB yCA xB yC或0所表示的平面区域是： 111222()()0A xB yCA xB yC所表示的平面区域上下两部分； 111222()()0A xB yCA xB yC所表示的平面区域上下两部分. 8686. . 圆的圆的四种四种方程方程（1）圆的标准方程 222()()xaybr. （2）圆的一般方程 220 xyDxEyF(224DEF0). （3）圆的参数方程 cossinxarybr. （4）圆的直径式方程 1212()()()()0 xxxxyyyy(圆的直径的端点是11(,)A x y、2

34、2(,)B xy). 87. 87. 圆系方程圆系方程 (1)过点11(,)A x y,22(,)B xy的圆系方程是高中学习技巧、精品资料都在公众号：高中学长加油站高中学习技巧、精品资料都在公众号：高中学长加油站公众号：高中学长加油站1212112112()()()()()()()()0 xxxxyyyyxxyyyyxx 1212()()()()()0 xxxxyyyyaxbyc, 其中0axbyc是直线AB的方程,是待定的系数 (2)过直线l:0AxByC与圆C:220 xyDxEyF的交点的圆系方程是22()0 xyDxEyFAxByC,是待定的系数 (3) 过圆1C:22111

35、0 xyDxE yF与圆2C:222220 xyD xE yF的交点的圆系方程是2222111222()0 xyDxE yFxyD xE yF,是待定的系数 88.88.点与圆的位置关系点与圆的位置关系点00(,)P xy与圆222)()(rbyax的位置关系有三种若2200()()daxby，则 dr点P在圆外;dr点P在圆上;dr点P在圆内. 89.89.直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系直线0CByAx与圆222)()(rbyax的位置关系有三种: 0相离rd; 0相切rd; 0相交rd. 其中22BACBbAad. 90.90.两圆位置关系的判定方法两圆位置关系的判定方法设两

36、圆圆心分别为 O1，O2，半径分别为 r1，r2，dOO21 条公切线外离421rrd; 条公切线外切321rrd; 条公切线相交22121rrdrr; 条公切线内切121rrd; 高中学习技巧、精品资料都在公众号：高中学长加油站高中学习技巧、精品资料都在公众号：高中学长加油站公众号：高中学长加油站无公切线内含 210rrd. 91.91.圆的切线方程圆的切线方程 (1)已知圆220 xyDxEyF 若已知切点00(,)xy在圆上，则切线只有一条，其方程是 0000()()022D xxE yyx xy yF. 当00(,)xy圆外时, 0000()()022D xxE yyx xy yF表示

37、过两个切点的切点弦方程过圆外一点的切线方程可设为00()yyk xx，再利用相切条件求 k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于 y 轴的切线斜率为 k 的切线方程可设为ykxb，再利用相切条件求 b，必有两条切线 (2)已知圆222xyr 过圆上的000(,)P xy点的切线方程为200 x xy yr; 斜率为k的圆的切线方程为21ykxrk. 92.椭圆22221(0)xyabab的参数方程是cossinxayb. 9393. .椭圆22221(0)xyabab焦半径公式 )(21caxePF，)(22xcaePF. . 9494椭圆的椭圆的的内外部的内外部（1）点00(,)P

38、xy在椭圆22221(0)xyabab的内部2200221xyab. （2）点00(,)P xy在椭圆22221(0)xyabab的外部2200221xyab. 95.95. 椭圆椭圆的的切线切线方程方程高中学习技巧、精品资料都在公众号：高中学长加油站高中学习技巧、精品资料都在公众号：高中学长加油站公众号：高中学长加油站(1)椭圆22221(0)xyabab上一点00(,)P xy处的切线方程是00221x xy yab. （2）过椭圆22221(0)xyabab外一点00(,)P xy所引两条切线的切点弦方程是 00221x xy yab. （3）椭圆22221(0)xyabab与直线0A

39、xByC相切的条件是22222A aB bc. 9696. .双曲线双曲线22221(0,0)xyabab的焦半径公式的焦半径公式 21| ()|aPFe xc，22| ()|aPFexc. . 97.97.双曲双曲线线的内外部的内外部 (1)点00(,)P xy在双曲线22221(0,0)xyabab的内部2200221xyab. (2)点00(,)P xy在双曲线22221(0,0)xyabab的外部2200221xyab. 98.98.双曲双曲线线的方程与的方程与渐近线方程的关系渐近线方程的关系 (1）若双曲线方程为12222byax渐近线方程：22220 xyabxaby. (2)若渐

40、近线方程为xaby0byax双曲线可设为2222byax. (3)若双曲线与12222byax有公共渐近线，可设为2222byax（0，焦点在 x 轴上，0，焦点在 y 轴上）. 99.99. 双曲线的双曲线的切线方程切线方程 (1)双曲线22221(0,0)xyabab上一点00(,)P xy处的切线方程是00221x xy yab. （2）过双曲线22221(0,0)xyabab外一点00(,)P xy所引两条切线的切点弦方程是高中学习技巧、精品资料都在公众号：高中学长加油站高中学习技巧、精品资料都在公众号：高中学长加油站公众号：高中学长加油站00221x xy yab. （ 3 ）

41、双曲线22221(0,0)xyabab与直线0AxByC相切的条件是22222A aB bc. 100100. . 抛物线抛物线pxy22的焦半径公式的焦半径公式抛物线22(0)ypx p焦半径02pCFx. 过焦点弦长pxxpxpxCD212122. 101101. .抛物线pxy22上的动点可设为 P),2(2ypy或或)2 ,2(2ptptP P(,)x y，其中 22ypx. 102102. .二次函数2224()24bacbyaxbxca xaa(0)a 的图象是抛物线：（1）顶点坐标为24(,)24bacbaa；（2）焦点的坐标为241(,)24bacba

42、a；（3）准线方程是2414acbya. 103.103.抛物线的内外部抛物线的内外部 (1)点00(,)P xy在抛物线22(0)ypx p的内部22(0)ypx p. 点00(,)P xy在抛物线22(0)ypx p的外部22(0)ypx p. (2)点00(,)P xy在抛物线22(0)ypx p 的内部22(0)ypx p . 点00(,)P xy在抛物线22(0)ypx p 的外部22(0)ypx p . (3)点00(,)P xy在抛物线22(0)xpy p的内部22(0)xpy p. 点00(,)P xy在抛物线22(0)xpy p的外部22(0)xpy p. (4) 点00(

43、,)P xy在抛物线22(0)xpy p的内部22(0)xpy p. 点00(,)P xy在抛物线22(0)xpy p 的外部22(0)xpy p . 高中学习技巧、精品资料都在公众号：高中学长加油站高中学习技巧、精品资料都在公众号：高中学长加油站公众号：高中学长加油站104.104. 抛物线的抛物线的切线方程切线方程 (1)抛物线pxy22上一点00(,)P xy处的切线方程是00()y yp xx. （2）过抛物线pxy22外一点00(,)P xy所引两条切线的切点弦方程是00()y yp xx. （3）抛物线22(0)ypx p与直线0AxByC相切的条件是22pBAC. 105.105

44、.两个常见的曲线系方程两个常见的曲线系方程 (1)过曲线1( , )0f x y ,2( , )0fx y 的交点的曲线系方程是 12( , )( , )0f x yfx y(为参数). (2) 共焦点的有心圆锥曲线系方程22221xyakbk, 其中22max,ka b. 当22min,ka b时,表示椭圆; 当2222min,max,a bka b时,表示双曲线. 106106. .直线与圆锥曲线相交的弦长公式 221212()()ABxxyy或 2222211212(1)()| 1 tan| 1tABkxxxxyyco（弦端点A),(),(2211yxByx，

45、由方程0)y, x(Fbkxy 消去 y 得到02cbxax，0 ,为直线AB的倾斜角，k为直线的斜率）. 107107. .圆锥曲线的两类对称问题圆锥曲线的两类对称问题（1）曲线( , )0F x y 关于点00(,)P xy成中心对称的曲线是00(2- ,2)0Fx xyy. （2）曲线( , )0F x y 关于直线0AxByC成轴对称的曲线是 22222 ()2 ()(,)0A AxByCB AxByCF xyABAB. 108108. .“四线”一方程“四线”一方程对于一般的二次曲线220AxBxyCyDxEyF，用0 x x代2x，用0y y代2y，用002x yxy代xy，用

46、02xx代x，用02yy代y即得方程 0000000222x yxyxxyyAx xBCy yDEF，曲线的切线，切点弦，中点弦，弦中点方程均是此方程得到. 109109证明直线与直线的平行的思考途径证明直线与直线的平行的思考途径高中学习技巧、精品资料都在公众号：高中学长加油站高中学习技巧、精品资料都在公众号：高中学长加油站公众号：高中学长加油站（1）转化为判定共面二直线无交点；（2）转化为二直线同与第三条直线平行；（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行. 110110证明直线与平面的平行的思考途径证明直线与平面的平行的思考途径（1）转化为直线与平面无公共

47、点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行. 111111证明平面与平面平行的思考途径证明平面与平面平行的思考途径（1）转化为判定二平面无公共点；（2）转化为线面平行；（3）转化为线面垂直. 112112证明直线与直线的垂直的思考途径证明直线与直线的垂直的思考途径（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的射影垂直；（4）转化为线与形成射影的斜线垂直. 113113证明直线与平面垂直的思考途径证明直线与平面垂直的思考途径（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；

48、（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 114114证明平面与平面的垂直的思考途径证明平面与平面的垂直的思考途径（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直. 115115. .空间向量的加法与数乘向量运算的运算律空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1)加法交换律：ab=ba (2)加法结合律：(ab)c=a(bc) 高中学习技巧、精品资料都在公众号：高中学长加油站高中学习技巧、精品资料都在公众号：高中学长加油站公众号：高中学长加油站(3)数乘分配律：(ab)=ab 116.116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广平面向

49、量加法的平行四边形法则向空间的推广始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量. 117117. .共线向量定理共线向量定理对空间任意两个向量 a、b(b0 )，ab存在实数使 a=b PAB、、三点共线|APABAPtAB(1)OPt OA tOB. |AB CDAB、CD共线且ABCD、不共线ABtCD且ABCD、不共线. 118.118.共面向量定理共面向量定理向量 p 与两个不共线的向量 a、b 共面的存在实数对, x y,使paxby 推论空间一点 P 位于平面 MAB 内的存在有序实数对, x y,使M

50、PxMAyMB，或对空间任一定点 O，有序实数对, x y，使OPOMxMAyMB. 119.119. 对空间任一点O和不共线的三点 A 、 B 、 C ，满足OPxOAyOBzOC（xyzk），则当1k 时，对于空间任一点O，总有 P、A、B、C 四点共面；当1k 时，若O平面 ABC，则 P、A、B、C 四点共面；若O平面 ABC，则 P、A、B、C 四点不共面 C AB、、、D四点共面AD与AB、AC共面ADxAByAC (1)ODxy OAxOByOC （O平面 ABC）. 120.120.空间向量基本定理空间向量基本定理如果三个向量 a、b、c 不

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