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1、在恒定磁场中电子的运动 在恒定磁场中电子的运动在恒定磁场中电子的运动 求解含磁场的求解含磁场的Schrdinger方程方程一、恒定磁场中的准经典运动一、恒定磁场中的准经典运动准经典运动的基本方程准经典运动的基本方程 =Ededt kv kkkFv kB =1讨论晶体中电子在恒定磁场中运动的方法：讨论晶体中电子在恒定磁场中运动的方法： 准经典近似：优点是简单且物理图象清晰，缺点是准经典近似：优点是简单且物理图象清晰，缺点是 有些量子效应无法从准经典近似中得出。有些量子效应无法从准经典近似中得出。晶体分光型晶体分光型X X射线荧光光谱仪扫描图元素分析射线荧光光谱仪扫描图元素分析 分光晶体与检测器同
2、步转动进行扫描。1234Cu(K1):154.056pm；(K2):154.439pm；平均(K):154.18pm(K）:139.222pm强度不一样，加权平均，122133KKKe，xe碰撞内层电子跃迁空穴外层电子跃迁X射线荧光射线荧光依据发射的X射线荧光 ，确定待测元素定性定性X射线荧光强度定量定量补充结束补充结束发射谱的强度：发射谱的强度： IN E概跃跃迁迁率率 X射线发射谱的强度可较直接地反映价电子能带的射线发射谱的强度可较直接地反映价电子能带的能态密度状况。能态密度状况。EEFN(E)1. 在在k空间中的运动图象空间中的运动图象ddt kB 在在k空间中电子的运动轨迹是垂直于磁场
3、的平面与等空间中电子的运动轨迹是垂直于磁场的平面与等能面的交线，即电子在垂直于磁场的等能线上运动。能面的交线，即电子在垂直于磁场的等能线上运动。Fv在在k空间中，电子作循环运动空间中，电子作循环运动 ed=dt kv kB沿磁场方向沿磁场方向k的分量不随时间而变，的分量不随时间而变，即在即在k空间中，电子在垂直于磁场空间中，电子在垂直于磁场B的平面内运动。的平面内运动。（Lorentz力不做功）力不做功）电子的能量电子的能量E(k)不随时间而变，即电子在等能面上运动不随时间而变，即电子在等能面上运动电子的循环周期：电子的循环周期： dkdteBv等能线等能线=Tk回转圆频率：回转圆频率： 02
4、2eBdkvTk对自由电子：对自由电子： 22kE2mk电子的回旋轨道为圆电子的回旋轨道为圆 kvmk在等能线上，在等能线上，k const.k 0222eBeBeBdkmmkvkk2. 在实空间中的运动图象在实空间中的运动图象在实空间中，电子的运动轨迹为一螺旋线。在实空间中，电子的运动轨迹为一螺旋线。对于自由电子：对于自由电子：m k =v如设磁场沿如设磁场沿z 轴方向，有轴方向，有0 xyyxzdveBvdtmdveBvdtmdvdt0000cossinttxyzvvvvvconst.22200 xyvvveBm 在实空间中电子的运动图在实空间中电子的运动图象：沿磁场方向（象：沿磁场方向（
5、z方向），电方向），电子作匀速运动，在垂直于磁场子作匀速运动，在垂直于磁场的平面内，电子作匀速圆周运的平面内，电子作匀速圆周运动。动。对于晶体中的电子对于晶体中的电子1*ddtmevFF =vB在主轴坐标系中在主轴坐标系中:1*1*1*xxxyyyzzzdvFdtmdvFdtmdvFdtm 若磁场方向取在若磁场方向取在z轴方向，轴方向，BBk，即可写出其相，即可写出其相应的准经典运动方程。应的准经典运动方程。*0 xyxyxyzdveBvdtmdveBvdtmdvdt 自由电子的量子理论自由电子的量子理论在没有磁场时，自由电子的哈密顿量为在没有磁场时，自由电子的哈密顿量为22pHm当有磁场存在
6、时，电子运动的哈密顿量为当有磁场存在时，电子运动的哈密顿量为212Hem pAA: 磁场的矢势，磁场的矢势， BA若磁场若磁场B沿沿z方向，则可取方向，则可取,0,0By A22212xyzHpeByppm由于哈密顿算符中不含由于哈密顿算符中不含x和和z，H和和px、pz有共同本征态有共同本征态设设为其共同本征态，有为其共同本征态，有波函数波函数: xzi k x k zeyr代入波动方程代入波动方程HE与与Hxpix zpiz 及及对易对易xxzzpkpk 222212xyzkeBypkyEym 2222221222zxkkeByyEym ymm 2222002122myyyym y其中其中
7、0,eBm0,xykeB222zkEm这是中心位置在这是中心位置在y=y0，振动圆频率为，振动圆频率为 0的线性谐振子的线性谐振子解为解为200000exp2nnnmmyyNyyHyyNn为归一化因子，为归一化因子，Hn(y)为厄密多项式为厄密多项式相应的能量本征值为相应的能量本征值为012nnn=0, 1, 2, 0 xzi k x k zneyyr 222201222zznkkEnmmk 根据量子理论，在垂直于磁场平面内的匀速圆周运根据量子理论，在垂直于磁场平面内的匀速圆周运动对应于一种简谐振动，其能量是量子化的，我们将这动对应于一种简谐振动，其能量是量子化的，我们将这些量子化的能级称为朗
8、道能级。些量子化的能级称为朗道能级。三、晶体中电子的有效质量近似三、晶体中电子的有效质量近似晶体中电子在磁场中运动时，其哈密顿量为晶体中电子在磁场中运动时，其哈密顿量为 212HeUm pAr其中，其中，U(r)为为 晶体的周期性势场晶体的周期性势场 在有效质量近似的框架内，前面我们对自由电子的在有效质量近似的框架内，前面我们对自由电子的讨论可以推广到晶体中的电子，只需用电子的有效质量讨论可以推广到晶体中的电子，只需用电子的有效质量m*代替自由电子的质量代替自由电子的质量m即可。即可。 一般半导体材料中，在导带底和价带顶附近常常一般半导体材料中，在导带底和价带顶附近常常可以采用有效质量近似。对有些金属材料（如碱金属）可以采用有效质量近似。对有些金属材料（如碱金属）有时也可以采用。有时也可以采用。212*Hem pA在有些情况下，可将哈密顿量近似写成在有些情况下，可将哈密顿量近似写成 有效质量近似有效质量近似