2022年平移与旋转压轴题.pdf

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1、平移与旋转压轴题 1 正方形 ABCD中，点 E、F分别是边 AD 、AB的中点，连接EF.（1）如图 1，若点 G是边 BC的中点，连接FG ，则 EF与 FG关系为：；（2）如图 2，若点 P为 BC延长线上一动点，连接FP，将线段 FP以点 F 为旋转中心 , 逆时针旋转 900，得到线段FQ，连接 EQ ，请猜想 EF、EQ 、BP三者之间的数量关系，并证明你的结论；（3）若点 P为 CB延长线上一动点，按照（2）中的作法，在图3 中补全图形，并直接写出EF 、EQ 、BP三者之间的数量关系：.精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归

2、纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 19 页 - - - - - - - - - - 2在 RtABC中，ACB=90 ， A=30 ，点D是 AB的中点， DE BC ，垂足为点E，连接CD （1）如图 1，DE与 BC的数量关系是；（2）如图 2，若 P是线段 CB上一动点（点P不与点 B、C重合），连接 DP ，将线段DP绕点D逆时针旋转60，得到线段DF，连接 BF，请猜想 DE 、BF、BP三者之间的数量关系，并证明你的结论；（3）若点 P是线段 CB延长线上一动点，按照（2）中的作法，请在图3 中补全图形，并直接写出 DE 、BF、BP三者之间的数量关系精品资

3、料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 19 页 - - - - - - - - - - 3如图 1，在ABC中，A=36 ， AB=AC ， ABC的平分线BE交 AC于 E（1）求证： AE=BC ；（2）如图（ 2） ，过点 E作 EFBC交 AB于 F，将AEF绕点 A逆时针旋转角（0144）得到 AE F，连结CE ，BF ，求证： CE =BF ；（3）在（2）的旋转过程中是否存在CE AB ？若存在，求出相应的旋转角；若不存在，请说明理由精品资料 - - - 欢迎下载 - -

4、- - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 19 页 - - - - - - - - - - 4在数学活动课中，小辉将边长为2和 3 的两个正方形放置在直线l 上，如图 1，他连结AD 、CF，经测量发现AD=CF （1）他将正方形ODEF 绕 O点逆时针旋转一定的角度，如图2，试判断 AD与 CF还相等吗？说明你的理由；（2）他将正方形ODEF绕 O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l 上，如图3，请你求出CF的长精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - -

5、 - - - -第 4 页，共 19 页 - - - - - - - - - - 5 某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含60角的直角三角板ABC与 AFE按如图（1）所示位置放置放置，现将RtAEF绕 A点按逆时针方向旋转角（0 90） ，如图（ 2） ，AE与 BC交于点 M ，AC与 EF交于点 N ， BC与 EF交于点 P（1）求证： AM=AN ；（2）当旋转角=30时，四边形ABPF是什么样的特殊四边形？并说明理由精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共

6、 19 页 - - - - - - - - - - 6 如图，在 RtABC中，C=90 ，点 P为 AC边上的一点，将线段AP绕点 A顺时针方向旋转（点 P对应点 P） ，当 AP旋转至 AP AB时，点 B、P、P恰好在同一直线上，此时作 PE AC于点 E（1）求证： CBP= ABP ；（2）求证： AE=CP ；（3） （相似）当CP3PE2，BP=5 5时，求线段AB的长精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 19 页 - - - - - - - - - - 7（三角函数）

7、 如图 1，在平面直角坐标系中，已知AOB是等边三角形， 点 A的坐标是 （0，4） ，点 B在第一象限，点P是 x 轴上的一个动点，连接 AP ，并把 AOP绕着点 A按逆时针方向旋转，使边AO与 AB重合，得到 ABD （1）求直线 AB的解析式；（2）当点 P运动到点（3，0）时，求此时DP的长及点D的坐标；（3）是否存在点P，使OPD的面积等于34？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 19 页 - - - - - -

8、- - - - 8 操作发现，将一副直角三角板如图摆放，能够发现等腰直角三角板ABC的斜边与含30角的直角三角板DEF的长直角边DE重合问题解决将图中的等腰直角三角板ABC绕点 B顺时针旋转30，点C落在 BF上， AC与 BD交于点O ，连接 CD ，如图（1）求证： CDO是等腰三角形；（2）若 DF=8 ，求 AD的长精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 19 页 - - - - - - - - - - 9如图 1，ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形， D、F 分别

9、在 AB 、AC边上，此时 BD=CF ，BD CF成立。（1）当正方形ADEF绕点 A逆时针旋转（0 90）时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。（2）当正方形ADEF绕点 A逆时针旋转45时，如图3，延长 BD交 CF于点 G。求证： BD CF。（3）在（ 2）小题的条件下, AC 与 BG的交点为 M ， 当 AB=4 ， AD= 时，求线段CM的长。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 19 页 - - - - - - - - - - 10、已

10、知：正方形ABCD中，MAN=45，MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC（或它们的延长线） 于点M，N当MAN绕点A旋转到BM=DN时（如图 1） ，易证BM+DN=MN（1）当MAN绕点A旋转到BMDN时（如图 2） ，线段BM，DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明（2）当MAN绕点A旋转到如图3 的位置时，线段BM，DN和MN之间又有怎样的数量关系？并说明理由11、有两张完全重合的矩形纸片，小亮同学将其中一张绕点A顺时针旋转90后得到矩形MBCN图 3ADBCNM图 2ADBCNM图 1AD精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - -

11、- 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 19 页 - - - - - - - - - - MEFABCDMFABDB1KD1AMEF（如图甲），连结BD、MF，若此时他测得BD=8cm ，ADB=30试探究线段BD与线段MF的关系，并简要说明理由；小红同学用剪刀将BCD与MEF剪去，与小亮同学继续探究他们将ABD绕点A顺时针旋转得AB1D1，AD1交FM于点K（如图乙），设旋转角为(0 90), 当AFK为等腰三角形时，请直接写出旋转角的度数；12、有两块形状完全相同的不规则的四边形木板，如图所示，木工师傅通过测量可知，090 ,BDADCD。思考一段时

12、间后，一位木工师傅说：“我可以把两块木板拼成一个正方形。 ”另一位木工师傅说：“我可以把一块木板拼成一个正方形，两块木板拼成两个正方形。 ”两位木工师傅把木板只分割了一次，你知道他们分别是怎样做的吗？画出图形，并说明理由。13如图 14-1，ABC的边BC在直线l上，ACBC，且ACBC；EFP的边FP图甲图乙BDAC精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 19 页 - - - - - - - - - - 也在直线l上，边EF与边AC重合，且EFFP（1）在图 14-1 中，请你通过

13、观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；（2） 将EFP沿直线l向左平移到图14-2 的位置时，EP交AC于点Q， 连结AP，BQ 猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；（3） 将EFP沿直线l向左平移到图14-3 的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连结AP，BQ你认为（ 2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由14如图 23-127 所示，在平面内直线l 上摆放着两块大小相同的直角三角板，它们中A（E）BC（F）PlllAABBQPEFFCQ图 14-1图 14-2图 14-3EPC精

14、品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 19 页 - - - - - - - - - - 较小直角边的长为6 cm，较小锐角的度数为30. (1)将 ECD沿着直线 AC翻折到如图23128(1) 所示的位置， ED 与 AB相交于点 F，求证 AF=FD ； (2)将 ECD沿直线 l 向左平移到如图23128(2) 所示的位置，使E点落在 AB 上，记为 E，求出平移的距离； (3)将 ECD绕点 C逆时针方向旋转到如图23128(3) 所示的位置，使得点E落在 AB上，记为点E，

15、求出旋转角的度数平移与旋转压轴题答案精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 19 页 - - - - - - - - - - 1、解：（1）垂直且相等。（2）EF、EQ 、BP三者之间的数量关系为：EF2 BPEQ。证明如下：如图，取 BC的中点 G，连接 FG ，由（ 1）得 EF=FG ，EF FG ，根据旋转的性质，FP=FQ ，PFQ =90 。 GFP= GFE EFP=90 EFP ，EFQ= PFQ EFP=90 EFP 。 GFP= EFQ 。在FQE和FPG中， E

16、F=GF ， EFQ= GFP ，FQ = FP，FQE FPG （SAS ） 。 EQ=GP 。 EFGF2BG2 BPGP2 BPEQ 。（3）补图如下， F、EQ 、BP三者之间的数量关系为：MEFABCD。2、解：（1）DE=MFABDBKDBC。（2）根据旋转的性质得到 PDF=60 ， DP=DF ，易得 CDP= BDF ，根据“SAS ”可判断 DCP DBF ，则 CP=BF ，利用 CP=BC BP ，DE=32BC可得到 BF+BP=233DE ；（3）补全图形如图，DE 、BF 、BP三者之间的数量关系为BFBP=233DE 。3、解：（1）证明： AB=BC ，A=3

17、6 ， ABC= C=72 。又 BE平分 ABC ， ABE= CBE=36 。BEC=180 CCBE=72 。 ABE= A， BEC= C。AE=BE ，BE=BC 。 AE=BC 。（2）证明： AC=AB 且 EFBC ， AE=AF ；由旋转的性质可知： EAC= FAB ，AE =AF ，在 CAE 和BAF 中，ABACF ABE ACAFAE，CAE BAF 。CE =BF 。（3）存在 CE AB 。由（ 1）可知 AE=BC ，所以，在 AEF 绕点 A逆时针旋转过程中，E点经过的路径（圆弧）与过点 C且与 AB平行的直线l 交于 M 、N两点，如图：当点E的像 E与点

18、 M重合时，则四边形ABCM 为等腰梯形， BAM= ABC=72 ，又 BAC=36 。=CAM=36 。当点 E的像 E与点 N重合时，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 19 页 - - - - - - - - - - 由 AB l 得， AMN= BAM=72 ，AM=AN ， ANM= AMN=72 。MAN=180 272=36。= CAN= CAM+ MAN=72 。当旋转角为36或 72时，CE AB 。4、解：（1）AD=CF 。理由如下：在正方形 ABCO 和

19、正方形 ODEF 中， AO=CO ，OD=OF ， AOC= DOF=90 ， AOC+ COD= DOF+ COD ，即 AOD= COF 。在AOD和COF中， AO=CO ， AOD= COF ，OD=OF ， AOD COF （SAS ） 。AD=CF 。（2）与（ 1）同理求出CF=AD ，如图，连接DF交 OE于 G，则 DF OE ，DG=OG=12OE ，正方形 ODEF 的边长为2， OE=22=2。DG=OG=12OE=122=1。AG=AO+OG=3+1=4，在 RtADG中，2222ADAGDG4117，CF=AD=17。5、解：（1）证明：用两块完全相同的且含60角

20、的直角三角板ABC与 AFE按如图（ 1）所示位置放置放置，现将RtAEF绕 A点按逆时针方向旋转角（0 90），AB=AF ， BAM= FAN 。在 ABM和AFN中，FANBAMABAFBF， ABM AFN （ASA ） 。AM=AN 。（2）当旋转角=30时，四边形ABPF是菱形。理由如下：连接 AP ， =30， FAN=30 。 FAB=120 。B=60 ， AFBP 。 F=FPC=60 。 FPC= B=60 。 AB FP。四边形 ABPF是平行四边形。AB=AF ，平行四边形ABPF是菱形。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎

21、下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 19 页 - - - - - - - - - - 6、解：（1）证明： AP 是AP旋转得到， AP=AP 。 APP =AP P。C=90 ，AP AB ， CBP+ BPC=9 0， ABP+ AP P=90 。又 BPC= APP （对顶角相等） 。 CBP= ABP 。（2）证明：如图，过点P作 PD AB于 D， CBP= ABP ，C=90 ， CP=DP 。PE AC ，EAP +AP E=90 。又 PAD+ EAP =90， PAD= AP E。在APD和PAE中，0PADAP EADPP EA90APA

22、P， APD PAE （ AAS ） 。 AE=DP 。 AE=CP 。（3）CP3PE2，设 CP=3k ，PE=2k，则 AE=CP=3k ， AP =AP=3k+2k=5k 。在 RtAEP 中，22P E5k3k4k，C=90 ，PE AC ， CBP+ BPC=90 ，EP P+PPE=90 。 BPC= EPP （对顶角相等） ， CBP= PPE 。又 BAP =PEP=90 ， ABP EPP 。ABP AP EPE。即ABP A4k2k。1P AAB2。在 RtABP 中，222ABP ABP，即2221ABAB5 54。解得 AB=107、解：（1）如答图 1，过点 B作

23、BE y 轴于点 E，作 BFx 轴于点 F。由已知得： BF=OE=2 ，22OF422 3。点 B的坐标是（2 3，2） 。设直线 AB的解析式是y=kx+b（k0），则有2 3kb2b4，解得3k3b4。直线 AB的解析式是3yx43。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 19 页 - - - - - - - - - - （2） ABD由AOP旋转得到， ABD AOP 。 AP=AD ，DAB= PAO 。 DAP= BAO=60 。 ADP是等边三角形。22DPAP431

24、9。如答图 2，过点 D作 DH x 轴于点 H，延长 EB交 DH于点 G ，则 BG DH 。在 RtBDG中，BGD=90 ，DBG=60 ，BG=BD ? cos60=13322 DG=BD ? sin60 =33322。OH=EG=532，DH=72。点 D的坐标为（532，72） 。（3）存在。假设存在点P，在它的运动过程中，使OPD 的面积等于3。设点 P为（t ，0） ，下面分三种情况讨论：当 t 0时，如答图2，BD=OP=t ，DG=32t ， DH=2+32t。 OPD的面积等于34，133t 2t224，解得12212 3212 3tt33，（舍去）。点 P1的坐标为（

25、212 33，0） 。当 D在 x 轴上时，如答图3，根据锐角三角函数求出BD=OP=4 33，当4 33 t 0时，如答图1， BD=OP= t ，DG=32t ，GH=BF=2 （32t ）=2+32t 。 OPD的面积等于34，133t 2t224，解得123tt33，。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 17 页，共 19 页 - - - - - - - - - - 点 P2的坐标为（33，0） ，点 P3的坐标为（3，0） 。当 t 4 33时，如答图4，BD=OP= t ，DG=3

26、2t ，DH=32t 2。 OPD的面积等于34，133t2t224，解得12212 3212 3tt33，（舍去）。点 P4的坐标为（212 33，0） 。综上所述，点P的坐标分别为P1（212 33，0） 、P2（33，0） 、P3（3，0） 、P4（212 33，0） 。8、解；（1）证明：由图知BC=DE ， BDC= BCD 。DEF=30 ， BDC= BCD=75 。ACB=45 ， DOC=30 +45=75。 DOC= BDC 。 CDO 是等腰三角形。（2）作 AG BC ，垂足为点G，DH BF，垂足为点H，在 RtDHF中，F=60， DF=8 ， DH=43，HF=4

27、 。在 RtBDF中，F=60， DF=8 ， DB=83，BF=16。BC=BD=83。AG BC ，ABC=45 ， BG=AG=43。AG=DH 。AG DH ，四边形AGHD 为矩形。AD=GH=BFBG HF=16 434=1243。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 18 页，共 19 页 - - - - - - - - - - 9、解：（1）BD=CF 成立。理由如下： ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF 是正方形，AB=AC ，AD=AF ， BAC= DAF=90 。 B

28、AD= BAC DAC ， CAF= DAF DAC ， BAD= CAF 。在BAD和CAF中， AB=AC ， BAD= CAF ， BAD CAF （SAS ） 。 BD=CF 。（2）证明： BAD CAF （已证）， ABM= GCM 。又 BMA= CMG ， BMA CMG 。 BGC= BAC=90 。 BD CF。（3）过点 F 作 FNAC于点 N。在正方形ADEF中，AD=DE= ，。AN=FN=AE=1 。在等腰直角 ABC 中， AB=4 ，CN=AC AN=3 ， 。在 RtFCN中， ，在 RtABM中， 。AM= 。CM=AC AM=4 。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 19 页，共 19 页 - - - - - - - - - -