2022年盈亏问题公式.pdf

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1、【盈亏问题公式】（1）一次有余（盈）, 一次不够（亏） , 可用公式：（盈 +亏）（两次每人分配数的差）=人数 . （2）两次都有余（盈）, 可用公式：（大盈 - 小盈）（两次每人分配数的差）=人数 . （3）两次都不够（亏）, 可用公式：（大亏 - 小亏）（两次每人分配数的差）=人数 . （4）一次不够（亏）, 另一次刚好分完, 可用公式： 亏（两次每人分配数的差）=人数 . （5）一次有余（盈）, 另一次刚好分完, 可用公式：盈（两次每人分配数的差）盈亏问题的关系式：1、 （盈亏）两次分配的差份数2、 （大盈小盈）两次分配的差份数3、 （大亏小亏）两次分配的差份数每次分的数量份数盈总数量,

2、 每次分的数量份数亏总数量,1、幼儿园中（ 1）班的小朋友分橘子 , 若每人分 4 个橘子就多出 10 个, 若每人分6 个橘子 , 就少 6 个橘子 , 请问该班有多少个小朋友橘子有多少个2、五（ 4）班同学春游去划船 , 如果少租一条船 , 每条船上正好坐 9 个人, 如果多租一条船 , 每条船上正好坐 6 个人, 五（4）班有学生多少人3、学校将一批钢笔奖给三好学生, 若每人奖 8 支就缺 11 支；若每人奖 7 支就缺7 支. 问：这批钢笔有多少只三好学生有多少人4、同学们打羽毛球 , 若没组分 6 个羽毛球 , 则少 10 个球；若每组分 4 个羽毛球 ,则少 2 个球. 问：共有多

3、少个学生打球有多少个羽毛球5、饲养员分桃子给小猴 , 如果每只小猴分 10 个桃子 , 则有两个小猴没有； 如果每只小猴分 7 个桃子 , 则还会剩下 10 个桃子 . 请问：桃子有多少个小猴有多少只6、甲、乙两个工程队同时抢修两短距离同样长的铁路, 开工 12 天后, 乙队完成了任务, 甲队还需再修 300 米才能完成任务 . 问：两条铁路全长多少米7、同学们修补图书 , 若每人修 5 本, 还剩 5 本, 若其中两人各修 4 本, 其余人就要各修 6 本, 正好修完 , 这里有多少名同学多少本书8、工人们修公路 , 如果每天修 200 米, 那么修完全程就得延期10 天；如果每天修220

4、米, 那么修完全程就得延期5 天. 问：这条路全长多少米9、幼儿园某班学生做游戏 , 如果每个学生分得的子弹一样多, 弹子就多 12 颗, 如果再增加 12 颗子弹, 那么每人正好分的12 颗. 问： 这个班有多少学生有多少颗子弹10 李娟从家去学校 , 如果每分钟走 60 米, 那么要迟到 5 分钟；如果每分钟走90米, 那么能提前 4 分钟到 . 请问：李娟的家到学校的距离是多少米c 巧汧 7H棜 t 2014-11-061、老师拿来一批树苗，分给一些同学去栽，每人每次分给一棵，一轮一轮往下分，当分剩下 12 棵时不够每人分一棵了，如果再拿来8 棵，那么每个同学正好栽10 棵。问参加栽树的

5、有多少名同学原有树苗多少棵【分析】：当分剩下12 棵时不够每人分一棵了，如果再拿来8 棵，那么每个同学正好栽 10 棵。通过这一句话，我们可以知道参加种树的同学一共有12+8=20 人，加上再拿来的8 棵，一共有20*10=200 棵。所以，原有树苗=200-8=192 棵。解答：有同学12+8=20 名，原有树苗20*10-8=192 棵。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 2、少先队员去植树，如果每人挖5 个树坑，还有3 个树坑没

6、人挖；如果其中两人各挖4 个树坑，其余每人挖6 个树坑，就恰好挖完所有的树坑。请问，共有多少名少先队员共挖了多少树坑分析：这是一个典型的盈亏问题，关键在于要将第二句话“如果其中两人各挖4 个树坑，其余每人挖6 个树坑，就恰好挖完所有的树坑”统一一下。 即：应该统一成每人挖6 个树坑，形成统一的标准。那么它就相当于每人挖6 个树坑，就要差（6-4 ）*2=4 个树坑。这样，盈亏总数就是3+4=7，所以，有少先队员7/ （6-5 ）=7 名，共挖了5*7+3=38 个坑。解答：盈亏总数等于3+（6-4 ）*2=7，少先队员有7/ （6-5 ）=7名，共挖了5*7+3=38个树坑。3、学校安排学生到

7、会议室听报告。如果每3 人坐一条长椅，那么剩下48 人没有坐； 若每 5 人坐一条长椅，则刚好空出两条长椅。问听报告的学生有多少人分析：典型盈亏问题。盈亏总数48+5*2=58，所以，长椅的数量就等于58/ （5-3 ）=29条。那么，听报告的人数等于29*3+48=135 人。解答：长椅有（48+5*2 ）/ （5-3 ）=29 条，听报告的学生有29*3+48=135 人。4、钢笔与圆珠笔每支相差1 元 2 角，小明带的钱买5 支钢笔差 1 元 5 角，买 8 支圆珠笔多 6 角。问小明带了多少钱分析： 在盈亏问题中， 我们得到的计算公式是指同一对象的。而现在分别是圆珠笔和钢笔两种东西。

8、因此，我们要利用盈亏问题的公式计算就必须将它转化成为同一对象- 钢笔或者圆珠笔。小明带的钱买5 支钢笔差1元 5 角，我们可以将它转化成买5 支圆珠笔， 因为我们知道钢笔与圆珠笔每支相差1 元 2 角，把买 5 支钢笔改买5 支圆珠笔， 就要省下6 元钱， 也就是比原来差 1 元 5 角，反而可以多出6 元-1 元 5 角=4元 5 角。这样我们就将原来的问题转化成了：小明带的钱买5 支圆珠笔多4 元 5 角，买 8 支圆珠笔多6 角。问小明带了多少钱那么，盈亏总数 =4元 5 角-6 角=3 元 9 角，每支圆珠笔价钱=3 元 9 角/ （8-5 ）=1 元 3 角。所以，小明共有 8*1

9、元 3 角+6 角=11 元。解答：买 5 支钢笔差 1 元 5 角，相当于买5支圆珠笔多4 元 5 角，每支圆珠笔的价钱=（4 元 5 角-6 角） /8-5 ）=1 元 3 角。小明带了8*1 元 3 角+6 角=11 元。5、幼儿园将一筐苹果分给小朋友。如果分给大班的小朋友每人5 个则余 10 个；如果分给小班的小朋友每人8 个则缺 2个。已知大班比小班多3 个小朋友， 问这筐苹果共有多少个分析：与上一题类似，需要转化成两次对同一对象。解答：分给大班的小朋友每人5 个则余 10 个，大班比小班多3 个小朋友，相当于分给小班的小朋友每人5 个则余 10+3*5=25 个，盈亏总数 =25+

10、2=27，小班人数 =27/（8-5 ）=9 人，苹果有 9*5+25=70 个。6、某校到了一批新生，如果每个寝室安排8 个人，要用33 个寝室； 如果每个寝室少安排 2 个人，寝室就要增加10 个，问这批学生可能有多少人分析： 如果每个寝室安排8 个人，要用 33 个寝室，那么人数肯定多于32*8=256 人， 但不超过 33*8=264 人；如果每个寝室少安排2个人， 寝室就要增加10 个，即如果每个寝室安精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 7 页 - - - - - - -

11、 - - - 排 6 个人，要用43 个寝室，那么人数肯定多于42*6=252 人，但不超过43*6=258 人；两次比较，人数应该多于256 人，不超过258 人。所以，这批学生可能有257 或 258 人。解答：8*32=256， 6*42=252 ，256252， 人数超过256 人；8*33=264 ，6*43=258，258264，人数不超过258 人。这批学生可能有257 或 258 人。7、幼儿园老师给小朋友分糖果。若每人分8 块，还剩 10 块；若每人分9 块，最后一人分不到 9 块，但至少可分到一块。那么糖果最多有多少块分析：最后一人分不到9 块，那么最多可以分到8 块，即若

12、每人分9 块，还差 1 块。根据盈亏计算公式，人数有（1+10）/ （9-8 ）=11 人，糖果最多有9*11-1=98 块；最后一人分不到 9 块， 但至少可分到一块， 即最少是最后一人差8 块，根据盈亏计算公式， 人数有（8+10）/ （9-8 ）=18 人，糖果最多有9*18-8=154 块；所以，这批糖果最多有154 块。解答： 9-1=8 ，人数最多有（10+8）/ （9-8 ）=18 人，糖果最多18*9-8=154 快。8、 有 48 本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5 人。 如果把书全部分给第一组，那么每人 4 本，有剩余；每人5 本，书不够。如果把书全分给第二组，那么

13、每人3 本，有剩余；每人 4 本，书不够。问第二组有多少人分析：如果把书全部分给第一组，那么每人4 本，有剩余；每人5本，书不够。说明第一组人数少于48/4=12 人，多于 48/5=9.3，即 9人；如果把书全分给第二组，那么每人 3 本，有剩余；每人4 本，书不够。说明第二组人数少于48/3=16 人，多于48/4=12 人；因为已知第二组比第一组多5 人，所以，第一组只能是10 人，第二组15 人。解答： 48/4=12 ，48/5=9.5，48/3=16 ，第一组少于12 人，多于 9 人；第二组少于16 人，多于 12 人。因为已知第二组比第一组多5 人，所以，第二组有15 人。9、

14、在若干盒卡片，每盒中卡片数一样多。把这些卡片分给一些小朋友，如果只分一盒，每人均至少可得7 张，但若都分8 张则还缺少5 张。现在把所有卡片都分完，每人都分到60 张，而且还多出4 张。问共有小朋友多少人分析： 60/7=8.4，60/8=7.4，说明卡片的盒数是8 盒，“若都分 8 张则还缺少 5 张”，即如果我们在每盒中加5 张（8 盒共加 40 张），每人就可以得到8*8=64 张，现在实际每人得到60 张，即每人需要退出4 张，其中要有 4 张是每人60 张后多下来的， 还有40 张是我们一开始借来的要还出去，即要退出44 张， 4/4=11 ，说明有 11 人。解答： 60/7=8.

15、4，60/8=7.4，卡片有 8 盒，小朋友人数有（4+5*8 ）/4=11人。10、用绳测井深，把绳三折，井外余2 米，把绳四折，还差1 米不到井口，那么井深多少米绳长多少米分析：典型盈亏问题。盈亏总数=3*2+4*1=10 米。解答：井深 =（3*2+4*1 ）/ （4-3 ）=10 米，绳长 =（10+2） *3=36 米。11、有两根同样长的绳子，第一根平均剪成5 段，第二根平均剪成7 段，第一根剪成的每段比第二根剪成的每段长2 米。原来每根绳子长多少米精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -

16、第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 分析： 第一根剪成的每段比第二根剪成的每段长2 米。那么， 如果同样是5 段的话，第二种就要比第一种少5*2=10 米，现在第二种7 段和第一种5 段一样长，说明第二种的两段长是 10 米，也就是说每一段为10/2=5 米。所以，绳子长为5*7=35 米。解答：原来每根绳子长为7*（2*5/2 ）=35 米。12、有一个班的同学去划船。他们算了一下，如果增加1 条船，正好每条船坐6 人；如果减少 1 条船，正好每条船坐9个人。问：这个班共有多少名同学分析：增加一条和减少一条，前后相差2 条，也就是说，每条船坐6 人正好，每条船坐9

17、 人则空出两条船。这样就是一个盈亏问题的标准形式了。解答：增加一条船后的船数=9*2/ （9-6 ）=6 条，这个班共有6*6=36 名同学。13、 张宇上午 7 时 20 分从家里出发到校上课。如果每分钟走50 步，离上课还有7 分钟；如果每分钟走35 步，就要迟到5 分钟。求学校的上课时间。分析：这种盈亏问题的另一种比较常见的类型。主要是在计算盈亏总数时必须注意量的单位的统一。这里，盈亏总数不是7+5=12 分，而是 7*50+5*35=525 步。所以，准点到校用时为 525/ （50-35 ）=35 分钟。所以，上课时间是7 点 55 分。解答：准点到校的用时=（7*50+5*35 ）

18、/ （50-35 ）=35 分钟，学校上课时间为7 点 55分。14、六一 儿童节， 小明到商店买了一盒花球和一盒白球，两盒内的球的数量相等。花球原价 1 元钱 2 个，白球原价 1 元钱 3 个。因节日商店优惠销售，两种球的售价都是2元钱5 个，结果小明少花了4 元钱，那么小明共买了多少个球分析： 花球原价 1 元钱 2 个，白球原价1 元钱 3 个。即花球原价10 元钱 20 个，白球原价 10 元钱 30 个。那么， 同样买花球和白球各30 个，花球要比白球多花10/2=5 元，共需要30/2+30/3=25元。现在两种球的售价都是2 元钱 5 个，花球和白球各买30 个需要（ 30/5

19、 ）*2*2=24 元，说明花球和白球各买30 个能省下 25-24=1 元。现在共省了4 元，说明花球和白球各有 30*4=120 个，共买了120*2=240 个。解答：花球和白球各买30 个时，可比原来省下=（30/2+30/3 ）- （30/5 ）*2*2=1 元，省下 4 元，花球和白球各买30*4=120 个。所以，小明共买了240 个球。15、苹果和梨各有若干只。如果 5 只苹果和 3 只梨装一袋， 苹果还多4只，梨恰好装完；如果 7 只苹果和 3 只梨装一袋，苹果恰好装完，梨还多12 只。那么苹果和梨共有多少只分析： 7 只苹果和 3 只梨装一袋比5 只苹果和 3 只梨装一袋多

20、了2 只苹果，梨从刚好到多 12 只，相当于把原来装好的袋拿出了12/3=4 袋，抽出其中的苹果（4*5=20 只）和原来剩下的 4 只（共 20+4=24 只）苹果，添加到其余原来装好的袋子中去。每袋添加2 只，添加了 24/2=12 袋刚好装完。所以，原来装了12+4=16袋，苹果有16*5+4=84 只，梨有16*3=48只，合起来有84+48=132 只。解答：（ 12/3 ）*5+4=24，5 只苹果和 3 只梨装一袋，共装了24/2+4=16 袋，所以，苹果和梨共有 =16*（3+5）=4=132 只。例 1. 某班学生去划船，如果增加一条船，那么每条船正好坐6 人；如果减少一条船

21、，那么每条船就要坐9 人。问：学生有多少人精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 分析：本题也是盈亏问题，为清楚起见， 我们将题中条件加以转化。假设船数固定不变，题目的条件 如果增加一条船 表示如果每船坐6 人，那么有6 人无船可坐 ；如果减少一条船 表示 如果每船坐9 人，那么就空出一条船 。这样，用盈亏问题来做，盈亏总额为 69=15（人） ，两次分配的差为9-6 3（人）。解： （69）（ 9-6 ） 5（条），65 6=36（人）

22、 ，答：有36 名学生。例 2. 少先队员植树， 如果每人挖5 个坑， 那么还有3 个坑无人挖； 如果其中2 人各挖 4个坑，其余每人挖6 个坑，那么恰好将坑挖完。问：一共要挖几个坑分析：我们将其中 2 人各挖 4 个坑，其余每人挖6 个坑 转化为 每人都挖6 个坑，就多挖了 4 个坑 。这样就变成了 典型 的盈亏问题。盈亏总额为437（个）坑，两次分配数之差为6-5 1（个）坑。解： 3 （6-4 ）2 （ 6-5） 7（人），57 338（个） 。答：一共要挖38 个坑。例 3. 在桥上用绳子测桥离水面的高度。若把绳子对折垂到水面，则余8 米；若把绳子三折垂到水面，则余2 米。问：桥有多高

23、绳子有多长解：因为把绳子对折余8 米，所以是余了82=16（米）；同样，把绳子三折余2 米，就是余了32 6（米）。两种方案都是 盈 ，故盈亏总额为16-6=10 （米） ，两次分配数之差为 3-2 1 （折），所以桥高 （82- 23） （ 3-2 ）10（米） ，绳子的长度为2108236（米） 。例 4. 有若干个苹果和若干个梨。如果按每1 个苹果配2 个梨分堆， 那么梨分完时还剩2个苹果；如果按每3 个苹果配 5 个梨分堆，那么苹果分完时还剩1 个梨。问：苹果和梨各有多少个解：容易看出这是一道盈亏应用题，但是盈亏总额与两次分配数之差很难找到。原因在于第一种方案是1 个苹果 搭配 2 个

24、梨，第二种方案是3 个苹果 搭配 5 个梨。如果将这两种方案统一为1 个苹果 搭配 若干个梨，那么问题就好解决了。将原题条件变为1 个苹果搭配 2 个梨，缺4 个梨；有梨152-4 26（个） 。例 5. 乐乐家去学校上学，每分钟走50 米，走了2 分钟后，发觉按这样的速度走下去，到学校就会迟到8 分钟。于是乐乐开始加快速度，每分钟比原来多走10 米，结果到达学校时离上课还有5 分钟。问：乐乐家离学校有多远解：乐乐从改变速度的那一点到学校，若每分钟走50 米，则要迟到8 分钟，也就是到上课时间时，他离学校还有508 400（米） ；若每分钟多走10 米，即每分钟走60 米，则到达学校时离上课还

25、有5 分钟， 如果一直走到上课时间，那么他将多走 （ 5010）5 300（米） 。所以盈亏总额，即总的路程相差:400 300700（米） 。两种走法每分钟相差10 米，因此所用时间为70010 70（分），也就是说，从乐乐改精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 变速度起到上课时间有70 分钟。所以乐乐家到学校的距离为:50 （2708） 4000 （米），或 50260（ 70-5 ） 4000（米） 。例 6. 王师傅加工一批零件

26、，每天加工20 个，可以提前1 天完成。工作4 天后，由于改进了技术，每天可多加工5 个，结果提前3 天完成。问：这批零件有多少个解：每天加工 20 个，如果一直加工到计划时间，那么将多加工20 个零件； 改进技术后，如果一直加工到计划时间，那么将多加工（205）3 75（个） 。盈亏总额为75-20 55（个）。两种加工的速度比较，每天相差5 个。根据盈亏问题的公式，从改进技术时到计划完工的时间是555 11（天），计划时间为114 15（天） ，这批零件共有20（ 15-1 ）280（个） 。1 非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形: 如果在非封闭线路的两端都要植树, 那么 : 株

27、数段数1全长株距+1 全长株距( 株数 1) 株距全长 ( 株数1)如果在非封闭线路的一端要植树, 另一端不要植树, 那么 : 株数段数全长株距全长株距株数株距全长株数如果在非封闭线路的两端都不要植树, 那么: 株数段数1全长株距1 全长株距( 株数 1) 株距全长 ( 株数 1) 2 封闭线路上的植树问题的数量关系如下株数段数全长株距全长株距株数株距全长株数就这个可以相互转换的时间 =（桥长 +车长） / 速度速度 =（桥长 +车长） / 时间桥长 +车长 = 速度 * 时间桥长 =速度 *时间 - 车长车长 = 速度* 时间 - 桥长速度和相遇时间相遇路程相遇路程速度和相遇时间相遇路程相遇

28、时间速度和追及路程 =速度差追及时间追及时间 =追及路程速度差速度差 =追击路程追及时间速度差 =速度快的速度 =速度慢的速度追及问题：（相向而行）：追及路程 / 追及速度和 =追及时间（同向而行） ：追及路程 / 追及速度差 =追及时间顺水速度 =静水船速 +水流速度逆水速度 =静水船速 - 水流速度精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 静水船速 =（顺水速度 +逆水速度）除以2 水流速度 =（顺水速度 - 逆水速度）除以2精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - - -