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1、山东省 2015 年普通高校招生（春季）考试数学试题注意事项 :. 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分满分120 分，考试时间 120 分钟考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 本次考试允许使用函数型计算器，凡使用计算器的题目，最后结果精确到第卷（选择题，共 60 分）一、选择题（本大题 20 个小题，每小题 3 分，共 60 分在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求， 请将符合题目要求的选项字母选出，填涂在答题卡上）1若集合A1，2，3 ，B1，3 ，则AB等于（）（A）1 ，2，3 （B）1，3 （C）1，2 （D）22|x1| 5的解集是（）（A）( 6，4) （B
2、） （ 4，6）（C） ( , 6)(4, ) （D）( , 4 ) （ 6， )3函数yx+1 +1x的定义域为（）（A）x| x 1 且x0 （B）x|x 1（C）x x 1 且x0 （D）x|x 14. “圆心到直线的距离等于圆的半径”是“直线与圆相切”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件5在等比数列 an 中，a21，a43，则a6等于（）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 12 页 - - - - - - - - - - （A
3、）-5 （B）5 （C）-9 （D）96. 如图所示， M是线段 OB的中点， 设向量OAa，OBb，则AM可以表示为 （）（A）a + 12b（B） a + 12b（C）a12b（ D）a12b7终边在 y 轴的正半轴上的角的集合是（）（A）x|x22k，kZ （B）x|x2k（C）x|x22k，kZ （D）x|x2k，kZ 8关于函数yx2+2x，下列叙述错误的是（）（A）函数的最大值是1 （B）函数图象的对称轴是直线x=1（C）函数的单调递减区间是 1， ) （D）函数图象过点（2，0）9某值日小组共有5 名同学，若任意安排3 名同学负责教室内的地面卫生，其余2 名同学负责教室外的走廊卫
4、生，则不同的安排方法种数是（）（A）10 （B）20 （C）60 （D）10010如图所示，直线l的方程是（）（A）3xy30 （ B）3x2y30 （C）3x3y10 （ D）x3y1011对于命题p，q，若pq为假命题”，且pq为真命题，则（）（A）p，q都是真命题（B）p，q都是假命题（C）p，q一个是真命题一个是假命题（D）无法判断12已知函数f (x)是奇函数，当x0 时，f (x)x22，则f (1) 的值是（）（A） 3 （B） 1 （C）1 （D） 3BOMA精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - -
5、- - - -第 2 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 13已知点P（m，2）在函数ylog13 x的图象上，点A的坐标是（ 4，3） ，则AP的值是（）（A）10 （B）210 （C）62 （D） 5214关于x,y的方程x2+m y21，给出下列命题：当m0时，方程表示双曲线；当m0 时，方程表示抛物线；当0m1 时，方程表示椭圆；当m1 时，方程表示等轴双曲线；当m1 时，方程表示椭圆。其中，真命题的个数是（）（A）2 （B）3 （C）4 （D）515(1 x)5的二项展开式中，所有项的二项式系数之和是（）（A）0（B） 1（C）32（D）3216不等式组xy+1
6、0 x+y30表示的区域（阴影部分）是（）17甲、乙、丙三位同学计划利用假期外出游览，约定每人从泰山、孔府这两处景点中任选一处，则甲、乙两位同学恰好选取同一处景点的概率是（）（A）29（B）23（C）14（D）1218已知向量a(cos512，sin512) ，b(cos12，sin12) ，则ab等于（）（A）12（B）32（C）1 （D）019已知，表示平面， m，n表示直线，下列命题中正确的是（）（A）若m， mn，则n棱柱的底面是边长为a的菱形，侧棱长为h，则直棱柱的侧面（A）（B）（C ）（D）x1yO331yO33x1yO33x1yO33精品资料 - - - 欢迎下载 - - -
7、- - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 积是 _22在ABC中，A105，C45，AB22， BC等于 _23计划从500 名学生中抽取50 名进行问卷调查，拟采用系统抽样方法，为此将他们逐一编号为 1500，并对编号进行分段，若从第一个号码段中随机抽出的号码是2，则从第五个号码段中抽出的号码应是_24已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点与圆x2+m y26m 70 的圆心重合，长轴长等于圆的直径，则短轴长等于_25集合M，N，S都 是非空集合，现规定如下运算：MNSx|x(MN)
8、(NS) (SM) ，且x MNS 若集合Ax|axb ，Bx|cxd ，Cx|exf ，其中实数a，b，c，d，e，f满足：（1）ab0，cd0；ef0； （2）badcfe； （3）badcfe计算ABC_ 三、解答题（本大题共 5 个小题，共40 分，请在答题卡相应的题号处写出解答过程）26 （本小题 6 分）某学校合唱团参加演出，需要把120 名演员排成5 排，并且从第二排起，每排比前一排多3 名 ，求第一排应安排多少名演员。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 12 页 -
9、 - - - - - - - - - 27. （本小题8 分）已知函数y 2sin(2x+) ，xR, 02，函数的部分图象如图所示，求（1）函数的最小正周期T及的值；（2）函数的单调递增区间。28 （本小题 8 分）已知函数f (x) ax（a0 且a1）在区间 2，4 上的最大值是16，（1）求实数a的值；（2）若函数g (x) log2(x23x 2a) 的定义域是R，求满足不等式log2(1 2t) 1 的实数t的取值范围xOy1精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 12 页
10、 - - - - - - - - - - 29 （本小题 9 分）如图所示，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是正方形，平面SAD平面ABCD，SASD2，AB3.（1）求SA与BC所成角的余弦值；（2）求证：ABSD30 （本小题 9 分）已知抛物线的顶点是坐标原点O，焦点F在x轴的正半轴上，Q是抛物线上的点，点Q到焦点F的距离为1，且到 y 轴的距离是38（1）求抛物线的标准方程；（2）若直线l经过点M（3，1） ，与抛物线相交于A，B两点，且OAOB，求直线l的方程BACDS精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - -
11、 - - - - -第 6 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 答案1. 【考查内容】集合的交集【答案】 B2. 【考查内容】绝对值不等式的解法【答案】 B【解析】1551546xxx.3. 【考查内容】函数的定义域【答案】 A【解析】10 x 且0 x得该函数的定义域是10 x xx且.4. 【考查内容】充分、必要条件【答案】 C【解析】 “圆心到直线的距离等于圆的半径”“直线与圆相切” ， “直线与圆相切”“圆心到直线的距离等于圆的半径”.5. 【考查内容】等比数列的性质【答案】 D【解析】2423aqa，2649aa q. 6. 【考查内容】向量的线性运算【答案】
12、B【解析】12AMOMOAbauuuu ruuuu ruuu rrr.7. 【考查内容】终边相同的角的集合【答案】 A【解析】终边在y轴正半轴上的角的集合是2,2xkkZ8. 【考查内容】二次函数的图象和性质【答案】 C精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 【解析】222(1)1yxxx，最大值是 1， 对称轴是直线1x， 单调递减区间是1,) ，（2,0 ）在函数图象上.9. 【考查内容】组合数的应用【答案】 A【解析】从 5 人中
13、选取 3 人负责教室内的地面卫生，共有35C10种安排方法 . （选取 3 人后剩下 2 名同学干的活就定了）10【考查内容】直线的倾斜角，直线的点斜式方程【答案】 D【解析】由图可得直线的倾斜角为30， 斜率3tan303ko， 直线l与x轴的交点为（1,0 ） ，由直线的点斜式方程可得l：30(1)3yx，即310 xy. 11. 【考查内容】逻辑联结词【答案】 C【解析】由 pq 是假命题可知p,q至少有一个假命题，由pq 是真命题可知p,q至少有一个真命题，p,q一个是真命题一个是假命题12. 【考查内容】奇函数的性质【答案】 A【解析】2( 1)(1)(12)3ff13. 【考查内容
14、】对数的运算，向量的坐标运算，向量的模【答案】 D【解析】 点( , 2)P m在函数13logyx 的图象上， 2131log2,( )93mm，P点坐标为(9, 2)，(5, 5),5 2APAPu uu ruuu r.14. 【考查内容】椭圆、双曲线和抛物线的标准方程，等轴双曲线的概念【答案】 B【解析】当0m时，方程表示双曲线；当0m时，方程表示两条垂直于x轴的直线；当01m时，方程表示焦点在y轴上的椭圆；当1m时，方程表示圆；当1m时，方程表精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页
15、，共 12 页 - - - - - - - - - - 示焦点在x轴上的椭圆 . 正确 .15. 【考查内容】二项式定理【答案】 D【解析】所有项的二项式系数之和为012345555555CCCCCC3216【考查内容】不等式组表示的区域【答案】 C【解析】可以用特殊点（0,0 ）进行验证：0010 ， 0030 ，非严格不等式的边界用虚线表示，该不等式组表示的区域如C选项中所示 .17. 【考查内容】古典概率【答案】 D【解析】甲、乙两位同学选取景点的不同种数为224，其中甲、乙两位同学恰好选取同一处景点的种数为2，故所求概率为214218. 【考查内容】余弦函数的两角差公式，向量的内积的坐
16、标运算【答案】 A【解析】1sincoscossinsin1212121262a br rg19. 【考查内容】空间直线、平面的位置关系【答案】 C【解析】 A. 若 m，mn ，则 nP或n在内；B. 若m，n，P，则 mnP或m与n异面； D. 若m，n， mP， n P，且m、n相交才能判定P；根据两平面平行的性质可知C正确 .20. 【考查内容】双曲线的简单几何性质【答案】 A【解析】1F 的坐标为 (,0)c，设P点坐标为0(,)c y，22022()1ycab， 解得20bya，由1PFa可得2baa，则 ab ，该双曲线为等轴双曲线，离心率为2 .21. 【考查内容】直棱柱的侧面
17、积【答案】 4ah精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 22. 【考查内容】正弦定理【答案】2+6【解析】由正弦定理可知，sinsinABBCCA,sin2 2sin10562sin22ABABCCo23. 【考查内容】系统抽样【答案】 42【解析】从500 名学生中抽取50 名，则每两相邻号码之间的间隔是10，第一个号码是2，则第五个号码段中抽取的号码应是24 104224. 【考查内容】椭圆的简单几何性质【答案】 2 7【解析】圆
18、22670 xyx的圆心为（3,0 ） ， 半径为 4， 则椭圆的长轴长为8， 即3,4ca，227bac，则短轴长为2 725. 【考查内容】不等式的基本性质，集合的交集和并集【答案】x cxebxd或剟【解析】 abcd ， acdb ； abcd ， acbd ； bddb ，bd ；同理可得df ， bdf . 由可得0acebdf . 则ABx cxbI，BCx exdI，CAx exbI. ABCx cxebxd或剟.26. 【考查内容】等差数列的实际应用【解】由题意知各排人数构成等差数列na，设第一排人数是1a ，则公差3d，前 5 项和5120S, 因为1(1)2nn nSna
19、d，所以154120532a，解得118a.答：第一排应安排18 名演员27. 【考查内容】正弦型函数的图象和性质【解】（1）函数的最小正周期22T, 因为函数的图象过点（0,1 ） ，所以 2sin1，即1sin2，又因为02，所以6. (2) 因为函数sinyx的单调递增区间是2,2,22kkkZ.精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 所以222262kxk剟，解得36kxk剟，所以函数的单调递增区间是,36kkkZ28. 【考
20、查内容】指数函数的单调性【解】（1）当 01a时，函数( )f x 在区间 2,4 上是减函数，所以当2x时，函数( )f x 取得最大值16，即216a，所以14a.当1a时，函数( )f x 在区间 2,4 上是增函数，所以当4x时，函数( )f x 取得最大值16，即416a，所以2a.（ 2） 因 为22( )log (32 )g xxxa的 定 义 域 是R, 即2320 xxa恒 成 立 . 所 以 方 程2320 xxa的判别式0，即2( 3)420a，解得98a，又因为14a或2a，所以2a. 代入不等式得2log (1 2 )1t ,，即 0122t ,，解得1122t,，所
21、以实数t的取值范围是1 1,)2 2.29. 【考查内容】异面直线所成的角，直线与平面垂直的判定和性质【解】（1）因为 ADBCP, 所以SAD即为SA与BC所成的角，在SAD中，2SASD，又在正方形ABCD中3ADAB, 所以222222232cos22 23SAADSDSADSAADg34, 所以SA与BC所成角的余弦值是34.(2) 因为平面 SAD平面ABCD，平面 SADI 平面ABCDAD, 在正方形ABCD中，ABAD,所以AB平面SAD, 又因为 SD平面SAD,所以 ABSD.30. 【考查内容】抛物线的定义、标准方程和性质，直线与抛物线的位置关系【解】（1）由已知条件，可
22、设抛物线的方程为22ypx，因为点Q到焦点F的距离是1，所以点Q到准线的距离是1，又因为点Q到y轴的距离是38，所以3128p，解得54p，所以抛物线方程是252yx.（2）假设直线l的斜率不存在，则直线l的方程为3x，与252yx联立，可解得交点A、B的坐标分别为3030(3,),(3,)22，易得32OA OBuuu r uuu rg，可知直线OA与直线OB不垂直，不满足题意，故假设不成立，从而，直线l的斜率存在 .精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 12 页 - - - -
23、 - - - - - - 设直线l的斜率为k，则方程为1(3)yk x，整理得31ykxk，设1122(,), (,),A x yB xy联立直线l与抛物线的方程得23152ykxkyx ,消去y，并整理得22225(62)96102k xkkxkk，于是2122961kkx xkg.由式变形得31ykxk，代入式并整理得2251550kyyk，于是121552ky ykg，又因为 OAOB ，所以0OA OBuuu r u uu rg，即12120 x xy ygg，2296115502kkkkk，解得13k或2k.当13k时，直线l的方程是13yx，不满足 OAOB ，舍去 .当2k时，直线l的方程是12(3)yx，即 250 xy，所以直线l的方程是250 xy. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 12 页 - - - - - - - - - -