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1、精选优质文档-倾情为你奉上怎样求二次函数的解析式二次函数是中考数学的一个重要考点也是一个难点，往往会综合其他函数和几何而作为压轴题，有一定的难度。这些问题又常常以求二次函数的解析式作为解题的起点，因此学会求二次函数的解析式成为解决此类问题的首要条件。一、 三点型若已知二次函数图像上任意三点的坐标，则可以用一般式y= ax2 +bx+c.解题策略：通过各种途径搜索题目的各个信息找到三个点的坐标，然后用待定系数法球解析式，此类问题是中考中考得最频繁的一类。例1 已知二次函数图像经过（1，0）、（-1，-4）和（0，-3）三点，求这个二次函数解析式.解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c, 由
2、已知可得，解之得故所求二次函数解析式为y=x2+2x-3.例2 （2010四川宜宾）将直角边长为6的等腰RtAOC放在如图所示的平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C、A分别在x、y轴的正半轴上，一条抛物线经过点A、C及点B(3，0) 求该抛物线的解析式；解：由题意知：A（0，6），C（6，0），设经过点A、B、C的抛物线解析式为y=ax2+bx+c,则：解得：该抛物线的解析式为xyOABCPQMN例3 （2010 山东省德州）已知二次函数的图象经过点A(3，0)，B(2，-3)，C(0，-3) 求此函数的解析式及图象的对称轴；解：二次函数的图象经过点C(0，-3)，c =-3将点A(3，0)
3、，B(2，-3)代入得 解得：a=1，b=-2配方得：，所以对称轴为x=1例4 （2010 山东莱芜）在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于两点，交轴于点.求此抛物线的解析式；解：抛物线经过点， 解得.抛物线的解析式为：. 例5（2010湖北鄂州）如图，在直角坐标系中，A（-1，0），B（0，2），一动点P沿过B点且垂直于AB的射线BM运动，P点的运动速度为每秒1个单位长度，射线BM与x轴交与点C（1）求点C的坐标（2）求过点A、B、C三点的抛物线的解析式解：（1）点C的坐标是（4，0）；（2）设过点A、B、C三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a0），将点A、B、C三点的坐标代入得：解
4、得，抛物线的解析式是：y= x2+x+2二、 顶点型若直接或间接已知二次函数图像的顶点坐标，则可以用顶点式y=a(x-h)2+k.解题策略：想方设法找到顶点的坐标，然后用待定系数法球解析式，此法比较简单。例1 已知抛物线的顶点坐标为（2，3），且经过点（3，1），求其解析式.解：设二次函数解析式为y=a(x-h)2+k,由条件得1=a(3-2)2+3.解得a=-2.所以，抛物线的解析式为y=-2(x-2)2+3,即：y=-2x2+8x-5.例2 将抛物线y=x2+2x-3向左平移4个单位，再向下平移3个单位，求所得到的抛物线的解析式.解：函数解析式可变为y=(x+1)2-4.因向左平移4个单位
5、，向下平移3 个单位，所求函数解析式为y=( x+1+4)2-4-3,即y=x2+10x+18.例3 （2010 山东滨州）如图，四边形ABCD是菱形，点D的坐标是，以点C为顶点的抛物线 恰好经过轴上A、B两点(1) 求A、B、C三点的坐标；(2) 求经过A、B、C三点的的抛物线的解析式；(3) 若将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过D点，求平移后抛物线的解析式，并指出平移了多少各单位？解：(1)由抛物线的对称性可知AM=BM在RtAOD和RtBMC中，OD=MC，AD=BC，AODBMCOA=MB=MA设菱形的边长为2m，在RtAOD中，解得DC=2，OA=1，OB=3A、B、C三点的坐标
6、分别为、(2)设抛物线的解析式为，带入A点的坐标，得抛物线的解析式为(3) 设抛物线的解析式为，代入D点的坐标，得平移后的抛物线的解析式为平移了个单位例4 （2010江苏无锡）如图，矩形ABCD的顶点A、B的坐标分别为（-4，0）和（2，0），BC=设直线AC与直线x=4交于点E（1）求以直线x=4为对称轴，且过C与原点O的抛物线的函数关系式，并说明此抛物线一定过点E；（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为N，M是该抛物线上位于C、N之间的一动点，求CMN面积的最大值解：（1）点C的坐标设抛物线的函数关系式为，则，解得所求抛物线的函数关系式为例5 （2010云南红河哈尼族彝族自治州）二次
7、函数的图像如图所示，请将此图像向右平移1个单位，再向下平移2个单位. （1）画出经过两次平移后所得到的图像，并写出函数的解析式. （2）求经过两次平移后的图像与x轴的交点坐标，指出当x满足什么条件时，函数值大于0？解：画图如图所示：依题意得： = =平移后图像的解析式为：（2）当y=0时，=0 平移后的图像与x轴交与两点，坐标分别为（，0）和（，0）由图可知，当x时，二次函数的函数值大于0.例6 （2010 湖北孝感） 如图，已知二次函数图像的顶点坐标为（2，0），直线与二次函数的图像交于A、B两点，其中点A在y轴上。二次函数的解析式为y= ； 解：例7 （2010山东济宁）如图，在平面直角坐
8、标系中，顶点为（，）的抛物线交轴于点，交轴于，两点（点在点的左侧）. 已知点坐标为（，）.求此抛物线的解析式；解：设抛物线为.抛物线经过点（0，3），.抛物线为.例8 改革开放后，不少农村用上了自动喷灌设备，如图所示，设水管AB高出地面1.5米，在B处有一个自动旋转的喷水头，一瞬间，喷出的水流呈抛物线状，喷头B与水流最高点C的连线与水平面成45角，水流的最高点C比喷头B高出2米，在所建的坐标系中，求水流的落地点F到A点的距离是多少？分析：要求点F到A点的距离，也就是求A、F两点横坐标的差又A点横坐标为0，所以只需求出F点横坐标F点在抛物线上是抛物线与x轴的交点，所以要根据已知条件，求出抛物线的
9、解析式解： 过C点作CDOx于D，BECD于E，则有CE=BE2，AB=DE=1.5，则B(0，1.5)，C(2，3.5)C为抛物线的最高点， 例9 （2010四川凉山）已知：抛物线，顶点，与轴交于A、B两点，。求这条抛物线的解析式；例10 （2010四川眉山）如图，RtABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（，0）、（0，4），抛物线经过B点，且顶点在直线上求抛物线对应的函数关系式；解：由题意，可设所求抛物线对应的函数关系式为 所求函数关系式为： 三、 交点型若直接或间接已知二次函数图像与x轴的两交点坐标，则可以用交点式y=a(x-
10、x1)(x-x2).解题策略：要注意题目所给的点的坐标特征，如果已知或可求出与x轴的交点坐标（纵坐标为0），就可以采用此法。例1 已知二次函数图像与x轴交于（-1，0）、（3，0）两点，且经过点（1，-5），求其解析式.解：设二次函数解析式为y=a(x+1)(x-3), 由条件得-5=a(1+1)(1-3). 解得a=.故所求二次函数解析式为y=(x+1)(x-3), 则y=x2x.例2 如下图，二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，若AC=20，BC=15，ABC=90，求这个二次函数解析式.解：在RtABC中，AB=+=25，SABC=ACBC=ABOC，
11、OC=12.AC2=AOAB， OA=16，OB=9.从而得A、B、C三点坐标分别为（-16，0）、（9，0）、（0，12）.于是，利用交点型可求得函数解析式为：y=-x2-x+12.例3 已知二次函数的图象经过点(0,3),对称轴方程是x-1=0,抛物线与x轴两交点的距离为4,求这个二次函数的解析式.分析对称轴方程是x-1=0,抛物线与x轴两交点的距离为4,由抛物线的对称性知,抛物线与x轴的两个交点分别为(-1,0),(3,0).由抛物线的交点式:y=a(xx1)(xx2)求出解析式.变式练习1 将经过的点与对称轴方程改为顶点坐标.已知二次函数的顶点坐标是(3,2),且图象与x轴的两个交点间
12、距离是4.求这个二次函数的解析式.变式练习2 将与x轴两交点的距离改为已知一交点坐标.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴分别交于A(3,0),B两点,与y轴交于(0,3)点,对称轴是x=1,求二次函数的解析式.变式练习3 将对称性在等腰三角形中体现.已知:抛物线y=mx2-(3m+43)x+4与x轴交于两点A,B,与y轴交于C点,若ABC是等腰三角形,求抛物线的解析式.例4 （2010重庆綦江县）已知抛物线yax2bxc（a0）的图象经过点B（12,0）和C（0，6），对称轴为x2求该抛物线的解析式；解：（1）方法一：A、B关于x2对称A（8，0） 设C在抛物线上，6a8，即a该抛物
13、线解析式为：方法二：抛物线过点C（0，6）c6，即yax2bx6由解得：，该抛物线的解析式为例5 （2010 山东莱芜）在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于两点，交轴于点.求此抛物线的解析式；解：抛物线经过点， 解得.抛物线的解析式为：. 用交点式会更方便 例6 （2010 湖南株洲） 在平面直角坐标系中，抛物线过原点O，且与轴交于另一点，其顶点为孔明同学用一把宽为带刻度的矩形直尺对抛物线进行如下测量： 量得； 把直尺的左边与抛物线的对称轴重合，使得直尺左下端点与抛物线的顶点重合（如图1），测得抛物线与直尺右边的交点的刻度读数为请完成下列问题：（1）写出抛物线的对称轴； （2）求抛物线的解析式
14、；（1）（2）设抛物线的解析式为：，当时，即；当时，即，依题意得：，解得：抛物线的解析式为： 例7 （2010云南楚雄）已知：如图，抛物线与轴相交于两点A(1，0)，B(3，0).与轴相较于点C（0，3）（1）求抛物线的函数关系式；（2）若点D（）是抛物线上一点，请求出的值，并求处此时ABD 的面积解：（1）由题意可知 解得所以抛物线的函数关系式为（2）把D（）代人函数解析式中，得所以四、 混合型解题策略：选用合适的方法综合利用题目所给条件。抛物线的顶点坐标为，这是中考中最多的题型。（一）-退化三点型例1 （2010广东东莞）已知二次函数的图象如图所示，它与轴的一个交点坐标为（1，0），与轴的
15、交点坐标为（0，3）求出b,c的值，并写出此时二次函数的解析式；根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围xy31O根据题意，得：，解得，所以抛物线的解析式为令，解得；根据图象可得当函数值y为正数时，自变量x的取值范围是13例2 （2010 山东东营） 如图，已知二次函数的图象与坐标轴交于点A（-1， 0）和点B（0，-5）求该二次函数的解析式；xOABy解：根据题意，得解得 二次函数的表达式为例3 （2010湖南常德）如图, 已知抛物线与轴交于A (4，0) 和B(1，0)两点，与轴交于C点求此抛物线的解析式；xyOBCA解：由二次函数与轴交于、两点可得：解得：故所求二次函数的解析式
16、为例4 （2010湖北恩施自治州） 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点.求这个二次函数的表达式解：将B、C两点的坐标代入得 解得： 所以二次函数的表达式为： 例5 （2010广东中山）已知二次函数的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（-1，0），与y轴的交点坐标为（0，3）（1）求出b，c的值，并写出此二次函数的解析式；（2）根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围解：（1）把（-1，0），（0，3）分别代入，得 ，解得所以，（2）令y=0，得解得
17、，所以，由图象可知，函数值y为正数时，自变量x的取值范围是 -1x3例6 （2010湖北荆门）已知一次函数y的图象与x轴交于点A与轴交于点；二次函数图象与一次函数y的图象交于、两点，与轴交于、两点且点的坐标为，求二次函数的解析式；解： 由题意知:当x=0时,y=1, B（0，1）,当y=0时,x=2, A（2，0）解得, 所以（二）-混合顶点型例7 （2010山东聊城）如图，已知抛物线yax2+bx+c（a0）的对称轴为x1，且抛物线经过A（1，0）、C（0，3）两点，与x轴交于另一点B（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；（2）在抛物线的对称轴x1上求一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离
18、之和最小，并求此时点M的坐标；（3）设点P为抛物线的对称轴x=1上的一动点，求使PCB90的点P的坐标E解：抛物线经过点C（0，3）c3，yax2+bx-3，又抛物线经过点A（1，0），对称轴为x=1，所以抛物线的函数关系式为yx22x-3例8（2010山东临沂）如图，二次函数的图象与轴交于,两点，且与轴交于点.求该抛物线的解析式，解：根据题意，将A（,0）,B（2,0）代入y=-x2+ax+b中，得解这个方程，得 所以抛物线的解析式为y=-x2+x+1.例9 （2010福建福州）如图，在平面直角坐标系中，点B在直线y2x上，过点B作x轴的垂线，垂足为A，OA5若抛物线yx2bxc过O、A两点
19、求该抛物线的解析式；解：把O（0，0）、A（5，0)分别代入yx2bxc，得解得 该抛物线的解析式为yx2x例10 （2010年上海） 已知平面直角坐标系xOy，抛物线yx2bxc过点A(4,0)、B(1,3) .求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；解：抛物线yx2bxc过点 A(4,0)B(1,3).，对称轴为直线，顶点坐标为例11 （2010 四川成都）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，点的坐标为，若将经过两点的直线沿轴向下平移3个单位后恰好经过原点，且抛物线的对称轴是直线求直线及抛物线的函数表达式；解：沿轴向下平移3个单位后恰好经过原点
20、， ，。 将 代入，得。解得。 直线AC的函数表达式为。 抛物线的对称轴是直线解得抛物线的函数表达式为。例12 （2010山东聊城）如图，已知抛物线yax2+bx+c（a0）的对称轴为x1，且抛物线经过A（1，0）、C（0，3）两点，与x轴交于另一点B（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；（2）在抛物线的对称轴x1上求一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，并求此时点M的坐标；（3）设点P为抛物线的对称轴x=1上的一动点，求使PCB90的点P的坐标E解：（1）抛物线经过点C（0，3）C3，yax2+bx-3，又抛物线经过点A（1，0），对称轴为x=1，所以抛物线的函数关系式为yx22x-3（2）点A（1,0），对称轴为x=1，点B（2，0）设直线BC的函数关系式为y=kx+b，根据题意得直线BC的函数关系式为y=3x3，当x=1时，y6，点P的坐标为（1，6）专心-专注-专业