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1、精选优质文档-倾情为你奉上 沁乐教育 沁心学习 乐在其中2015年秋季九年级数学辅导资料 第二讲函数图像性质及应用 学校： 姓名： 二次函数的图象与基本性质（一）、知识点回顾【知识点一：二次函数的基本性质】yax2yax2kya(xh)2ya(xh)2kyax2bxc开口方向顶点对称轴最值增减性【知识点二：抛物线的图像与a、b、c关系】（1） a决定抛物线的开口方向：a0，开口向 _ ；a0，图像与y轴的交点在_；c=0，图像与y轴的交点在_；c0，图像与y轴的交点在_；（3）a，b决定抛物线对称轴的位置，我们总结简称为：_；（4）b24ac决定抛物线与_交点情况： b24ac【知识点三：二次
2、函数的平移】设，将二次函数向右平移m个单位得到_；向左平移m个单位得到_；向上平移n个单位得到_；向下平移n个单位得到_。简单总结为_，_。（注意：要用以上方法对二次函数图象进行平移，要先化成顶点式再操作）【知识点四：二次函数与一元二次方程的关系】二次函数，当时，即变为一元二次方程，从图象上来说，二次函数的图象与x轴的交点的横坐标x的值就是方程的根。【知识点五：二次函数解析式的求法】（1） 知抛物线三点，可以选用一般式：，把三点代入表达式列三元一次方程组求解；（2） 知抛物线顶点或对称轴、最大（小）值可选用顶点式：；其中抛物线顶点是；（3） 知抛物线与x轴的交点坐标为可选用交点式：，特别：此时
3、抛物线的对称轴为直线（二）、感悟与实践例1： （1）求二次函数yx24x1的顶点坐标和对称轴.（2）已知二次函数y2x28x6，当_时，y随x的增大而增大；当x_时，y有_值是_变式练习1-1：二次函数yx2mx中，当x3时，函数值最大，求其最大值例2：已知二次函数的图象如图1所示，则有： y-1x图1图4x=1（1）a _0,b_0 ,c_0（2）b24ac_0（3）a+b+c_0 图2（4）a-b+c_0 变式练习2-1：已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图2所示，其对称轴x=1，给出下列结果：b24ac；abc0；2a+b=0；a+b+c0；ab+c0，则正确的结论是 （ ） A、
4、B、 C、 D、变式练习2-2：已知二次函数的图像如图3所示，那么一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图像大致是（）A B图3 C D例3：（2012广州）将二次函数y=x2的图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式为（）Ay=x21By=x2+1Cy=（x1）2Dy=（x+1）变式练习3-1：（2012泰安）将抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（）A BC D例4：二次函数的部分图象如图4所示，则关于x的一元二次方程的一个解，另一个解=（）A、1 B、 C、 D、0图4 图6yxBACO变式练习5-1：（2009广州25）如图6，二次函数
5、（）的图象与轴交于两点，与轴交于点，的面积为（1）求该二次函数的关系式；二次函数的性质的综合应用例1. 已知抛物线（或）（1） 把它配方成的形式；（2） 写出抛物线的开口方向，顶点的坐标、对称轴方程；(3)求函数的最大值和最小值，并求出相应的自变量的值。(4)当-2x1时，求函数y的最值（4） 当1x4时，求函数y的取值范围；（6）求出与轴交点N的坐标及与轴的交点P,Q的坐标（点P在点Q的左边）（7）作出函数的大致图像（8当取何值时，函数值y随增大而增大，随值的增大而减小；（9）图像过点A（，）、B（0，）、C（6，）、D（4，）比较，的大小（10）观察图象，当取何值时，；（11）当x取何值时
6、，y2; （12）求PQM的面积。（13）求四边形PQMN的面积例2. 已知抛物线，根据下列条件，求k的值。(1) 抛物线过原点；(2) 顶点在x轴上；(3) 顶点在y轴上；(4) 顶点在y轴左侧；(5) 当x=1时，函数有最小值；(6) 关于直线x=-1对称；(7) 函数y的值恒大于0；(8) 顶点在x轴上方；(9) 抛物线在x轴上截得的线段长为1；8.如图，抛物线与x轴交与A(1,0),B(- 3，0)两点， （1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）在（1）中
7、的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使PBC的面积最大？，若存在，求出点P的坐标及PBC的面积最大值.若没有，请说明理由.二次函数应用题归类【基本思想】一、转化思想实际问题中的最优化问题转化为求二次函数的最值问题。1、方案设计最优问题：费用最低？利润最大？储量最大？等等。2、面积最优化问题：全面观察几何图形的结构特征，挖掘出相应的内在联系，列出包含函数，自变量在内的等式，转化为函数解析式，求最值问题。二、建模思想从实际问题中发现、提出、抽象、简化、解决、处理问题的思维过程。1、建立图像模型：自主建立平面直角坐标系，构造二次函数关系式解决实际问题。2、方程模型和不等式模型：根据实际问题中的数量
8、关系，列出方程或不等式转化为二次函数解决问题。3、根据实际问题情境抽象出二次函数模型。三、运动思想图像上的动点问题及几何图形的形状的确定。四、分类讨论的思想二次函数与其他知识的综合题时经常用到。【最值的确定方法】1二次函数在没有范围条件下的最值：二次函数的一般式()化成顶点式，如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值）2二次函数在有范围条件下的最值：如果自变量的取值范围，如果顶点在自变量的取值范围内，则当，如果顶点不在范围，则需考虑函数在自变量的取值范围内的增减性2014年中考第23题分类汇总分析一、分段函数型1.【四月调考】某商品的进价为每件40元，如果售价为每件
9、50元，每个月可卖出210件；如果售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件；如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件.设每件商品的售价为x元，每个月的销售量为y件.（1）求与的函数关系式并直接写出自变量的取值范围；（2）设每月的销售利润为W，请直接写出与的函数关系式；（3）每件商品的售价定位多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？二、与不等式结合型2.【2009四月调考】某商场将进货价为30元的书包以40元售出，平均每月能售出600个。调查表明：这种书包的售价每上涨1元，其销售量就减少10个。（1）请写出每月售出书包的利润y（元）与每
10、个书包涨价x（元）间的函数关系式；（2）设某月的利润为10000元，此利润是否为该月的最大利润，请说明理由；（3）请分析并回答售价在什么范围内商家获得的月利润不低于6000元? 3.某商品的进价为每件40元，售价为每件60元时，每个月可卖出100件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖2件设每件商品的售价为x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？（3）当售价的范围是是多少时，使得每件商品的利润率不超过80%且每个月的利润不低于2250元？三、前期投入，亏
11、损、盈利型4.【2011年四月】杰瑞公司成立之初投资1500万元购买新生产线生产新产品，此外，生产每件该产品还需要成本60元。按规定，该产品售价不得低于100元/件且不得超过180元/件，该产品销售量（万件）与产品售价（元）之间的函数关系如图所示。(1)求与之间的函数关系式，并写出的取值范围；(2)第一年公司是盈利还是亏损？求出当盈利最大或者亏损最小时的产品售价；(3)在(2)的前提下，即在第一年盈利最大或者亏损最小时，第二年公司重新确定产品售价，能否使两年共盈利达1340万元，若能，求出第二年产品售价；若不能，请说明理由。四、面积有关问题5.【2010年中考】星光中学课外活动小组准备围建一个
12、矩形生物苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成。已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米。（1）若平行于墙的一边长为y米，直接写出y与x的函数关系式及其自变量x的取值范围；（2）垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大值；（3）当这个苗圃园的面积不小于88平方米时，试结合函数图象，直接写出x的取值范围。五、二次函数与建模(高频型)6.2015调考要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根2.25m的水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高，高度为3m(1)建立适当的平面直角坐标系
13、，使水管顶端的坐标为(0，2.25)，水柱的最高点的坐标为(1，3)，求出此坐标系中抛物形水柱对应的函数关系式（不要求写取值范围）；(2)如图；在水池底面上有一些同心圆轨道，每条轨道上安装排水地漏，相邻轨道之间的宽度为0.3 m，最内轨道的半径为r m，其上每0.3 m的弧长上安装一个地漏，其它轨道上的地漏个数与最内轨道上的个数相同，水柱落地处为最外轨道，其上不安装地漏，求当r为多少时池中安装的地漏的个数最多？六、细节变化、陷阱题 9.中百超市每天购进一种水产品300千克，其进货成本（含运输费）是每千克3元，根据超市规定，这种水产品只能当天销售，并且每千克的售价不能超过10元，一天内没有销售完
14、的水产品只能按2元处理给食品深加工公司，而且这种水产品每天的损耗率是10%，根据市场调查这种水产品每天在市场上的销售量y(单位：千克，y0）与每千克的销售价x(元)之间的函数关系如下图所示：（1）求出每天销售量y与每千克销售价x之间的函数关系式；（2）根据题中的分析：每天销售利润w最多是多少元？（3）请你直接回答：当每千克销售价为多少元时，每天的销售利润不低于960元？【巩固练习】A组：1. 二次函数y=x2-2x-6的图象开口方向 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ；2、抛物线与x轴的一个交点的坐标为（l,0), 则它与x轴的另一个交点的坐标是_3、二次函数y=2的图像的对称轴是直线_. 4、抛物线
15、y2bx3的对称轴是直线x1，则b的值为_；若抛物线y=形状与它一样，则a=_5抛物线的顶点坐标是（ ）A（2，3） B（2，3） C（2，3） D（2，3）6二次函数的最小值是（ ） A2 B1 C3 D 7抛物线（是常数）的顶点坐标是（ ）ABCD8、若抛物线+c的图像经过点P(m,m),则此抛物线也经过点（ ）A(-m,n) B(m,-n) C(n,m) D(-n,m)9、二次函数的图象的顶点坐标是（）ABCD10、二次函数的图象上最低点的坐标是A(-1，-2)B(1，-2)C(-1，2)D(1，2)11、若把代数式化为的形式，其中为常数，则=.12、已知、是抛物线上位置不同的两点，且关
16、于抛物线的对称轴对称，则点、的坐标可能是_（写出一对即可）13、函数，当为 时，函数的最大值是 ；14、若二次函数 的最大值为，则常数；B组：1.向上发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y公尺，且时间与高度关系为y=ax2+bx。若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则再下列哪一个时间的高度是最高的？()A. 第8秒 B. 第10秒 C. 第12秒 D. 第15秒 。2抛物线的对称轴是直线（ ）ABCD3函数取得最大值时，_4、已知二次函数若，则其图象与轴的位置关系是 （ ）A 只有一个交点 B 有两个交点 C 没有交点 D 交点数不确定5.(2010台州)如图，点A，B的坐标分别为（1, 4）和
17、（4, 4）,抛物线的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为，则点D的横坐标最大值为( ) A3 B1 C5 D8 yxO第5题图第6题图第 第7题图6.如图，两条抛物线、与分别经过点,且平行于轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为_7.(2010株洲）已知二次函数（为常数），当取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”下图分别是当，时二次函数的图象.它们的顶点在一条直线上，这条直线的解析式是 .二次函数应用题练习1.九五股份有限公司在汉口北投资新建了一商场，黄有商铺30间，据预测，当每间的年租金为10万元时，可全部租出；每间的年租金每增加5000元，少租
18、出商铺一间，该公司要为租出的商铺每年交各种费用1 万元，未租出的商铺每间每年交各种费用5000元。（1）当租金为13万元时，能租出多少间商铺？（2）当每间商铺的年租金定为多少时，该公司的年收益最大？（3）若公司要求收益不低于275万元，则年租金定在什么范围？2.一种进价为每件20元的护眼台灯销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系：设经销商每月获得利润为w（元）（1），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？最大利润是多少元？（2）如果经销商想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果经销商
19、想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？3.如图，足球场上守门员在处开出一高球，球从离地面1米的处飞出（在轴上），运动员乙在距点6米的处发现球在自己头的正上方达到最高点，距地面约4米高，球落地后又一次弹起据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式（2）足球第一次落地点距守门员多少米？（取）（3）运动员乙要抢到第二个落点，他应再向前跑多少米？（取）4.有一种螃蟹，从海上捕获后不放养，最多只能存活两天如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去假设放养
20、期内蟹的个体质量基本保持不变，现有一经销商，按市场价收购这种活蟹1000 kg放养在塘内，此时市场价为每千克30元，据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但是，放养一天需支出各种费用为400元，且平均每天还有10 kg蟹死去，假定死蟹均于当天全部销售出，售价都是每千克20元(1)设x天后每千克活蟹的市场价为p元，写出p关于x的函数关系式；(2)如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记1000 kg蟹的销售总额为Q元，写出Q关于x的函数关系式(3)该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润(利润=Q收购总额)？5. 随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高某园林专业户
21、计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润与投资量成正比例关系，如图12-所示；种植花卉的利润与投资量成二次函数关系，如图12-所示(注：利润与投资量的单位：万元)（1）分别求出利润与关于投资量的函数关系式；（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？6. 一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图16所示)，拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图17所示)，求抛物线的解析式；（2）求支柱的长度；（3）拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)？说明你的理由7. 已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE（如图），其中AF=2，BF=1试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积。8.用19米长的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，CD长表示窗框的宽，EF=0.5米(铝合金条的宽度忽略不计)（1）求窗框的透光面积S（平方米）与窗框的宽x（米）之间的函数关系式；（2）如何设计才能使窗框的透光面积最大？最大面积是多少？（3）当窗框的面积不小于10平方米时，试结合函数图象，直接写出x的取值范围专心-专注-专业