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1、1993年考研数学二真题及答案一、填空题(此题共5小题,每题3分,总分值15分.把答案填在题中横线上.)(1) .(2) 函数由方程所确定,那么.(3) 设,那么函数的单调减少区间是.(4) .(5) 曲线过点,且其上任一点处的切线斜率为,那么.二、选择题(此题共5小题,每题3分,总分值15分.每题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 当时,变量是 ( )(A) 无穷小 (B) 无穷大(C) 有界的,但不是无穷小 (D) 有界的,但不是无穷大(2) 设 那么在点处函数 ( )(A) 不连续 (B) 连续,但不可导(C) 可导,但导数不连续 (D)
2、可导,且导数连续(3) 设,那么为 ( )(A) (B) (C) (D) (4) 设常数,函数在内零点个数为 ( )(A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0(5) 假设,在内,那么在内 ( )(A) (B) (C) (D) 三、(此题共5小题,每题5分,总分值25分.) (1) 设,其中具有二阶导数,求.(2) 求.(3) 求.(4) 求.(5) 求微分方程满足初始条件的特解.四、(此题总分值9分)设二阶常系数线性微分方程的一个特解为,试确定常数,并求该方程的通解.五、(此题总分值9分)设平面图形由与所确定,求图形绕直线旋转一周所得旋转体的体积.六、(此题总分值9分)作半径为的球的外切正
3、圆锥,问此圆锥的高为何值时,其体积最小,并求出该最小值.七、(此题总分值6分)设,常数,证明.八、(此题总分值6分)设在上连续,且,证明：,其中.答案一、填空题(此题共5小题,每题3分,总分值15分.)(1)【答案】(2)【答案】 (3)【答案】(4)【答案】(5)【答案】(5)【答案】(C)三、(此题共5小题,每题5分,总分值25分.) (1), . 或 .(2)应先化简再求函数的极限,.因为,所以.(3)先进展恒等变形,再利用根本积分公式和分部积分法求解.(4)用极限法求广义积分. .(5)所给方程是一阶线性非齐次微分方程,其标准形式是 ,通解为 .代入初始条件 ,得 ,所以 .所求特解为
4、 .四、(此题总分值9分)要确定常数,只需将特解代入原微分方程后,用比拟系数法即得.对于特解,有 , ,代入方程,得恒等式 ,化简得,比拟同类项系数,得,解之得.于是原方程为,所对应的齐次微分方程的特征方程为,解之得 .所以微分方程的通解为.五、(此题总分值9分)利用定积分求旋转体的体积,用微元法.等价于.解法一：考虑对的积分,那么边界限为与,如右图所示.当时, .所以 .对于,令,那么,所以 ；对于 ,所以 .解法二：取为积分变量,那么边界限为与,如右图所示.当时, 所以.令,那么,所以 .再令,那么,所以 ADOCB .所以 .六、(此题总分值9分)这是一个将立体几何问题转化为函数求最值的
5、问题.设圆锥底半径为,如图,.由,有.于是圆锥体积.对上式两端对求导,并令,得,得唯一驻点,且,所以为极小值点也是最小值点,最小体积.七、(此题总分值9分)首先应简化不等式,从中发现规律.当,常数时,原不等式两边取自然对数可化为 或 .证法一：令,那么.由知故 .从而为严格单调递增函数,且即 ,所以 .证法二：令,那么.当时,有,所以函数在为严格单调递减函数,即,所以有 ,即 .八、(此题总分值9分)证法一：用微分中值定理.对任意给定的,由拉格朗日中值定理,得由,知.因为,所以 ,将两边从做的定积分,有.由定积分的根本性质可知 .证法二：用牛顿-莱布尼茨公式.对任意给定的,以及,可知,从而 ,以下同证法一.证法三：分部积分法.所以 .