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1、1998年考研数学二真题及答案一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.)(1) .(2) 曲线与轴所围成的图形的面积 .(3) .(4) 设连续,则 .(5) 曲线的渐近线方程为 .二、选择题(本题共5小题,每小题3分,共15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 设数列与满足,则下列断言正确的是 ( )(A) 若发散,则发散 (B) 若无界,则必有界(C) 若有界,则必为无穷小 (D) 若为无穷小,则必为无穷小(2) 函数的不可导点的个数是 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3(3) 已知
2、函数在任意点处的增量其中是比高阶的无穷小,且,则 ( )(A) (B) (C) (D) (4) 设函数在的某个邻域内连续,且为其极大值,则存在,当时,必有 ( )(A) (B) (C) (D) (5) 设是任一阶方阵,是其伴随矩阵,又为常数,且,则必有 ( )(A) (B) (C) (D) 三、(本题满分5分)求函数在区间内的间断点,并判断其类型.四、(本题满分5分)确定常数的值,使五、(本题满分5分)利用代换将方程化简,并求出原方程的通解.六、(本题满分6分)计算积分.七、(本题满分6分)从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深度(从海平面算起)与下沉速度之间的函数关系.
3、设仪器在重力作用下,从海平面由静止开始铅直下沉,在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用.设仪器的质量为,体积为,海水比重为,仪器所受的阻力与下沉速度成正比,比例系数为.试建立与所满足的微分方程,并求出函数关系式.八、(本题满分8分)设是区间上的任一非负连续函数.(1) 试证存在,使得在区间上以为高的矩形面积,等于在上以为曲边的梯形面积.(2) 又设在区间内可导,且,证明(1)中的是唯一的.九、(本题满分8分)设有曲线,过原点作其切线,求由此曲线、切线及轴围成的平面图形绕 轴旋转一周所得到的旋转体的表面积.十、(本题满分8分)设是一向上凸的连续曲线,其上任意一点处的曲率为,且此曲线上点处的切线方程为
4、,求该曲线的方程,并求函数的极值.十一、(本题满分8分)设,证明：(1) (2) 十二、(本题满分5分)设,其中是4阶单位矩阵,是4阶矩阵的转置矩阵,求.十三、(本题满分8分)已知,问：(1) 取何值时,不能由线性表示？(2) 取何值时,可由线性表示？并写出此表达式.答案一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.)(1)【答案】方法1：用四则运算将分子化简,再用等价无穷小替换,原式.方法2：采用洛必达法则.原式.方法3：将分子按佩亚诺余项泰勒公式展开至项, ,从而 原式.(2)【答案】【分析】求曲线与轴围成的图形的面积,应分清楚位于轴上方还是下方,为此,要先求此曲
5、线与轴交点.与轴的交点,即的根为当时,；当时,从而(3)【答案】因为,所以 .(4)【答案】作积分变量代换,.【相关知识点】1.对积分上限的函数的求导公式：若,均一阶可导,则.(5)【答案】题中未说什么渐近线,所以三类渐近线都要考虑.由曲线方程知,铅直渐近线可能在两处：及,但题设,所以不予考虑,考虑的情况.当时,所以无铅直渐近线；因 故无水平渐近线.再考虑斜渐近线:,(时,)所以有斜渐近线.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,共15分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)【答案】(D)方法1:直接利用无穷小量的性质可以证明(D)是正确的.
6、 由及可知为两个无穷小之积,故亦为无穷小,应选(D).方法2:排除法.(A)的反例:满足题设,但不发散；(B)的反例:,满足,但不是有界数列；(C)的反例:有界数列,满足,但不是无穷小；排除掉(A)、(B)、(C),故选(D).(2)【答案】(B)当函数中出现绝对值号时,就有可能出现不可导的“尖点”,因为这时的函数是分段函数.,当时可导,因而只需在处考察是否可导.在这些点我们分别考察其左、右导数.由 ,即在处可导.又,所以在处不可导.类似,函数在处亦不可导.因此只有2个不可导点,故应选(B).(3)【答案】(A)由有令得是的高阶无穷小,则,即 .分离变量,得 两边积分,得 ,即代入初始条件得所
7、以,.故 (4)【答案】(C)由是的极大点,知存在,当时,即.因此,当时,当时,.所以,(A)与(B)都不正确.已知在处连续,由函数在一点连续的定义可知,再由极限四则运算法则可得.应选(C).(5)【答案】(B)对任何阶矩阵都要成立的关系式,对特殊的阶矩阵自然也要成立.那么,当可逆时,由,有.故应选(B).一般地,若,有,那么矩阵的第行列元素的代数余子式为即中每个元素的代数余子式恰好是相应元素的代数余子式的倍,因而,按伴随矩阵的定义知的元素是对应元素的倍.三、(本题满分5分)【分析】由间断点的定义可知,函数无定义的点一定是间断点,故可以先找出函数无定义的点,再讨论判断出间断点的类型.在区间内的
8、间断点为无定义的点,即各点.在处,；在处,故为的第二类间断点；在处,；在处,但相应的函数值在该点无定义,故在处为可去间断点.四、(本题满分5分)【分析】解决这类问题,原则上与求极限差不多,但是因为其中含有某些参数,比如在用洛必达法则前,极限是否为“”型或“”型,要先行讨论,通过讨论,有时就可以推断出其中参数的特点,然后再求极限,这是一类常考的题目.当时,又由题设所以应有(否则与矛盾),从而只有,因此满足洛必达法则的条件,用洛必达法则求其极限.(当时,)如果,则右边极限为,与原设左边矛盾,故,于是上述等式成为(当时,)所以最后得五、(本题满分5分)方法：由,有代入原方程,得. (*)先求其相应齐
9、次方程的通解,由于其特征方程为,则特征方程的根为.所以通解为 (为任意常数).再求非齐次方程的特解,特解应具有形式,代入(*)式,得解得,因此.故(*)的通解为,(为任意常数).所以,原微分方程的通解为.方法：由,于是原方程化为(以下与方法相同)六、(本题满分6分)当时,被积函数的极限,即是被积函数的无穷间断点,故所给的是广义积分. 其中, 求：设则,于是, .七、(本题满分6分)先建立坐标系,取沉放点为原点,铅直向下作为轴正向,探测器在下沉过程中受重力、浮力和阻力的作用,其中重力大小：,浮力的大小：；阻力：,则由牛顿第二定律得 (*)由,代入(*)得与之间的微分方程.分离变量得 ,两边积分得
10、 , (第一类换元法) .再根据初始条件即.故所求与函数关系为八、(本题满分8分)(1)要证,使；令,要证,使.可以对的原函数使用罗尔定理：,又由在连续在连续,在连续,在可导.根据罗尔定理,使.(2) 由,知在内单调增,故(1)中的是唯一的.九、(本题满分8分)先求切线方程：处的切线为.以代入切线方程,解得,切线方程为.(见右图)由曲线段绕轴的旋转面面积而由曲线段绕轴的旋转面面积由此,旋转体的表面积为十、(本题满分8分)由题设及曲率公式,有(因曲线向上凸,),化简得.改写为 ,两边积分得 ,解得 .由题设,曲线上点处的切线方程为,可知.以代入上式,得.于是有,故有(上式中注明区间是的原因：本题
11、中使正切函数有意义的区间有很多,一般可以写成,本题选择是因为题设曲线在处有值,又已知曲线是一条连续曲线,因此解的范围应该包含在内并且使连续的一个区间.)再积分得又由题设可知,代入确定,于是所求的曲线方程为由于且在定义域内是增函数,所以当且仅当时,即时取得最大值,由于,所以此时也是取极大值,极大值为；显然在没有极小值.十一、(本题满分8分)【分析】不等式的证明一般用单调性来证明,除此之外,还可以用拉格朗日中值公式、拉格朗日余项泰勒公式、最大(小)值来证明.(1)方法1：利用单调性证明.令则在内单调递增,；在内单调递增,；在内单调递增,即.方法2：改写原不等式,当时,故可在不等式两边同时除以,有,
12、两边开平方, .令,故函数在区间上单调减少,由,可知当时,即,从而原不等式成立,证毕.方法3：由方法1,已证于是由的1阶麦克劳林公式(拉格朗日余项)有即,证毕.(2)令,由(1),在单调减,而,且故(*)的通解为,(为任意常数).所以,原微分方程的通解为.方法：由,于是原方程化为(以下与方法相同)六、(本题满分6分)当时,被积函数的极限,即是被积函数的无穷间断点,故所给的是广义积分. 其中, 求：设则,于是, .七、(本题满分6分)先建立坐标系,取沉放点为原点,铅直向下作为轴正向,探测器在下沉过程中受重力、浮力和阻力的作用,其中重力大小：,浮力的大小：；阻力：,则由牛顿第二定律得 (*)由,代
13、入(*)得与之间的微分方程.分离变量得 ,两边积分得 , (第一类换元法) .再根据初始条件即.故所求与函数关系为八、(本题满分8分)(1)要证,使；令,要证,使.可以对的原函数使用罗尔定理：,又由在连续在连续,在连续,在可导.根据罗尔定理,使.(2) 由,知在内单调增,故(1)中的是唯一的.评注：若直接对使用零点定理,会遇到麻烦：.当时,对任何的结论都成立；当时,但,若,则难以说明在内存在.当直接对用零点定理遇到麻烦时,不妨对的原函数使用罗尔定理.九、(本题满分8分)1 2 x(2,1)Oy1先求切线方程：处的切线为.以代入切线方程,解得,切线方程为.(见右图)由曲线段绕轴的旋转面面积而由曲
14、线段绕轴的旋转面面积由此,旋转体的表面积为十、(本题满分8分)由题设及曲率公式,有(因曲线向上凸,),化简得.改写为 ,两边积分得 ,解得 .由题设,曲线上点处的切线方程为,可知.以代入上式,得.于是有,故有(上式中注明区间是的原因：本题中使正切函数有意义的区间有很多,一般可以写成,本题选择是因为题设曲线在处有值,又已知曲线是一条连续曲线,因此解的范围应该包含在内并且使连续的一个区间.)再积分得又由题设可知,代入确定,于是所求的曲线方程为由于且在定义域内是增函数,所以当且仅当时,即时取得最大值,由于,所以此时也是取极大值,极大值为；显然在没有极小值.十一、(本题满分8分)【分析】不等式的证明一
15、般用单调性来证明,除此之外,还可以用拉格朗日中值公式、拉格朗日余项泰勒公式、最大(小)值来证明.(1)方法1：利用单调性证明.令则在内单调递增,；在内单调递增,；在内单调递增,即.方法2：改写原不等式,当时,故可在不等式两边同时除以,有,两边开平方, .令,故函数在区间上单调减少,由,可知当时,即,从而原不等式成立,证毕.方法3：由方法1,已证于是由的1阶麦克劳林公式(拉格朗日余项)有即,证毕.(2)令,由(1),在单调减,而,且,故即证毕.十二、(本题满分5分)由矩阵运算法则,将等式两边左乘,得,即.对上式两端取转置,有.由可逆矩阵及逆矩阵的定义,可知矩阵均可逆,因为是4阶方阵,故. 十三、
16、(本题满分8分)【分析】能由(不能由)线性表出为列向量的非齐次线性方程组有解(无解),从而将线性表出的问题转化为方程组解的情况的判定与求解.令,作方程组,并对此方程组的增广矩阵进行初等变换：其中,变换：将第1行乘以-4加到第2行,再将第1行乘以-2加到第4行；变换：第2行加到第1行,再将第2行乘以-1加到第4行,最后3,4行互换.由非齐次线性方程组有解的判定定理,可得(1)当时,线性方程组无解,此时不能由线性表出.(2)当时,线性方程组有唯一解,下面求此唯一解.由以上增广矩阵变换可得线性方程组的同解方程组为,解得唯一解为.故能由线性表出为(3)当时,线性方程组有无穷多解.求齐次线性方程组的基础解系.齐次线性方程组的同解方程组为,基础解系所含向量的个数为,选为自由未知量,取,解得基础解系为.取,解得的一个特解为,则由非齐次线性方程组解的结构可知,方程组的通解为,是任意常数.则能由线性表出,且表示法为无穷多(常数可以任意),且.