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1、1995年考研数学二真题及答案一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1) 设,则.(2) 微分方程的通解为.(3) 曲线在处的切线方程为.(4) .(5) 曲线的渐近线方程为.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 设和在内有定义,为连续函数,且,有间断点,则 ( )(A) 必有间断点 (B) 必有间断点(C) 必有间断点 (D) 必有间断点(2) 曲线与轴所围图形的面积可表示为 ( )(A) (B) (C) (D) (3) 设在内可导,且对任意,当时,都有
2、,则( )(A) 对任意 (B) 对任意(C) 函数单调增加 (D) 函数单调增加(4) 设函数在上,则或的大小顺序是 ( )(A) (B) (C) (D) (5) 设可导,若使在处可导,则必有 ( )(A) (B) (C) (D) 三、(本题共6小题,每小题5分,满分30分.)(1) 求.(2) 设函数由方程确定,其中具有二阶导数,且,求.(3) 设,且,求. (4) 设试讨论在处的连续性.(5) 求摆线一拱()的弧长.(6) 设单位质点在水平面内作直线运动,初速度,已知阻力与速度成正比(比例常数为1),问为多少时此质点的速度为？并求到此时刻该质点所经过的路程.四、(本题满分8分)求函数的最
3、大值和最小值.五、(本题满分8分)设是微分方程的一个解,求此微分方程满足条件的特解.六、(本题满分8分)如图,设曲线的方程为,且,又分别为该曲线在点处的切线和法线,已知线段的长度为(其中),试推导出点的坐标表达式.七、(本题满分8分)设,计算.八、(本题满分8分)设,且,证明.答案一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】 (2)【答案】(3)【答案】(4)【答案】(5)【答案】二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(D)(2)【答案】(C)(3)【答案】(D)(4)【答案】(B)(5)【答案】(A)三、(本题共6小题,每小题5分,满分30
4、分.)(1)利用等价无穷小计算,即当时,.原式.(2)这是一个由复合函数和隐函数所确定的函数.方法一：将方程两边对求导,得 ,即 ,将代入并化简,得 .两边再对求导,得.将代入并化简得.方法二：方程两边先取对数再对求导.方程两边取对数得 ,求导得 ,因为,所以 .以下同方法一.(3)首先应求出的表达式.由,令得.又,则.解得.因此 .(4)函数在处的导函数连续的充分必要条件是与存在且必与相等.当时,由于 , ,所以 .故在处连续.(5)由弧微分公式得,所以(6)设质点的运动速度为,由题设,阻力为,按牛顿第二定律有,其中质量,即.这是简单变量可分离的微分方程,解之得.另有初始条件,得.当此质点的
5、速度为时,有,得.到此时刻该质点所经过的路程为 .四、(本题满分8分)对函数两边求导并令,得,解得驻点.由于 所以为函数的极大值点,为函数的极小值点,且,又 ,所以 为函数最大值,为函数的最小值.五、(本题满分8分)把和代入所给的一阶线性微分方程,得,解得 .线性方程被确定为,即.这是一阶线性非齐次微分方程,通解为 .再由 得,即.故所求的特解为 .六、(本题满分8分)要求点的坐标,也就是说,要用表示出.由,有, 又由法线的斜率与切线斜率互为负倒数的关系,知, 把式,即代入消去得到 , 由,知曲线是向上凹的,容易看出,所以可化为 ,且 ,于是得 七、(本题满分8分)方法一：这是一个积分上限函数求定积分,可以考虑用定积分的分部积分法.由于 ,因而由分部积分法和,有.方法二：对于二重积分,可以通过变换积分次序来求解.,其中于是 .八、(本题满分8分)由于 ,所以必有,且.证法一：用函数单调性证明不等式.令 ,则 .由于,所以函数单调增加, 在由负变正,所以是的极小值点也是最小值点,即.证法二：用泰勒公式.因为,所以 .所以 .