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1、概率论与数理统计习题第一章习题 1-1（P7）1解： （1）18,4, 3，（2） 1|),22yxyx（(3)t| ,10Nt（本题答案由经济1101 班童婷婷提供）表示只有一件次品，A表示没有次品，B表示至少有一件次品。（本题答案由经济1101 班童婷婷提供）3解： （1）A1A2=“前两次至少有一次击中目标”;（2）2A=“第二次未击中目标” ;（3）A1A2A3=“前三次均击中目标” ;（4）A1A2A3=“前三次射击中至少有一次击中目标”;（5）A3-A2=“第三次击中但第二次未击中”;（6）A32A=“第三次击中但第二次未击中” ;（7）12AAU=“前两次均未击中” ;（8）12
2、A A=“前两次均未击中” ;（9）(A1A2)(A2A3)(A3A1)=“三次射击中至少有两次击中目标”. （本题答案由陈丽娜同学提供）.解： (1)ABC(2)ABC精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 19 页 - - - - - - - - - - (3) ABC(4) AUBUC (5) ABC(6) ABBCACUU(7) ABCUU(8) (AB)U(AC)U(BC)（本题答案由丁汉同学提供）.解： (1)A=BC (2)A=BCU（本题答案由房晋同学提供）习题 1-2
3、（P11）6.解：设 A=“从中任取两只球为颜色不同的球”,则:112538P(A)=/15/ 28C CC（本题答案由顾夏玲同学提供）7.解： (1)组成实验的样本点总数为340C,组成事件 (1)所包含的样本点数为12337C C,所以P1=12337340CCC(2)组成事件 (2)所包含的样本点数为33C,所以P2=33340CC精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 19 页 - - - - - - - - - - (3)组成事件 (3)所包含的样本点数为337C，所以P3=
4、337340CC(4)事件（4）的对立事件，即事件A=“三件全为正品”所包含的样本点数为337C ，所以P4=1-P(A)=337340CC(5)组成事件 (5)所包含的样本点数为2133373CCC，所以P5=2133373340+CCCC（本题答案由金向男同学提供）8.解：(1)组成实验的样本点总数为410,末位先考虑有五种选择，首位除去 0，有 8 种选择。剩余两个位置按排列运算，即事件（1）的概率为112588410CC（2）考虑到末位是否为零的特殊情况，可以分成两种情况讨论。第一种，末位为零，即样本点数为39。第二种，末位不为零，且首位不能为零，所以末位有4 种选择，然后首位考虑除去
5、0 的，有 8 种，剩下两位按排列，样本点数为112488CC。 所以事件的概率为11234889410+CC(本题答案由经济1101童婷婷提供 )9.解： （1）P（A）=7107P10(2)因为不含 1 和 10，所以只有 2-9 八个数字，所以P(B)= 77810精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 19 页 - - - - - - - - - - (3)即选择的 7 个数字中 10 出现 2 次，即27C，其他 9 个数字出现 5 次，即59，所以P(C)= 2577910
6、C(4) 解法 1：10 可以出现 2，3，,7 次，所以7i7727C 9P(D)=10ii解法 2：其对立事件为10出现 1 次或 0 次，则P(D)= 6777991-1010(5)因为最大为 7，最小为 2，且 2 和 7 只出现一次，所以3，4，5，6 这四个数要出现 5 次，即样本点数为125274C C，所以P(E)= 125277410C C（本题答案由刘慧萱同学提供）10.设两数分别为 x, y. 且 0 x1,0y1.(1)提示:x + y12,画出二维坐标图求出阴影部分面积，属于几何概率。011YX1/21/2精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - -
7、 - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 19 页 - - - - - - - - - - s阴影=78P(A)=ss阴影正方形= 78(2)提示：画出 y1ex利用定积分求出面积 .P=2eS阴影=11111edyeyeg=2eP（B）=ss阴影正方形=2e(本题答案由经济1101班童婷婷提供 )习题 1-3（P14）11.证明： A,B同时发生必导致C发生ABC，即 P(C) P(AB)P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)P(AB)= P(A)+P(B)- P(AB)P(AB)1P(AB)P(A)+P(B)-1P(C) P(A)+P(B)
8、-10X(1/e,1)1(1,1/e)Y1精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 19 页 - - - - - - - - - - 上述得证。（本题答案由吕静同学提供）12.证明：因为 P(AB) = P(AUB) = 1 P(AUB) = 1 P(A) P(B) +P(AB)因为 P(A) = P(B) =1 /2所以 P(AB) = 1 1 /2 1 /2 + P(AB)所以 P(AB) = P(AB) （本题答案由缪爱玲同学提供）13.(1)因为 A,B互不相容，即 AB= .所
9、以 P(A-B)=P(A)=,P(A B)=P(A)+P(B)=(2)因为 B A,所以 P(AB)=P(A)=,P(A-B)=P(A)-P(B)=（本题答案由经济1101 班童婷婷提供）14.解：记“订日报的住户 ” 为 P(A)， “订晚报的住户”为P(B) ，根据题意，易知： P(AUB)=70%则 P(AB)=P(A)+P(B)- P(AUB)=40%+65%-70%=35%答：同时订两种报纸的住户有35%。（本题答案由任瑶同学提供）1334372235CCC2415. 解：设“至少有两只白球”的事件为A事件，则C P(A)=（本题答案由屠冉同学提供）精品资料 - - - 欢迎下载 -
10、 - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 19 页 - - - - - - - - - - 16.解：因为 P(CA)=0, 所以 P(ABC)=0.P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)=11/12(本题答案由经济 1101 班童婷婷提供)习题 1-417.解：因为 P（A|B）=P(AB)P(B),P(B|A)= P(AB)P(A),所以利用公式 P(AB)= 112,P（B）=16因为 P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB),所以 P(AB)= 13(本题答
11、案由经济 1101 班童婷婷提供)18.解：因为 A、B互不相容，即 AB=，所以AB，所以 P(AB)=P(A)所以 P(A/B)=P(A B)/P(B)=P(A)1-P(B)=（本题答案由徐小燕同学提供）19.解：P(B|AUB) =P(AB)/P(AUB)因为 P(A)=1-P(A)=，所以 P(AB)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)= P(AB)=即 P(AB)=又因为 P(AUB) = P(A) + P( B) - P(A B) =+ 所以 P(B| AUB) = P(AB)/P(AUB) =（本题答案由徐莘同学提供）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - -
12、- - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 19 页 - - - - - - - - - - 20.解：设“第三次才取到正品”为事件A，则因为要第三次才取到正品，所以前两次要取到次品。第一次取到次品的概率为10100，第二次取到次品的概率为999，第三次取到正品的概率为9098。10990 P(A)=0.00831009998即第三次才取到正品的概率为。（本题答案由许翀翡同学提供）21.解法 1：设 A，B，C 分别为“第一，第二，第三个人译出”的事件，则：P(A)=1 /5 P(B)=1 /3 P(C)=1 /4因为三个事件独立，所以 P(AB)
13、=P(A)P(B)=1/15, P(AC)=P(A)P(C)=1/20 ,P(BC)=P(B)P(C)=1/12, P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=1/60,所以 P(ABCUU)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)=3/5解法 2：设 A=“至少有一人能译出” ，则A=“三个人均不能译出”，所以4 2 33 P(A)=1-P(A)=1-= 5 3 45（本题答案由薛家礼同学提供）22.解：设 P(A),P(B),P(C) 分别为第一，二，三道工序不出废品的概率,精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎
14、下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 19 页 - - - - - - - - - - 则，第一二三道工序均不出废品的概率为P(ABC),因为各工序是否出废品是独立的,所以 P(ABC)= P(A)P(B)P(C)=（本题答案由闫田田同学提供）23 解：设至少需要配置 n 门炮。用iA表示第 i 次击中，则P（1A2AnA）=1-P （1Ag2AggnA）=1-n99.0，求解得出 n6（本题答案由经济1101 班童婷婷同学提供）24.解：根据题意 : 该题为伯努利事件。n=9,p=,k=5,6,7,8,9所求事件概率为P=b(5,9,+b(6,9,+b(7,9
15、,+b(8,9,+b(9,9,=（本题答案由严珩同学提供）25.解：该题为伯努利事件。（1）设事件 A=“恰有 2 个设备被使用”，则：P(A) = b(2; 5, =25C(1- 5-2 = （2）设事件 B= “至少有一个设备被使用”,则B=“没有一个设备被使用” ,所以P(B) = 1- P( B) = 1 - b(0; 5, = 1 05C5-0 = 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 19 页 - - - - - - - - - - （本题答案由张译丹同学提供）习题 1-
16、5（P24）26.解：该题为全概率事件。以A1表示抽到男人，B2表示抽到女人， 以 B表示此人为色盲患者，则P(53)1AP(A2)=52P(B|A1)=%,P( B|A2)=%所以 P(B)=)()|(21iiiApABP=（本题答案由童婷婷同学提供）27.解：该题为全概率事件。设iA=“从甲袋中取出两球中有i 只黑球” ,i=0,1,2，B=“从乙袋中取出 2 球为白球”，则：2402727P Aee11431274=7P A痧e2322731217P Aee260291536P B Aee251291036P B Aee2636P B A2429ee精品资料 - - - 欢迎下载 - -
17、 - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 19 页 - - - - - - - - - - 201963iiiP BP B AP A答：再从乙袋中取出两球为白球的概率为1963。（本题答案由朱盼盼同学提供）28.解：该题为全概率事件。设iA=“敌舰被击中 i 弹”,（i=0,1,2,3） ，B=“敌舰被击沉 ” ，则：根据题意 P(0A)=P (1A)=+=P(2A)=+=P(3A)= =P(B 0A)=0, P(B1A)=, P(B2A)=, P(B3A)=1根据全概率公式有30=0.458iiiP BP B AP A即
18、敌舰被击中的概率为 .（本题答案由朱月如同学提供）29.（1）设 A1为第一次是从第一箱中取，A2为第二次是从第二箱中取，B 为第一次取得的零件是一等品P(A1)=21P(A2)=21精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 19 页 - - - - - - - - - - P(B| A1)=5010P(B| A2)=3018所以 P(B)=)()|(21AAiiiPBP52(2)属于条件概型， B为第一次取得一等品， C为第二次取得也是一等品，P(BC)= 2149951+29173
19、01821=1421276P(B)=52所以 P(C|B)=)()(BPBCP=1421690（本题答案由经济1101 班童婷婷同学提供）30.解：设 A1为“从 2500 米处射击”，A2为“从 2000 米处射击”，A3为“从 1500 米处射击”，B为“击中目标”，由题知 P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=P(B| A1)=, P(B| A2)=, P(B| A3)=所以31=0.05 0.1+0.1 0.7+0.2 0.2=0.115iiiP BP B AP A所以，由 2500 米处的大炮击中的概率为P(A1| B)=P(B| A1) P(A1)/ P(B)=（本题答案由谢莹同
20、学提供）31.解：设事件 A1为“原发信息是 A” ，事件 A2为“原发信息是B” ,B为事件“接收到的信息为A” ，则：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 19 页 - - - - - - - - - - 12121122111121()()33(/)0.98(/)0.02()()(/)()(/)210.980.02330.6620.98()(/)()983(/)( )()0.6699P AP AP B AP BAP BP A P BAP AP BAP A BP BA P AP
21、 ABP BP BQ（本题答案由孙莉莉同学提供）32.解：(1)设他乘火车来为A1，乘汽车来A2，乘飞机来A3,B 为事件他迟到。P(A1)= P(A2)= P(A3)=P(B| A1)= 41P(B| A2)= 31P（B| A3)=0所以 P(B)=31|(iBPAi)P(Ai)=61（2）P（A1|B）=53（本题答案由经济1101 班童婷婷同学提供）复习题 1（P24）33.解： （1）设在 n 个指定的盒子里各有一个球的概率为P(A)，在 n 个指定的盒子里各有一个球的概率： 第一个盒子里有 n 个球可以放入，即有 n 种放法，第二个盒子里有 n-1 种放法那么事件A 的样本点数就是
22、 n！ ，样本点总数是Nn，所以P(A)=!nnN(2) 设 n 个球落入任意的n 个盒子里中的概率为P(B), 因为是精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 19 页 - - - - - - - - - - N 个盒子中任意的 n 个盒子，所以样本点数为C!nnN,所以C!P(B)=nnNnN（本题答案由冯莉同学提供）34.解：设 A=“该班级没有两人生日相同” ，则:40 P(A)36540365P=（本题答案由骆远婷同学提供）35.解：(1)因为最小号码是 5，所以剩下的两个数
23、必须从6，7，8，9，10 五个数中取，所以样本点数为25C，样本点总数为310C，所以23510P()/1/12ACC(2) 因为最大号码是 5，所以剩下的两个数必须从1，2，3，4 五个数中取，所以样本点数为24C，样本点总数为310C，所以23410P( )/1/ 20BCC(3) 因为最小号码小于3，所以若最小号码为 1， 则剩下的两个数必须从2-10 九个数中取，所以样本点数为29C，样本点总数为310C；若最小号码为 2， 则剩下的两个数必须从3-10 八个数中取，所以样本点数为28C，样本点总数为310C，所以2323810910P()/8/15CCCCC（本题答案由顾夏玲同学提
24、供）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 19 页 - - - - - - - - - - 36.解： （1） 设“恰好第三次打开门”为事件A，则4311P(A)=5435（2） 设 A= “三次内打开门”，A1=“第一次打开”，A2=“第二次打开” ，A3=“第三次打开”，则：1231231P(A )=5411P(A )=5451P(A )=53P(A)=P(A )+P(A )+P(A )=5所以（本题答案由缪爱玲同学提供）37.解：设 A=“已有一个女孩” ,B=“至少有一个男
25、孩” ,则P(B/A)=P(AB)/P(A)=(6 /8)/(7/8)=6/7（本题答案由徐小燕同学提供）38.解：设 A1=“取一件为合格品 ” ， A2=“取一件为废品 ” ，B=“任取一件为一等品 ” ，则精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 19 页 - - - - - - - - - - 12121122P(A )=1-4%=96% P(A ) =4%(/)75%(/)0()() (/)() (/)96% 75%+00.72P B AP B AP BP A P B AP
26、A P B A（本题答案由严珩同学提供）39.解：甲获胜乙获胜第一局：第二局：0.80.70.80.70.2 0.80.70.8 0.70.80.3第三局：第四局：MMMMn-1n-1n0.20.80.7 0.8 0.30.80.7第 局：（）（）所以获胜的概率 P1为：n-10.2+0.80.70.2+0.80.70.80.70.2+0.20.80.7L（）1(0.80.7)=0.210.8 0.7n所以乙获胜的概率P2为：n-10.80.3+0.80.70.80.3+0.80.70.80.70.80.3+1(0.80.7)+0.80.30.80.7=0.2410.80.7nL（）精品资料
27、- - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 19 页 - - - - - - - - - - 因为 P1+ P2=1, 12P5=P6，所以：15P=11, 26P =11.40.解：设事件 A0为“笔是从甲盒中取得的” ，事件 A1为“笔是从乙盒中取得的”，事件 A2为“笔是从丙盒中取得的” ；事件 B 为“取得红笔” ，则:0120120011220000111(1)()()()333243(/)(/)(/)666()()(/)()(/)()(/)1 21 41 33 63 63 691182
28、1(2)()2()(/)()(/)()()2 1426 311892P AP AP AP B AP B AP BAP BP AP B AP A P B AP A P B AP BP A BP B AP AP ABP BP BQQ（本题答案由孙莉莉同学提供）41.解：Ai为三个产品中不合格的产品数（i=0，1，2，3） ，A0、A1、A2、A3构成完备事件组， B为“能出厂”，则：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 17 页，共 19 页 - - - - - - - - - - 31221396
29、496496401233333100100100100P(A )=,P(A )= ,P(A )=,P(A )=CCCCCCCCCC，P（B/A0）=（）3，P（B/A1）=（），P（B/A2）=（）（）2，P（B/A3）=（）3P （B）P （B/A0） P （A0）P （B/A1） P(A1)P （B/A2） P(A2)P（B/A3） P（A3）42. 解:图 a：设A 为“系统正常工作”，A1为“第一条线路不发生故障” ，A2为“第二条线路不发生故障”，则:P（A1）=P(A2)=P3，P(A1A2)= P(A1) P(A2)=p6P（A）=P(A1A2)=P(A1)+P(A2)-P(A1
30、A2)=2p3-p6图 b 解法 1:设 B为“系统正常工作”，B1为“1 正常工作”，B2为“2 正常工作” ，B3 为“3.正常工作”，则：P(B1)=P(B2)=P(B3) =2p-p2P(B)= P(B1B2B3)=P(B1)P(B2)P(B3)=(2p-p2)3=8p3-12p4+6p5-p6精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 18 页，共 19 页 - - - - - - - - - - P(B)-P(A)=6p3-12p4+6p5(p=0B系统正常工作的概率大。图 b 解法 2
31、三个大部分各自独立， 需这 3 大部分同时工作才行，即需每一部分的元件至少有1 件可以工作， P=2 343.解：设事件 A 为计算机停止工作，则A为计算机正常工作，则：P(A)=（）2000=0.P(A)=1-P （A）=1-0. =44.证明：因为 P（A|B）=)()(BPABP,P（A|)B_)()(BPBAP=)(1)(BPBAP且由题意知 P（A|B）= P（A|)B，所以 P（AB） -P（AB）)(BP?=P(B) ?P(A)B所以 P(AB)= （） 【P(AB)+ （B） 】又因为 P(AB)=P(A)-P(AB) ()此式在 19 题也用到，所以 P(AB)=P(A)?P(B), 即事件 A 与事件 B相互独立。( 本题参考答案由经济1101 班童婷婷提供 )精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 19 页，共 19 页 - - - - - - - - - -