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1、精选优质文档-倾情为你奉上数学建模实习报告姓名： 学号： 院系： 数学与信息科学专业： 数学与应用数学 1.鱼在游动的时候通常不是作直线运动，而且也不是作水平游动，而是在不断锯齿状地向上游动和向下滑行，如下图所示，为什么鱼儿要这样游动呢？可否从能量的角度建立数学模型加以分析呢 鱼的能量消耗是由生理活动和外界物理活动共同引起的，我们分析鱼的运动路线与能量消耗大小的关系，故不考虑鱼生理活动消耗的能量，只单独认为鱼能量的消耗与运动路线有关。本文根据鱼在水中呈锯齿状游动方式，建立了鱼在水中游动的路线模型，并通过受力分析，建立了鱼的受力模型，解决了鱼在水中沿不同路线游动时能量消耗的问题。首先，我们根据鱼
2、在水中的游动方式建立了A-C-B的运动路线模型及鱼的受力模型。其中，A-C为鱼向上游动过程，C-B为鱼向下滑动路线；然后我们假设鱼是以常速v运动的，分别对鱼向上游动及向下滑动两个过程进行受力分析，鱼在水中受到重力及水的浮力，合力为w，方向向下，鱼运动还受到沿运动方向相反的水的阻力f1，f2；接下来我们对鱼的受力进行分解，将鱼在水中的净重w沿鱼的运动方向分解，分析由于假设鱼是以常速v运动，所以鱼在向上游动的过程需要自身提供动力F1，鱼在向下滑动的过程不消耗能量，由此得到水的阻力f1与w的关系。对于问题（1），根据受力平衡及题中给定力之间的关系，分别在建立的物理模型中标出了这些力；对于题（2）问，
3、先假设鱼向上运动的垂直高度因鱼向下滑动过程不做功h，根据几何关系及夹角之间的关系，分别计算出AC，CB及AB长度大小，然后根据物理做工公式W=F*S计算鱼运动所的做功，分别得出鱼在A-C-B运动过程和A-B过程所做的功W1，W2，由此证明了鱼沿在A-C-B运动过程和A-B过程消耗能量之比；对于题（3），因为鱼做锯齿状游动时，消耗能量的大小受k值及夹角，的大小共同影响。故令Q=w1/w2，因为A,B一定时，鱼水平运动所消耗的能量w2恒定不变，利用matlab求对Q关于的偏导，并令偏导值为零，得出与的关系，因为tan0.2，所以对于不同的k值（1.5,2,3），求出消耗能量最小时的，分别为37，4
4、9，59。1. 问题重述 观察鱼在水中的运动发现，它不是水平游动的，而是突发性、锯齿状地向上游动和向下滑行，可以认为这是在长期进化过程中鱼类选择的消耗能量最小的运动方式。针对这一现象，我们需要解决以下问题： 1.1为方便对该问题的分析，首先进行受力分析，将向下滑行时的阻力、向上游动时所需的力、水平游动时的阻力及水平游动时所需的力表示出来。 1.2证明当鱼要从A点到达处于同一水平线上的B点时，沿折线A-C-B运动消耗的能量与沿水平A-B路线运动消耗的能量之比为(k*sin+sin)/k*sin(+)。 1.3鱼做锯齿状游动时，消耗能量的大小受k值及夹角，的大小共同影响。根据实际观察，tan0.2
5、，对不同的k值（1.5,2,3），根据消耗能量最小的准则估计最佳的值。2.问题分析 鱼在水中会受到重力，水的浮力（两者的合力即为鱼在水中的净重w）和运动时水的阻力共同作用，鱼在做锯齿状运动时，需要克服这些力做功。其中，鱼在向上游动时，需要克服w沿鱼运动方向的分力及水的阻力做功；鱼向下滑动时，w沿鱼运动方向的分力与水的阻力大小相等，方向相反，相互抵消，故鱼本身不做功；水平游动时鱼需要克服水的阻力做功。根据物理功的计算公式w=f*s分别计算出鱼在A-C-B运动过程和A-B过程所做的功W1，W2，由此证明出w1与w2的比值关系；因为A,B一定时，鱼水平运动所消耗的能量w2恒定不变。所以要求鱼做A-C
6、-B折线运动时的最小消耗能量，即可分析w1与w2的比值；观察w1与w2之间比值可得：鱼做锯齿状游动时，消耗能量的大小受k值及夹角，的大小共同影响。根据实际观察，tan0.2，对于不同的k值，的取值决定了鱼消耗能量的大小。因此我们令Q=w1/w2，对Q分别求，的偏导，并分别令偏导等于零，得出与的关系cos(+)=1/k，由此根据不同的k值得到最佳的值使鱼做A-C-B折线运动时消耗的能量最少。3.模型假设与符号说明3.1模型假设 3.11假设鱼能量的消耗的大小只与鱼的运动路线有关。3.12.假设鱼总是以常速v运动，鱼在水中净重为w，向下滑行时的阻力等于w在运动方向的分力。3.13假设鱼做折线运动时
7、控制方向时不消耗能量。3.14.假设鱼在水中运动时没有遇到突发状况。3.15.鱼向上游动时所需的力是w在运动方向分力与游动所受阻力之和。 3.16.鱼在游动时正面受到水的阻力比较小，而侧面受到的阻力较大，故鱼侧面受到的阻力可以与鱼自身重力的分力可相互抵消。3.17鱼游动的阻力是滑行阻力的k倍，水平方向游动时的阻力也是滑行阻力的k倍。3.2符号说明v鱼在水中的运动速度w鱼在水中的净重k游动阻力与滑动阻力的比值h鱼一次折线游动的垂直高度f1鱼向下滑动时水的阻力f2鱼向上游动时水的阻力F1鱼向上游动所需的动力F2鱼水平游动所需的动力鱼向上游动路线与水平的夹角鱼向下滑动路线与水平的夹角w1鱼做折线运动
8、时消耗的能量w2鱼做水平运动时消耗的能量Qw1与w2之比 4. 模型建立根据鱼在水中不同的运动方式及鱼做锯齿状游动时的受力分析，我们对其建立了鱼在水中的运动模型及鱼运动时的受力物理模型，如下图。对于题（1）的要求，这些力已在模型上标出。题（2）问解答：如图，设鱼一次折线游动的垂直高度为h，水平游动的距离即为A到B的长度，AC的长度即为鱼向上游动的距离。由题中已知条件及图中角与线的关系得，w1=w*sin，故f1=w1=w*sinf2=k* f1=kw*sin；根据鱼在水中匀速运动，受力平衡分析，得到F1=w1+f1=kw*sin+w*sin；F2=f2=kw*sin；则鱼做锯齿状运动时需要做的
9、功W1=F1*AC;鱼水平运动时需做的功W2=F2*AB。又由几何关系，AC=h/sin，AB=h*（cot+cot），可得出AC/AB=sin/sin(+)综上，即可得到鱼沿折线运动消耗的能量与沿水平运动消耗的能量之比W1/W2=(k*sin+sin)/k*sin(+)；题（3）问解答：令Q=w1/w2，利用matlab对求偏导，令根据实际观察tan0.2，可求得最佳的。利用matlab求解的到不同的k（1.5,2,3）值对应的值。对于k=1.5时，37；k=2时，49；k=3时595附录对Q关于求偏导及k取不同值时的值的matlab程序。此程序中为方便起见，分别将，用x，y代替 k=1.5
10、 syms y x; f=diff(k*sin(x)+sin(y)/k*sin(x+y)f =cos(x + y)*(sin(x) + (2*sin(y)/3) + sin(x + y)*cos(x) f1=simple(f)f1 = sin(x + 2*y)/3 + sin(2*x + y) - sin(x)/3 syms x y; x,y=solve(tan(x)=0.2,sin(x+2*y)/3+sin(2*x+y)-sin(x)/3=0)x =0.y = -0.+3.e-34*i 2.四人追逐实验 （一）思路如下图所示,在正方形ABCD的四个顶点各有一个人。设在初始时刻时，四人同时出发
11、匀速以沿顺时针走向下一个人。如果他们始终对准下一个人为目标行进，最终结果会如何。作出各自的运动轨迹。 解：该问题可以通过计算机模拟来实现。这需要将时间离散化。设时间间隔为，时刻表示时间 设第个人时刻的位置坐标为： 对前面3个人表达式为： 其中 对第4个人表达式为： 其中 （二）过程Matlab实现程序run.m如下：%模拟运动n=2000;x=zeros(4,n);y=zeros(4,n);dt=0.03; %时间间隔v=30; %速度x(1,1)=1000; y(1,1)=0; %第1个人初始坐标x(2,1)=0; y(2,1)=0; %第2个人初始坐标x(3,1)=0; y(3,1)=10
12、00; %第3个人初始坐标x(4,1)=1000; y(4,1)=1000; %第4个人初始坐标for i=2:n for j=1:3 d=sqrt(x(j+1,i-1)-x(j,i-1)2+(y(j+1,i-1)-y(j,i-1)2); %第j+1个人和第j个人距离 cosx=(x(j+1,i-1)-x(j,i-1)/d; %求cos值 sinx=(y(j+1,i-1)-y(j,i-1)/d; %求sin值 x(j,i)=x(j,i-1)+v*dt*cosx; %求新x坐标 y(j,i)=y(j,i-1)+v*dt*sinx; %求新y坐标 end %考虑第1,2,3人运动一步 d=sqrt
13、(x(1,i-1)-x(4,i-1)2+(y(1,i-1)-y(4,i-1)2); %第4个人和第1个人距离 cosx=(x(1,i-1)-x(4,i-1)/d; %求cos值 sinx=(y(1,i-1)-y(4,i-1)/d; %求sin值 x(4,i)=x(4,i-1)+v*dt*cosx; %求第4点新x坐标 y(4,i)=y(4,i-1)+v*dt*sinx; %求第4点新y坐标 end%plot(x,y)for j=1:nplot(x(1,j),y(1,j),x(2,j),y(2,j),x(3,j),y(3,j),x(4,j),y(4,j) %作点图hold on %保持每次作图,
14、实现各次图行迭加end执行结果见图13、 舰艇追击实验某缉私舰雷达发现距d=10km处有一艘走私船正以匀速u=8km/h沿直线行驶，缉私舰立即以速度v=12km/h追赶，若用雷达进行跟踪，保持船的瞬时速度方向始终指向走私船，试求缉私舰追逐路线和追上的时间。（一）理论求解 该问题采用微分方程求解。 图2 坐标示意图 如图建立坐标系，设开始时走私船位于坐标原点，沿Y轴以u米/秒运动，时刻位置为,开始时缉私舰位于X轴处，沿走私船方向以v米/秒运动，时刻位置为。 直线AB与缉私舰行走路线相切，则由几何关系有： 即 两边对求导有： 则 令，则方程变为： 初始条件为:：则方程变为： 两边积分有： 初始条件
15、为：两边积分得到追击曲线为：当时，走私船坐标。所花时间为将d=10，u=8，v=12有：走私船坐标km，所花时间小时一、 计算机仿真实验 该问题可以通过计算机仿真来实现。这需要将时间离散化。设时间间隔为，时刻表示时间 设走私船时刻的位置坐标为 设缉私舰时刻的位置坐标为 则走私船时刻运动表达式为： 则缉私舰时刻运动离散表达式为： 其中 仿真Matlab程序:dt=0.01; n=151; d=10; u=8; v=12; T=d*v/(v*v-u*u); %理论时间 x1=zeros(n,1); y1=zeros(n,1); x2=zeros(n,1); y2=zeros(n,1); x1(1)
16、=0; y1(1)=0; %走私船开始位置 x2(1)=d; y2(1)=0; %缉私舰开始位置 for j=1:n-1 x1(j)=0; %走私船横坐标 y1(j)=(j+1)*dt*u; %走私船纵坐标 ct=(x1(j)-x2(j)/sqrt(x1(j)-x2(j)2+(y1(j)-y2(j)2); st=(y1(j)-y2(j)/sqrt(x1(j)-x2(j)2+(y1(j)-y2(j)2); x2(j+1)=x2(j)+v*dt*ct; %缉私舰横坐标 y2(j+1)=y2(j)+v*dt*st; %缉私舰纵坐标 end subplot(2,1,1) plot(x1,y1,b,x2
17、,y2,r) title(仿真曲线);%理论曲线 x=d:-0.01:0; k=u/v; subplot(2,1,2) y=d/2*(x/d).(1+k)/(1+k)-(x/d).(1-k)/(1-k)+d*k/(1-k2); plot(x,y,b); title(理论曲线);4.椅子的稳定性问题将四条腿一样长的正方形椅子放在不平的地面上，是否总能设法使它的四条腿同时着地，即放稳。（一）思路对椅子和地面都要作一些必要的假设：（1）椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触可视为一个点，四脚的连线呈正方形。（2）地面高度是连续变化的，沿椅子的任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况），即地面可视为数学
18、上的连续曲面。(3）对于椅脚的间距和椅子脚的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子在任何位置至少有三只同时着地。 B C A x D（二）过程中心问题是数学语言表示四只同时着地的条件、结论。首先用变量表示椅子的位置，由于椅脚的连线呈正方形，以中心为对称点，正方形绕中心的旋转正好代表了椅子的位置的改变，于是可以用旋转角度这一变量来表示椅子的位置。其次要把椅脚着地用数学符号表示出来，如果用某个变量表示椅脚与地面的竖直距离，当这个距离为0时，表示椅脚着地了。椅子要挪动位置说明这个距离是位置变量的函数。由于正方形的中心对称性，只要设两个距离函数就行了，记A、C两脚与地面距离之和为，B、D两脚与地面距离之和
19、为，显然、，由假设2知f、g都是连续函数，再由假设3知、至少有一个为0。当时，不妨设，这样改变椅子的位置使四只同时着地，就归结为如下命题：命题 已知、是的连续函数，对任意，*=0，且，则存在，使。 (三）结果将椅子旋转，对角线AC和BD互换，由可知。令，则，由f、g的连续性知h也是连续函数，由零点定理，则存在使，由，所以。5.某机床厂生产甲、乙两种机床，每台销售后的利润分别为 4000 元与 3000 元。 生产甲机床需用 A、 B机器加工，加工时间分别为每台 2 小时和 1 小时；生产乙机床 需用A 、B、C三种机器加工，加工时间为每台各一小时。若每天可用于加工的机器时 数分别为 A机器 1
20、0 小时、B 机器 8 小时和C 机器 7 小时，问该厂应生产甲、乙机床各几台，才能使总利润最大一、 思路利用线性规划模型，结合mathematica软件计算出利润最大值。二、 过程设该厂生产甲机床X1台和乙机床X2台时，总利润最大，则X1和X2应满足Max u=4x1+3x2 s.t. 2x1+x10 x1+x28 x20在mathematica中输入以下表达式三、 结果 Out1=,总利润最大为26000，其中甲机床生产2台，乙机床生产6台。四、 相关程序命令6.报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回。设报纸每份的购进价为b，零售价为a，退回价为c，假设abc。即报童售出
21、一份报纸赚a-b，退回一份赔b-c。报童每天购进报纸太多，卖不完会赔钱；购进太少，不够卖会少挣钱。试为报童筹划一下每天购进报纸的数量，以获得最大收入。一思路 报童购进数量应根据需求量确定，但需求量是随机的，所以报童每天如果购进的报纸太少，不够买的，会少赚钱；如果购进太多，卖不完就要赔钱，这样由于每天报纸的需求量是随机的，致使报童每天的收入也是随机的，因此衡量报童的收入，不能是报童每天的收入，而应该是他长期（几个月、一年）卖报的日平均收入。从概率论大数定律的观点看，这相当于报童每天收入的期望值，以下简称平均收入。二过程b 购进价格a 零售价格c 退回价格 假设报童已经通过自己的经验或其它渠道掌握
22、了需求量的随机规律，即在他的销售范围内每天报纸的需求量为r份的概率是，（r0,1,2,）。不考虑有重大事件发生时卖报的高峰期，也不考虑风雨天气时卖报的低谷期。根据上面的符号约定，显然有。设报童每天购进n份报纸，因为需求量r是随机的，r可以小于n、等于n或大于n；由于报童每卖出一份报纸赚，退回一份报纸赔bc，所以当这天的需求量rn，则他售出r份，退回nr份，即赚了()r，赔了(bc)(nr)；而当时，则份全部售出，即赚了(ab)n。 记报童每天购进n份报纸时平均收入为，考虑到需求量为r的概率是，所以 ， (4.2-1) 问题归结为在已知时，求n使最大。 通常需求量r的取值和购进量n都相当大，将r
23、视为连续变量，这时转化为概率密度函数，这样(4.2-1)式变为：， (4.2-2) 计算 ， 令 得 ， (4.2-3) 使报童日平均收入达到最大的购进量n应满足(4.2-3)因为 所以(4.2-3)式可变为 即有 (4.2-4) 根据需求量的概率密度P(r)的图形（如图4.3）很容易从(4.2-4)式确定购进量n。 在图中，用分别表示曲线下的两块面积，则(4.2-3)式又可记作： (4.2-5) 图4.3 因为当购进份报纸时： 是需求量r不超过n的概率，即卖不完的概率； 是需求量r超过n的概率，即卖完的概率；所以(4.2-3)式表明：购进的份数n应该使卖不完与卖完的概率之比，恰好等于卖出一份
24、赚的钱ab与退回一份赔的钱bc之比。显然，当报童与邮局签订的合同使报童每份赚钱与赔钱之比越大时，报童购进的份数就应该越多。我们假设上面的问题中报童的需求量服从均值500份均方差50份的正态分布按照上面的模型，根据(4.2-4)式，因为 ab0.05 ,bc0.03 , rN(, 其中 500 ,50 查表可得 n0.32516即每天购进516份报纸。按照(4.2-2)式，可得最高收入G23.484元这样我们就能根据具体情况来确定报童的购报数量了。7.雨中行走问题一个雨天，你有件急事需要从家中到学校去，学校离家不远，仅一公里，况且事情紧急，你来不及花时间去翻找雨具，决定碰一下运气，顶着雨去学校。
25、假设刚刚出发雨就大了，但你不打算再回去了，一路上，你将被大雨淋湿。一个似乎很简单的事情是你应该在雨中尽可能地快走，以减少雨淋的时间。但如果考虑到降雨方向的变化，在全部距离上尽力地快跑不一定是最好的策略。试建立数学模型来探讨如何在雨中行走才能减少淋雨的程度。（一）思路建模目标：在给定的降雨条件下，设计一个雨中行走的策略，使得你被雨水淋湿的程度最少。主要因素：淋雨量，降雨的大小，降雨的方向（风），路程的远近，行走的速度。1. 模型假设即符号说明（1） 把人体视为长方体，身高h米，宽度w米，厚度d米。淋浴总量用C升来记。（2） 降雨大小用降雨强度I（cm/h）来描述，降雨强度指单位时间平面上的降下水
26、的厚度。在这里可视为一常量。（3） 风速保持不变。（4） 你一定速度v(m/s)跑完全程D米。（二）过程（1） 不考虑雨的方向，此时你的前后左右和上下都将被淋雨。淋雨面积：S=2wh+2dh+wd（米2）雨中行走的时间：t= （秒）降雨强度：I（厘米/时）=0.01I（米/时）=（米/秒）淋雨量：C=（米3）=（升）（模型中D，I，S为参数，而v为变量）结论：淋雨量与速度成反比。这也验证了尽可能快跑能减少淋雨量。若取参数D=1000m, I=2cm/h, h=1.5m, w=0.5m, d=0.2m时，则有S=2.2m2 .若你在雨中行走的最大速度v=6m/s, 则计算得你在雨中行走了167秒
27、，即2分47秒。从而可以计算被淋的雨水总量S=2.041升。经仔细分析，可知你在雨中只跑了2分47秒，但被淋了2升的雨水，大约有4酒瓶的水量。这是不可思议的。表明：用此模型描述雨中行走的淋雨量不符合实际。原因是不考虑降雨的方向的假设，是问题过于简单化。（2） 考虑降雨方向，若记雨滴下速度为r（米/秒），雨滴的密度为表示在一定时刻在单位体积的空间内，由雨滴所占的空间的比例数，也称为降雨强度系数。 d w 雨滴下落的反方向 H,h v 人前进的方向所以，I=r因为考虑了降雨的方向，淋湿的部位只有顶部和前面。分两部分计算淋雨量。顶部的淋雨量 C1 = D/v表示在雨中行走的时间，wd表示顶部面积,
28、r sin表示雨滴垂直下落的速度。前表面淋雨量 C2= 总淋雨量（基本模型）C=C1+C2= (drsin+h(rcos+v)取参数r=4m/s, I=36002cm/s, =1.3910-6 ，计算得C=(0.8sin+6cos+1.5v)可以看出：淋雨量与降雨的方向和行走的速度有关。这样问题转化为给定， 如何选择v，使得C最小。情形1 =90度 C=6.9510-4(0.8/v+1.5)结果表明：淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能大时林雨量达到最小。假设你以6m/s的速度在雨中猛跑，则计算得C=11.310-4m3=1.13升情形2 =60度 C=6.9510-4(1.5+(4+3)/v)
29、结果表明：淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能大时淋雨量达到最小。假设你以6m/s的速度在雨中猛跑，则计算得C=1.47升情形3 90180度时此时，雨滴将从后面向你身上落下。 C=6.9510-4(0.8sin+6cos)/v+1.5)令=+30度，则090，计算得C=6.9510-4(0.8cos-6sin)/v+1.5)当从0到90度时，C可能取负值，这是不可能的。出现这个矛盾的原因是我们给出的基本模型是针对雨从你的前面落到身上的情形。因此这种情况要另行讨论。当行走速度慢于雨滴的水平运动速度，即rr sin,这时，雨滴将淋到背上，而淋在背上的雨水量是 淋雨总量为C=当v=sin时，C取到最
30、小值。 C=再次带入数据，得 C=6.9510-4(0.8cos)/(4sin)结果表明：当行走的速度等于雨滴下落的水平速度时，淋雨量最小，仅仅被头顶上的雨水淋湿了。若雨滴是以120的角度落下，即雨滴以=30度的角从背后落下，你应该以v=4sin30=2m/s的速度行走，此时淋雨量为 C=6.9510-4（0.8/2)/2m3=0.24升这就意味着你刚好跟着雨滴前进，前后都没有淋雨。当行走速度快于雨滴的水平速度，即vrsin ，你不断地追赶雨滴，雨水将淋湿你的前胸。被淋得雨量是淋浴总量为C= =Dw(dcos-rsin)/v+h/r)当dcos-rsin0, v尽可能大，C才可能小。当dcos
31、-rsin0, v尽可能小，C才可能小。而当vrsin, 所以v要趋于rsin，C才可能最小。（三）结果若雨是迎着你前进的方向向你落下，这时的策略很简单，应该以最大的速度向前跑；若雨是从你的背后落下，你应该控制你在雨中行走的速度，让它刚好等于落雨速度的水平分量。植物基因的分布8. 时针与分针在第一次重合后，还要经过多长时间才会再次重合呢？自12：00到24：00，它们共重合多少次，都是在什么时间点重合呢？由于时针1分钟旋转的圆心角度数为0.5度，分针1分钟旋转的圆心角度为6度，当两针第一次重合时后到第二次重合，分针比时针多旋转过的圆心角度数为360度，所以两针再次重合需要的时间为： t=65+
32、5/11 分，这类问题实际上是分针追时针的追击问题，它的公式是：t= s/(v1-v2) ，S=60（格），分针速度：V1=1 格/分，时针速度：V2= 1/12 格/分，所以，计算得到t=65+5/11 分，根据以上计算，每隔65+5/11 分时针和分针重合一次。即，从12点开始，每经过65+5/11 分，时针与分针重合一次，全天共重合 22次 。 一昼夜有2460=1,440(分)，所以两针一昼夜重合22(次)。重合次数=1440/（65+5/11）=22次分述如下： 1:（05+5/11）分 2:（10+10/11）分 3:（16+4/11）分 4:（21+9/11）分 5:（27+3/
33、11）分 6:（32+8/11）分 7:（38+2/11）分 8:（43+7/11）分 9:（49+1/11）分 10:（54+6/11）分 12:00分可见，12个小时只重合了11次！ 一天24小时，但是从下午开始到24点又重复了上午12小时的运转,所以下午也是和早上的12小时一样！所以，11乘以2=22(次)。9.假设市场上只有两只股票 B A、 可供某个投资者购买，且该投资者对未来一年的股票市场进行了仔细分析，认为市场只能出现两种可能的情况（1和2）。此外，该投资者对每种情况出现的概率、 每种情况出现时两只股票的增值情况都进行了预测和分析（见表7，可以看出股票 B A、 的均值和方差都是
34、一样的）。该投资者是一位非常保守的投资人，其投资目标是使两种情况下最小的收益最大化（也就是说，不管未来发生哪种情况，他都能至少获得这个收益）。如何建立模型和求解？ 两种情况出现的概率及两只股票的增值情况情形发生概率股票A股票B10.81.01.220.21.50.7一、 思路设年初投资股票A,B的比例分别为x1,x2, 决策变量 x1,x2显然应该满足x1,x20,xi+x2=1. 此外，使最小收益最大的“保守”目标实际上就是希望：maxmin(1.0x1+1.2x2,1.5x1+0.7x2) 引入一个辅助变量y=min(1.0x1+1.2x2,1.5x1+0.7x2), 这个模型就可以线性化
35、为max y s.t. x1+x2=1 x1+1.2x2y 1.5x1+0.7x2y二、过程（lingo）model: sets: COL/1.2/:x; ROW/1.2/; link(ROW,COL):a; endsets data: a=1 1.2 1.5 0.7; enddata max=y; -377-sum(COL:x)=1; for(ROW(i):sum(COL(j):a(i,j)*x(j)y); End三、结果可见，此时应该投资A、B股票各50，至少可以增值10。10.在影视厅或报告厅，经常会为前边观众遮挡住自己的视线而苦恼。显然，场内的观众都在朝台上看，如果场内地面不做成前低后
36、高的坡度模式，那么前边观众必然会遮挡后面观众的视线。试建立数学模型设计良好的报告厅地面坡度曲线一 思路o处在台上的设计视点a第一排观众与设计视点的水平距离b第一排观众的眼睛到地面的垂 直距离d相邻两排的排距视线升高标准x表示任一排与设计视点的水平距离求任一排x与设计视点o的竖直距离函数使此曲线满足视线的无遮挡要求。二、过程设眼睛升起曲线应满足微分方程初始条件1） 从第一排起，观众眼睛与o点的连线的斜率随排数的增加而增加，而眼睛升起曲线显然与这些直线皆相交，故此升起曲线是凹的。2）选择某排和相邻排 相似于 再计算相似于 模型求解微分不等式（比较定理）设函数定义在某个区域上，且满足1）在D上满足存在唯一性定理的条件；2）在D上有不等式 则初值问题与的解在它们共同存在区间上满足 所求曲线的近似曲线方程（折衷法）折衷法专心-专注-专业