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1、精品文档精品文档2012 年全国初中数学竞赛试题一、选择题1 如果实数 a， b， c 在数轴上的位置如图所示， 那么代数式22|()|aabcabc可以化简为（） （A）2c a（B）2a 2b（C） a（D）a2如果22a，那么11123a的值为（） （A）2（B）2（C）2 （D）2 23如果正比例函数 y = ax（a 0）与反比例函数 y =xb（b 0）的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为（ 3，2） ，那么另一个交点的坐标为（） （A）（2，3）（B）（3，2）（C）（ 2，3） （D）（3，2）4 在平面直角坐标系xOy中，满足不等式 x2y22x2y 的整数点坐标（ x，y
2、）的个数为（） （A）10 （B）9 （C）7 （D）5 5如果ab，为给定的实数，且1ab，那么1121aabab，这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（） （A）1 （B）214a（C）12（D）146如图，四边形 ABCD 中，AC，BD 是对角线， ABC 是等边三角形30ADC，AD = 3，BD = 5，则 CD 的长为（） （A）23（B）4 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档（C）52（D）4.
3、5 7小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币小倩对小玲说：“你若给我 2 元，我的钱数将是你的 n 倍” ；小玲对小倩说：“你若给我 n 元，我的钱数将是你的2 倍” ，其中 n为正整数，则 n 的可能值的个数是（） （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 8如果关于 x 的方程20 xpxqpq（ ，是正整数）的正根小于 3， 那么这样的方程的个数是 （） （A） 5 （B） 6 （C） 7 （D） 8 9一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4 的余数分别是 0， 1， 2， 3 的概率为0123pppp， 则0
4、123p p pp，中最大的是（） （A）0p（B）1p（C）2p（D）3p10黑板上写有111123100， ， ，共 100 个数字每次操作先从黑板上的数中选取2 个数 ab，然后删去 ab， ，并在黑板上写上数abab，则经过 99 次操作后，黑板上剩下的数是（） （A）2012 （B）101 （C）100 （D）99 11按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x”到“结果是否 487？”为一次操作 . 如果操作进行四次才停止，那么x 的取值范围是. 12如图，正方形 ABCD 的边长为 215，E，F 分别是 AB，BC 的中点， AF 与 DE，DB 分别交于点 M，N，
5、则 DMN 的面积是 .13 如果关于 x的方程 x2+kx+43k23k+92= 0的两个实数根分别为1x，2x， 那 么精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档2012220111xx的值为142 位八年级同学和m 位九年级同学一起参加象棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此恰好比赛一场记分规则是：每场比赛胜者得3 分，负者得 0 分；平局各得 1 分. 比赛结束后，所有同学的得分总和为130分，而且平局数不超过比赛
6、局数的一半，则m 的值为. 15如图，四边形 ABCD 内接于 O，AB 是直径，AD = DC. 分别延长 BA，CD，交点为 E. 作 BFEC，并与 EC 的延长线交于点 F. 若 AE = AO，BC = 6，则 CF 的长为. 16已知二次函数232yxmxm（），当13x时，恒有0y；关于 x 的方程2320 xmxm（）的两个实数根的倒数和小于910求m的取值范围17如图， O 的直径为 AB ，O1O过点 O，且与 O 内切于点 B C为O 上的点， OC 与1O交于点 D ，且ODCD 点 E 在OD 上，且 DCDE ，BE 的延长线与1O交于点 F ，求证：BOC1DO
7、F精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档18已知整数 a，b 满足： ab是素数，且 ab 是完全平方数 . 当 a2012 时，求 a 的最小值 . 19 求所有正整数 n， 使得存在正整数122012xxx， 满足122012xxx， 且122 0 1122 0 1 2nxxx.2012年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题1 。C精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下
8、载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档解：由实数 a，b，c 在数轴上的位置可知0bac ，且 bc ，所以22|()|()()()aabcabcaabcabca2B解：1111111122122312a111212213D 解：由题设知，2( 3)a，( 3) ( 2)b，所以263ab，. 解方程组236yxyx，得32xy，；32 .xy，所以另一个交点的坐标为（3，2）. 注：利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性，可知两个交点关于原点对称，因此另一个交点的坐标为（ 3，2）. 4B 解
9、：由题设 x2y22x2y， 得 022(1)(1)xy2. 因为xy，均为整数，所以有22(1)0(1)0 xy，；22(1)0(1)1xy，；22(1)1(1)0 xy，；22(1)1(1)1.xy，解得精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档11xy，；12xy，；10 xy，；01xy，；00 xy，；02xy，；21xy，；20 xy，；22.xy，以上共计 9 对xy（ ， ）. 5D 解：由题设知，1112
10、aabab，所以这四个数据的平均数为1(1)(1)(2)34244aababab，中位数为(1 )(1 )44224aabab，于是4423421444abab. 6B 解： 如图，以 CD 为边作等边 CDE，连接 AE. 由于 AC = BC，CD = CE，BCD=BCA+ACD=DCE+ACD =ACE，所以 BCDACE， BD = AE. 又因为30ADC，所以90ADE. 在 Rt ADE 中，53AEAD，于是 DE=224AEAD，所以 CD = DE = 4. 7D 解：设小倩所有的钱数为x 元、小玲所有的钱数为y元， xy， 均为非负整数 . 由题设可得2(2)2()xn
11、 yynxn，消去 x 得(2y7)n = y+4，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档2n =721517215)72(yyy. 因为1527y为正整数，所以 2y7 的值分别为 1，3，5，15，所以 y 的值只能为 4，5，6，11从而 n 的值分别为 8，3，2，1；x 的值分别为 14，7，6，78C 解： 由一元二次方程根与系数关系知，两根的乘积为0q，故方程的根为一正一负由二次函数2yxpxq的图象知，
12、当3x时，0y，所以2330pq，即39pq. 由于 pq， 都是正整数，所以1p，1q5；或2p，1q2，此时都有240pq. 于是共有 7 组pq（ ， ）符合题意9D 解：掷两次骰子，其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36个，其和除以 4 的余数分别是 0，1，2，3 的有序数对有 9 个，8 个，9 个，10 个，所以01239891036363636pppp，因此3p最大10C 解：因为1(1)(1)ababab，所以每次操作前和操作后，黑板上的每个数加1 后的乘积不变设经过 99 次操作后黑板上剩下的数为x，则1111(1 1)(1)(1)(1)23100 x，解得1101x
13、，100 x117x19 解：前四次操作的结果分别为3x2，3(3x2)2 = 9x8，3(9x8)2 = 27x26，3(27x26)2 = 81x80. 由已知得27x26487，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档81x80487. 解得7x19. 容易验证，当 7x19 时， 32x487 98x487，故 x 的取值范围是7x19128 解：连接 DF，记正方形ABCD的边长为 2a. 由题设易知BFNDA
14、N，所以21ADANDNBFNFBN，由此得2ANNF，所以23ANAF. 在 RtABF 中，因为2ABaBFa，所以225AFABBFa，于是2 5cos5ABBAFAF. 由题设可知 ADEBAF，所以AEDAFB，0018018090AMEBAFAEDBAFAFB. 于是2 5cos5AMAEBAFa，24 5315MNANAMAFAMa，415MNDAFDSMNSAF. 又21(2 ) (2 )22AFDSaaa，所以2481515MNDAFDSSa. 因为15a，所以8MNDS. 1332精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳
15、 - - - - - - - - - -第 8 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档解： 根据题意，关于 x 的方程有=k24239(3)42kk0，由此得(k3)20又(k3)20，所以 (k3)2=0，从而 k=3. 此时方程为 x2+3x+49=0，解得 x1=x2=32. 故2012220111xx=21x=23148 解：设平局数为a，胜（负）局数为b，由题设知23130ab，由此得 0b43. 又(1)(2)2mmab，所以22(1)(2)abmm. 于是0130(1)(2)bmm43，87(1)(2)mm130，由此得8m，或9m. 当8m时
16、，405ba，；当9m时，2035ba，5522aba，不合题设 . 故8m15223解： 如图，连接 AC，BD，OD. 由 AB 是O 的直径知 BCA =BDA = 90. 依题设 BFC = 90，四边形 ABCD 是O 的内接四边形，所以 BCF =BAD,精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档所以 RtBCFRtBAD ，因此BCBACFAD. 因为 OD 是O 的半径， AD = CD，所以 OD 垂直平
17、分 AC，ODBC，于是2DEOEDCOB. 因此223DECDADCEAD，. 由 AED CEB，知 DE ECAE BE 因为322BAAEBEBA，所以32322BAADADBA，BA=22AD ，故ADCFBCBA3 222 2BC. 16解： 因为当13x时，恒有0y，所以23420mm（）（），即210m（），所以1m（ 3 分）当1x时， y 0；当3x时， y 0，即2( 1)(3)( 1)2mm0 ，且233 (3 )2mm 0，解得m5（ 8 分）设方程2320 xmxm的两个实数根分别为12xx，由一元二次方程根与系数的关系得121232xxmx xm，精品资料 - -
18、 - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档因为1211910 xx，所以121239210 xxmx xm，解得12m，或2m因此12m17 证明：连接 BD，因为 OB 为1O的直径，所以90ODB又因为 DCDE ，所以 CBE 是等腰三角形设 BC与1O交于点 M ，连接 OM，则90OMB又因为 OCOB ，所以22BOCDOMDBC12DBFDO F又因为1BOCDO F，分别是等腰 BOC ，等腰1DO F的顶角，所以BOC
19、1DO F18解：设 ab = m（m是素数） ，ab = n2（n 是正整数） . 因为(a+b)24ab = (ab)2，所以(2am)24n2 = m2，(2am+2n)(2am2n) = m2. 因为 2am+2n 与 2am2n 都是正整数，且 2am+2n2am2n ( m 为素数 )，所以精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档2am+2nm 2，2am2n1. 解得a2(1)4m，n214m. 于是b
20、= am214m（）. 又 a2012，即2(1)4m2012. 又因为 m 是素数，解得 m89. 此时， a41)(892=2025. 当2025a时，89m，1936b，1980n. 因此， a 的最小值为 2025. 19解：由于122012xxx，都是正整数，且122012xxx，所以1x1，2x2，2012x2012于是122012122012nxxx1220122012122012当1n时，令12201220122201220122012xxx，则精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档1220121220121xxx. 当1nk时，其中 1k 2011，令1212kxxxk，122012(2012)(1)(2012)(2)(2012)2012kkxkkxkkxk,，则1220121220121(2012)2012kkxxxk1kn综上，满足条件的所有正整数n 为122012， ，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 13 页 - - - - - - - - - -