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1、第 1 页 共 6 页2011年全国初中数学竞赛试题考试时间 2011年 3 月 20 日 9301130 满分 150 答题时注意：1、用圆珠笔或钢笔作答2、解答书写时不要超过装订线3、草稿纸不上交。一、选择题（共 5 小题，每小题 7 分，共 35分。每道小题均给出了代号为A、B、C、D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0 分）1、设532x，则代数式(1)(2)(3)x xxx的值为（C）A0B1C1D2 2、对于任意实数,a b cd，定义有序实数对(,)a b与(,)c d之间的运算“”为：(,)(,)(,)a bc
2、dacbdadbc。如果对于任意实数,u v，都有(,)(,)(,)uvxyu v，那么(,)xy为（B）。A(0,1)B(1,0)C(1,0)D(0,1)3、已知,AB是两个锐角，且满足225sincos4ABt，2223cossin4ABt，则实数 t所有可能值的和为（C）A83B53C1D1134、如图，点,DE分别在 ABC 的边 AB，AC 上，BE，CD 相交于点 F，设1EADFSS四边形，BDF2SS，BCF3SS，CEF4SS，则13SS 与24S S 的大小关系为（C）A13SS24S SB13SS 24S SC13SS24S SD不能确定5、设33331111S12320
3、11，则 4S的整数部分等于（A）A4B5C6D7 二、填空题（共 5 小题，每小题 7 分，共 35 分）6、两条直角边长分别是整数,a b（其中2011b），斜边长是1b的直角三角形的个数为 31。7、一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8。同时掷这A B C E D F 第 2 页 共 6 页两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为5 的概率是。918、如图，双曲线2(0)yxx与矩形 OABC 的边CB，BA 分别交于点 E，F 且 AFBF，连接 EF，则OEF 的面积为；239、O的三个
4、不同的内接正三角形将O分成的区域的个数为。28 10、设四位数 abcd满足3333110abcdcd，则这样的四位数的个数为。5 三、解答题（共 4 题，每题 20 分，共 80 分）11、已知关于 x的一元二次方程20 xcxa的两个整数根恰好比方程20 xaxb的两个根都大 1，求abc的值。解：设方程20 xaxb的两个根为、，其中、为整数，且 则方程20 xcxa的两个整数根为 1、1，由根与系数关系得：a，(1)(1)a两式相加得：2210 即(2)(2)33212或1232解得：11或35又a()，b，c(1)(1)a0，b 1，c2或a8，b15，c6 故abc3或abc29
5、12、如图，点 H 为ABC 的垂心，以 AB 为直径的1O 和BCH 的外接圆2O相交于点 D，延长 AD 交 CH 于点 P，求证：点 P为 CH 的中点。证明：如图，延长AP 交2O 于点 Q 连结 AH，BD，QC，QH AB 为直径 ADB BDQ900 BQ 为2O 的直径于是 CQBC，BHHQ 点 H 为ABC 的垂心 AHBC，BHAC AHCQ，ACHQ，四边形 ACHQ 为平行四边形则点 P 为 CH 的中点。y x C A B E F O A B C 1OH 2OP D Q 第 3 页 共 6 页13、若从 1，2，3，n中任取 5 个两两互素的不同的整数1a，2a，3
6、a，4a，5a，其中总有一个整数是素数，求n的最大值。解：若 n49，取整数 1，22，32，52，72，这五个整数是五个两两互素的不同的整数，但没有一个整数是素数，n48，在 1，2，3，48中任取 5个两两互素的不同的整数1a，2a，3a，4a，5a，若1a，2a，3a，4a，5a 都不是素数，则1a，2a，3a，4a，5a 中至少有四个数是合数，不妨假设1a，2a，3a，4a 为合数，设1a，2a，3a，4a 的最小的素因数分别为p1，p2，p3，p4由于1a，2a，3a，4a 两两互素，p1，p2，p3，p4两两不同设 p 是 p1，p2，p3，p4中的最大数，则p7 因为1a，2a，
7、3a，4a 为合数，所以1a，2a，3a，4a 中一定存在一个ajp27249，与 n49 矛盾，于是1a，2a，3a，4a，5a 中一定有一个是素数综上所述，正整数n 的最大值为 48。14、如图，ABC 中，BAC60，AB2AC。点 P在ABC 内，且 PA3，PB5，PC2，求 ABC 的面积。解：如图，作 ABQ，使得：QABPAC，ABQACP，则ABQ ACP，由于 AB2AC，相似比为 2 于是，AQ2 AP23，BQ2CP4 QAPQABBAPPACBAPBAC60由 AQ：AP2：1 知，APQ900 于是，PQ3AP3 BP225BQ 2PQ 2从而 BQP900作 AM
8、 BQ 于 M，由 BQA1200，知AQM 600，QM3，AM 3，于是，AB2BM 2AM 2(43)2322883故 SABC21AB?ACsin60083AB 22376A C P B Q M 第 4 页 共 6 页题目：1.分解因式：(x4-x2-4)(x4+x2+3)+10=_.(第 12 届“五羊杯 竞赛题”)2.多项式 x2y-y2z+z2x-x2z+y2x+z2y-2xyz因式分解 后的结果是（）A.(y-z)(x+y)(x-z)B.(y-z)(x-y)(x+z)C.(y+z)(x-y)(x+z)D.(y+z)(x+y)(x-z)(上海市 竞赛题)分解因式：3.(x+1)(
9、x+2)(x+3)(x+6)+x2(天津市 竞赛题)4.1999x2-(19992-1)x-1999(重庆市 竞赛题)5.(x+y-2xy)(x+y-2)+(xy-1)2(“希望杯”邀请赛试题)6.(2x-3y)3+(3x-2y)3-125(x-y)3(第 13 届“五羊杯”竞赛题)7.a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)8.x2+xy-2y2-x+7y-6 9.证明：对任何整数x 和 y，下式的值都不会等于33.x5+3x4y-5x3y2-15x2y3+4xy4+12y5.(莫斯科 奥林匹克八年级试题)10.分解因式：4x2-4x-y2+4y-3=_.(重庆市竞赛题)11.如果 x
10、3+ax2+bx+8有两个因式x+1 和 x+2,则 a+b=()A.7 B.8 C.15 D.21(武汉市选拔赛试题)分解因式：12.x4-7x2+1(“祖冲之 杯”邀请赛试题)13.x4+x2+2ax+1-a2(哈尔滨市竞赛题)14.x4+2x3+3x2+2x+1(河南省 竞赛题)15.k 为何值时，多项式x2-2xy+ky2+3x-5y+2能分解成两个一次因式的积？(天津市竞赛题)16.如果多项式x2-(a+5)x+5a-1能分解成两个一次因式(x+b)、(x+c)的乘积(b、c 为整数)，则 a的值应为多少？(第 17 届江苏省竞赛题)17.若 x2+xy+y=14,y2+xy+x=2
11、8,则 x+y 的值为 _.(全国初中数学联赛题)18.已知 a、b、c 是一个三角形的三边，则a4+b4+c4-2a2b2-2b2c2-2c2a2的值()A.恒正 B.恒负 C.可正可负D.非负(太原市 竞赛题)（下面这几题是分数，我这么打，看不明白再跟我说）计算下列各题：19.分子：(2*5+2)(4*7+2)(6*9+2)(8*11+2)(1994*1997+2)分母：(1*4+2)(3*6+2)(5*8+2)(7*10+2)(1993*1996+2)20.分子：20003-2*20002-1998 分母：20003+20002-2001 21.分子：(74+64)(154+64)(23
12、4+64)(314+64)(394+64)分母：(34+64)(114+64)(194+64)(274+64)(354+64)(第 9 届“华杯赛”试题)22.已知 n 是正整数，且n4-16n2+100是质数，求 n 的值.(第 13 届“希望杯”邀请赛试题)23.求方程 6xy+4x-9y-7=0的整数解.(上海市竞赛题)24.设 x、y 为正整数，且x2+y2+4y-96=0,求 xy 的值.(第 14 届“希望杯”邀请赛试题)第 5 页 共 6 页思路点拨：1.视 x4+x2 为一个整体，用一个新字母代替，从而能简化式子的结构.2.原式是一个复杂的三元 三次多项式，直接分解有一定困难，
13、把原式整理成关于某个字母按降幂排列的多项式，改变其结构，寻找分解的突破口.3.原式是形如abcd+e 型的多项式，分解此类多项式时，可适当把4 个因式两两分组，使得分组相乘后所得的有相同的部分.4.原式中系数较大，不妨把数用字母表示.5.原式中 x+y,xy 多次出现，可引进两个新字母，突出式子特点.6.原式前两项与后一项有密切联系.(个人觉得这句话真废)7.原式字母多、次数高，可尝试用主元法.8.原式是形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的二元二次多项式，解题思路宽，用主元法或分组分解法或用 待定系数法 分解.9.33不可能分解为四个以上不同因数 的积，于是将问题转化为只需证明原式可分
14、解为四个以上因式的乘积即可.10.直接分组分解困难，由式子的特点易想到完全平方式，关键是将 常数项 拆成几个数的 代数和，以便凑配.11.原多项式的第三个因式必是形如x+c 的一次两项式，故可考虑用待定系数法解，或用赋值法.12、13、14 所给多项式，或有两项的平方和、或有两项的积的2 倍，只需配上缺项，就能用配方法 恰当分解.15.因 k 为二次项系数，故不宜从二次项入手，而x2+3x+2=(x+1)(x+2)，可得多项式必为(x+my+1)(x+ny+2)的形式.16.由待定系数法得到b、c、a 的方程组，通过消元、分解因式解不定方程，求出 b、c、a 的值.17.恰当处理两个等式，分解
15、关于x+y 的二次三项式.18.从变形给定的代数式 入手，解题的关键是由式子的特点联想到熟悉的结果，注意几何定理 的约束.19、20、21.观察分子、分母数字间的特点，用字母表示数，从一般情况考虑，通过分解变形，寻找复杂数值下隐含的规律.对于21，运用a4+64=(a4+16a2+64)-16a2=(a2+8)2-(4a)2=(a2+4a+8)(a2-4a+8)的结果.22.从 因数分解 的角度看，质数只能分解成1 和它本身的乘积(也可以从整除的角度看)，故对原式进行恰当的分解变形，是解本题最自然的思路.23、24.观察方程的特点，利用整数解这个特殊条件，运用因式分解或配方，寻找解题突破口.答
16、案(打得好累，直接就打最后答案了)：1.(x2+1)(x+1)(x-1)(x4+x2+1)2.A 3.(x2+6x+6)2 4.(1999x+1)(x-1999)5.(x-1)2(y-1)2 6.-15(x-y)(2x-3y)(3x-2y)7.(b-c)(a-b)(a-c)第 6 页 共 6 页8.(x-y+2)(x+2y-3)9.原式=(x+3y)(x-y)(x+y)(x-2y)(x+2y)当 y=0 时，原式=x5 不等于 33；当 y 不等于 0 时，x+3y、x-y、x+y、x-2y、x+2y 互不相同，而 33 不可能分解为四个以上不同因数的积，所以当x 取任意整数，y 取不为零的任意整数时，原式不等于33.10.(2x+y-3)(2x-y+1)11.D 12.(x2+3x+1)(x2-3x+1)13.(x2+x+1-a)(x2-x+a+1)14.(x2+x+1)2 15.-3 16.5 17.6 或-7 18.B 19.998 20.666/667 21.337 22.3 23.x=1,y=-1 24.36 或 32 OVER!