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1、资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑勾股定理经典例题透析类型一：勾股定理的直接用法 1 、在 RtABC中， C=90 (1)已知 a=6， c=10 ，求 b， (2) 已知 a=40，b=9，求 c； (3) 已知 c=25，b=15，求 a. 思路点拨 :写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。解析： (1) 在ABC中， C=90，a=6，c=10,b= (2) 在ABC中， C=90，a=40，b=9,c= (3) 在ABC中， C=90，c=25，b=15,a=举一反三【变式】如图B=ACD=90, AD=13,CD=12, BC=3
2、, 则 AB的长是多少 ? 【答案】ACD=90AD=13, CD=12 AC2 =AD2CD2=132122=25 AC=5 又 ABC=90 且BC=3 由勾股定理可得 AB2=AC2BC2 =5232 =16 AB= 4 AB的长是 4. 类型二：勾股定理的构造应用 2 、如图，已知：在中，. 求BC的长 . 思路点拨 ：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于D，则有，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的长 . 解析 ：作于D，则因，（的两个锐角互余）（在中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半）. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - -
3、 - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑根据勾股定理，在中，. 根据勾股定理，在中，. . 举一反三 【变式 1】如图，已知：，于P. 求证：. 解析 ：连结 BM ，根据勾股定理，在中，. 而在中，则根据勾股定理有. 又（已知），. 在中，根据勾股定理有，. 【变式 2】已知：如图，B=D=90 ， A=60，AB=4，CD=2 。求：四边形ABCD 的面积。分析 ：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC ，或延长AB 、DC交于
4、 F，或延长AD 、BC交于点E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。解析 ：延长 AD 、BC交于 E。 A= 60， B=90， E=30。AE=2AB=8 ，CE=2CD=4 ，BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE=。DE2= CE2-CD2=42-22=12，DE=。S四边形 ABCD=SABE-SCDE=AB BE-CD DE=精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络，如
5、有侵权请联系网站删除word 可编辑类型三：勾股定理的实际应用（一）用勾股定理求两点之间的距离问题 3 、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60方向走了到达 B点， 然后再沿北偏西30方向走了500m到达目的地C点。（1）求 A、C两点之间的距离。（2）确定目的地C在营地 A的什么方向。解析 ： （ 1）过 B点作 BE/AD DAB= ABE=60 30+CBA+ ABE=180 CBA=90 即 ABC为直角三角形由已知可得： BC=500m ，AB=由勾股定理可得：所以（2）在 RtABC中，BC=500m ，AC=1000m CAB=30 DAB=60 DAC=
6、30 即点 C在点 A的北偏东 30的方向举一反三【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5 米，宽 1.6 米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门? 【答案】由于厂门宽度足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH 如图所示，点D在离厂门中线0.8 米处，且 CD ，与地面交于H解： OC 1 米 ( 大门宽度一半 ) ， OD0.8 米 （卡车宽度一半）在RtOCD 中，由勾股定理得： CD精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 11 页 -
7、 - - - - - - - - - 资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑. 米， C . . . （米） . （米）因此高度上有0.4 米的余量，所以卡车能通过厂门（二）用勾股定理求最短问题 4 、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄 A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线思路点拨 ：解答本题的思路是：最省电线就是线路长最短，通过利用勾股定理计算线路长，然后进行比较，得出结论解析 ：设正方形的边长为1
8、，则图（ 1） 、图（ 2）中的总线路长分别为 AB+BC+CD 3，AB+BC+CD3 图（ 3）中，在 RtABC中同理图（ 3）中的路线长为图（ 4）中，延长EF交 BC于 H，则 FH BC ，BH CH 由 FBH 及勾股定理得： EAED FB FCEF12FH1此图中总线路的长为4EA+EF 3 2.8282.732 图（ 4）的连接线路最短，即图（4）的架设方案最省电线举一反三【变式】如图，一圆柱体的底面周长为20cm ，高为4cm，是上底面的直径一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - -
9、 - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑解：如图，在 Rt中，底面周长的一半cm， 根据勾股定理得（提问：勾股定理） AC（cm） （勾股定理） 答：最短路程约为cm类型四：利用勾股定理作长为的线段 5 、作长为、的线段。思路点拨： 由勾股定理得，直角边为1 的等腰直角三角形，斜边长就等于，直角边为和 1 的直角三角形斜边长就是，类似地可作。作法 ：如图所示（1）作直角边为1（单位长）的等腰直角ACB ，使 AB为斜边；（2）以 AB为一条直角边，
10、作另一直角边为1 的直角。斜边为；（3）顺次这样做下去，最后做到直角三角形，这样斜边、的长度就是、。举一反三【变式】在数轴上表示的点。解析：可以把看作是直角三角形的斜边，为了有利于画图，让其他两边的长为整数，而10 又是 9 和 1 这两个完全平方数的和，得另外两边分别是3 和 1。作法 ：如图所示在数轴上找到A点，使 OA=3 ，作 AC OA且截取 AC=1 ，以 OC为半径，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络，
11、如有侵权请联系网站删除word 可编辑以 O为圆心做弧，弧与数轴的交点B即为。类型五：逆命题与勾股定理逆定理 6 、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确 1 原命题：猫有四只脚 （正确） 2 原命题：对顶角相等（正确） 3 原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等（正确） 4 原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等（正确）思路点拨： 掌握原命题与逆命题的关系。解析： 1. 逆命题：有四只脚的是猫（不正确） 2. 逆命题：相等的角是对顶角（不正确） 3. 逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上?（正确） 4. 逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上
12、（正确）总结升华： 本题是为了学习勾股定理的逆命题做准备。 7 、如果 ABC的三边分别为a、b、c，且满足 a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断 ABC的形状。思路点拨 ：要判断 ABC的形状，需要找到a、b、c 的关系，而题目中只有条件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，故只有从该条件入手，解决问题。解析 ：由 a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，得： a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0, (a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0。 (a-3)20, (b-4)20, (c-5)20。 a=3 ， b=4，c=5。 32+42=52,
13、a2+b2=c2。由勾股定理的逆定理，得ABC是直角三角形。总结升华 ：勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中也常要用到。举一反三 【变式 1】四边形 ABCD中， B=90， AB=3 ，BC=4 ，CD=12 ， AD=13 ，求四边形ABCD 的面积。【答案】：连结 AC B=90， AB=3 ，BC=4 AC2=AB2+BC2=25（勾股定理）AC=5 AC2+CD2=169，AD2=169 AC2+CD2=AD2 ACD=90 （勾股定理逆定理）【变式 2】已知 : ABC的三边分别为m2n2,2mn,m2+n2(m,n 为正整数 , 且 m n), 判断 A
14、BC是否为直角三角形. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑分析 :本题是利用勾股定理的的逆定理，只要证明 :a2+b2=c2即可证明：所以ABC是直角三角形 . 【变式 3】如图正方形ABCD ，E为 BC中点， F 为 AB上一点，且BF=AB 。请问 FE与 DE是否垂直 ?请说明。【答案】答： DE EF。证明：设 BF=a，则 BE=EC=2a, AF=3a，AB=4a
15、, EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2；DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2。连接 DF （如图）DF2=AF2+AD2=9a2+16a2=25a2。 DF2=EF2+DE2, FEDE 。经典例题精析类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法 1 、若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。思路点拨： 在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度，求面积，可以先通过比值设未知数，再根据勾股定理列出方程，求出未知数的值进而求面积。解析： 设此直角三角形两直角边分别是3x，4x，根据题意得：（3x）2+（4x）2202化简得 x216；直角三角形的面积
16、3x4x6x296 总结升华： 直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程（组）求解。举一反三【 变式 1】等边三角形的边长为2，求它的面积。【答案 】如图，等边ABC ，作 AD BC于 D 则： BD BC（等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合）AB AC BC 2（等边三角形各边都相等）BD 1 在直角三角形ABD中， AB2AD2+BD2，即： AD2AB2 BD2413 AD S ABCBC AD 注：等边三角形面积公式：若等边三角形边长为a，则其面积为a。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - -
17、 - - - - - - - -第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑【变式 2】直角三角形周长为12cm ，斜边长为5cm，求直角三角形的面积。【答案 】设此直角三角形两直角边长分别是x，y，根据题意得：由（ 1）得： x+y7，（x+y）249，x2+2xy+y249 (3) (3)(2) ，得： xy12 直角三角形的面积是xy126（cm2）【变式 3】若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，求 n。思路点拨： 首先要确定斜边（最长的边）长n+3，然后利用勾股定理列方程求解。解：此直角三角形的斜
18、边长为n+3，由勾股定理可得：（n+1）2+（n+2）2（ n+3）2化简得： n24 n 2，但当 n 2 时， n+1 10， n2 总结升华： 注意直角三角形中两“直角边”的平方和等于“斜边”的平方，在题目没有给出哪条是直角边哪条是斜边的情况下，首先要先确定斜边，直角边。【变式 4】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（） A 、8，15，17 B、4，5，6 C、5，8，10 D、8，39，40 解析： 此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断，对数据较大的可以用c2a2+b2的变形： b2c2a2（ c a） （c+a）来判断。例如：对于选择D，82（ 40+39）（ 4039）
19、，以 8，39，40 为边长不能组成直角三角形。同理可以判断其它选项。【答案】：A 【变式 5】四边形 ABCD中， B=90， AB=3 ，BC=4，CD=12 ，AD=13 ，求四边形ABCD 的面积。解：连结 AC B=90， AB=3 ，BC=4 AC2=AB2+BC2=25（勾股定理）AC=5 AC2+CD2=169，AD2=169 AC2+CD2=AD2 ACD=90 （勾股定理逆定理）S四边形 ABCD=SABC+SACD=AB BC+AC CD=36 类型二：勾股定理的应用 2 、如图，公路MN和公路 PQ在点 P处交汇，且 QPN 30，点 A处有一所中学，AP 160m 。
20、假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿 PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？思路点拨： （1） 要判断拖拉机的噪音是否影响学校A， 实质上是看A到公路的距离是否小于100m, 小于 100m则受影响，大于100m则不受影响，故作垂线段AB并计算其长度。 （2）要求出学校受影响的时间，实质是要求拖拉机对学校A的影响所行驶的路程。因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校，行至哪一点后结束精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载
21、名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑影响学校。解析 ：作 AB MN ，垂足为 B。在 Rt ABP中， ABP 90， APB 30， AP160， ABAP 80。 （在直角三角形中，30所对的直角边等于斜边的一半）点 A 到直线 MN的距离小于100m, 这所中学会受到噪声的影响。如图，假设拖拉机在公路MN 上沿 PN方向行驶到点C处学校开始受到影响，那么AC100(m)，由勾股定理得： BC21002-8023600, BC60。同理，拖拉机行驶到点D处学
22、校开始脱离影响，那么，AD 100(m)，BD 60(m), CD 120(m) 。拖拉机行驶的速度为 : 18km/h5m/s t120m 5m/s 24s。答：拖拉机在公路 MN上沿 PN方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为24 秒。总结升华 : 勾股定理是求线段的长度的很重要的方法, 若图形缺少直角条件, 则可以通过作辅助垂线的方法,构造直角三角形以便利用勾股定理。举一反三【 变式 1】如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路” 。他们仅仅少走了_步路（假设2 步为 1m ） ，却踩伤了花草。解析：他们原来走的路为3+47(m)
23、设走“捷径”的路长为xm，则故少走的路长为752(m) 又因为 2步为 1m ，所以他们仅仅少走了4 步路。【答案】 4 【变式 2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为1 的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形。（1）直接写出单位正三角形的高与面积。（2）图中的平行四边形ABCD 含有多少个单位正三角形？平行四边形ABCD 的面积是多少？（3）求出图中线段AC的长（可作辅助线） 。【答案】（1）单位正三角形的高为，面积是。（2）如图可直接得出平行四边形ABCD 含有 24 个单位正三角形，因此其面积。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - -
24、 - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑（3）过 A作 AK BC于点 K（如图所示），则在 RtACK中，故类型三：数学思想方法（一）转化的思想方法我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题来解决 3 、如图所示，ABC是等腰直角三角形，AB=AC ，D是斜边 BC的中点， E、 F分别是 AB 、AC边上的点，且DE DF ，若 BE=12 ，CF=5 求线段EF的长。思路点拨： 现
25、已知 BE 、CF，要求 EF，但这三条线段不在同一三角形中，所以关键是 线段的转化，根据直角三角形的特征，三角形的中线有特殊的性质，不妨先连接AD解：连接 AD 因为 BAC=90 ，AB=AC 又因为 AD为 ABC的中线，所以 AD=DC=DBAD BC 且 BAD= C=45 因为 EDA+ ADF=90 又因为 CDF+ ADF=90 所以 EDA= CDF 所以 AED CFD （ASA ） 所以 AE=FC=5 同理： AF=BE=12 在 RtAEF中，根据勾股定理得：，所以 EF=13。总结升华 ：此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识。通过此题，我们可以了解： 当已
26、知的线段和所求的线段不在同一三角形中时，应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解。（二）方程的思想方法 4 、如图所示，已知ABC中， C=90 ， A=60，求、的值。思路点拨： 由，再找出、的关系即可求出和的值。解：在 RtABC中， A=60， B=90- A=30，则，由勾股定理，得。因为，所以，。总结升华： 在直角三角形中，30的锐角的所对的直角边是斜边的一半。举一反三：【 变式 】如图所示，折叠矩形的一边AD ，使点 D落在 BC边的点 F 处，已知AB=8cm ，BC=10cm ，求 EF的长。解： 因为 ADE与 AFE关于 AE对称，所以AD=AF ，DE=EF 。因为
27、四边形ABCD是矩形，所以B=C=90，在 RtABF中， AF=AD=BC=10cm ，AB=8cm ，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑所以。所以。设，则。在 RtECF中，即，解得。即 EF的长为 5cm 。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 11 页 - - - - - - - - - -