《2022年最新勾股定理知识点总结、经典例题 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年最新勾股定理知识点总结、经典例题 .pdf（11页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精品文档精品文档知识点及例题知识点一：勾股定理如果直角三角形的两直角边长分别为：a，b，斜边长为c，那么 a2b2c2即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方要点诠释：（1）勾股定理揭示的是直角三角形平方关系的定理。（2）勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于锐角三角形和钝角三角。（3）理解勾股定理的一些变式：c2=a2+b2, a2=c2-b2， b2=c2-a2，c2=(a+b)2-2ab 知识点二：用面积证明勾股定理方法一： 将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形。图（ 1）中，所以。方法二： 将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形。图（ 2）中，所以。方法三：
2、将四个全等的直角三角形分别拼成如图（3） 1 和（3） 2 所示的两个形状相同的正方形。在（ 3） 1 中，甲的面积 =（大正方形面积）（4 个直角三角形面积）, 在（ 3） 2 中，乙和丙的面积和=（大正方形面积）（4 个直角三角形面积）, 所以，甲的面积=乙和丙的面积和，即：. 方法四： 如图（ 4）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档，所以。知识点三：勾股定
3、理的作用1已知直角三角形的两条边长求第三边；2已知直角三角形的一条边，求另两边的关系；3用于证明平方关系的问题；4利用勾股定理，作出长为的线段。2. 在理解的基础上熟悉下列勾股数满足不定方程x2+y2=z2的三个正整数， 称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然， 以 x,y,z 为三边长的三角形一定是直角三角形。熟悉下列勾股数，对解题是会有帮助的：3、4、55、12、13； 8、15、17； 7、24、25；10、24、26； 9、40、41如果 (a,b,c)是勾股数，当t0 时，以 at,bt,ct 为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形。经典例题透析类型一：勾股定理的直接用法1、
4、在 RtABC 中， C=90(1)已知 a=6， c=10，求 b，(2)已知 a=40，b=9，求 c；(3)已知 c=25，b=15，求 a. 思路点拨 : 写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。解析： (1) 在 ABC 中， C=90， a=6，c=10,b=(2) 在 ABC 中， C=90， a=40，b=9,c=(3) 在 ABC 中， C=90， c=25，b=15,a=总结升华： 有一些题目的图形较复杂，但中心思想还是化为直角三角形来解决。如：不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角
5、形面积之差或和。举一反三【变式】 :如图 B=ACD=90, AD=13,CD=12, BC=3,则 AB 的长是多少 ? 【答案】 ACD=90AD = 13, CD=12 AC2 =AD2CD2=132122=25 AC=5 又 ABC=90 且 BC=3 由勾股定理可得AB2=AC2BC2=5232=16 AB= 4 AB 的长是 4. 类型二：勾股定理的构造应用2、如图，已知：在中，. 求： BC 的长 . 思路点拨 ：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于 D，则有名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名
6、师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档，再由勾股定理计算出AD、DC 的长，进而求出BC 的长. 解析：作于 D，则因，（的两个锐角互余）（在中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半）. 根据勾股定理，在中，. 根据勾股定理，在中，. . 总结升华 ：利用勾股定理计算线段的长，是勾股定理的一个重要应用. 当题目中没有垂直条件时，也经常作垂线构造直角三角形以便应用勾股定理. 举一反三 【变式 1】如图，已知：，于 P. 求证：. 思路点拨 : 图中已有两个直角三角形，但是还没有以BP 为边的直角三角形.
7、 因此，我们考虑构造一个以BP 为一边的直角三角形. 所以连结BM. 这样，实际上就得到了4 个直角三角形 . 那么根据勾股定理，可证明这几条线段的平方之间的关系. 解析 ：连结 BM ，根据勾股定理，在中，. 而在中，则根据勾股定理有. 又（已知），. 在中，根据勾股定理有，. 【变式 2】已知：如图，B=D=90， A=60， AB=4 ，CD=2 。求：四边形ABCD 的面积。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 11 页 - - - - - - - -
8、- 精品文档精品文档分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC 交于 F，或延长AD 、BC 交于点 E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。解析：延长 AD 、BC 交于 E。 A= 60， B=90， E=30。AE=2AB=8 ，CE=2CD=4 ，BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE=。DE2= CE2-CD2=42-22=12，DE=。S四边形ABCD=SABE-SCDE=ABBE-CDDE=类型三：勾股定理的实际应用（一）用勾股定理求两点之间的距离问题3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A 点出发，沿北偏
9、东60方向走了到达 B 点，然后再沿北偏西30方向走了500m 到达目的地C 点。（1）求 A、C 两点之间的距离。（2）确定目的地C 在营地 A 的什么方向。思路点拨： 把实际问题中的角度转化为图形中的角度，利用勾股定理求解。解析： （1）过 B 点作 BE/AD DAB= ABE=60 30+CBA+ ABE=180 CBA=90 即 ABC 为直角三角形由已知可得：BC=500m，AB=由勾股定理可得：所以（2）在 RtABC 中，BC=500m，AC=1000m CAB=30 DAB=60 DAC=30 即点 C 在点 A 的北偏东 30的方向总结升华 ：本题是一道实际问题，从已知条件
10、出发判断出ABC 是直角三角形是解决问题的关键。本题涉及平行线的性质和勾股定理等知识。举一反三【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5 米，宽 1.6 米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门? 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH如图所示，点D在离厂门中线0.8 米处，且CD，与地面交于H解
11、：OC1 米(大门宽度一半)，OD0.8 米（卡车宽度一半）在 RtOCD 中，由勾股定理得：CD.米，C . . .（米） .（米）因此高度上有0.4 米的余量，所以卡车能通过厂门（二）用勾股定理求最短问题4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线思路点拨 ：解答本题的思路是：最省电线就是线路长最短，通过利用勾股定理计算线路长，然后进行比较，得出结论解析：设正方形的边长为1，则图（
12、1） 、图（ 2）中的总线路长分别为AB+BC+CD 3，AB+BC+CD 3 图（ 3）中，在RtABC 中同理图（ 3）中的路线长为图（ 4）中，延长EF 交 BC 于 H，则 FHBC，BH CH 由 FBH及勾股定理得：EAEDFBFC名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档EF12FH1此图中总线路的长为4EA+EF32.8282.732 图（ 4）的连接线路最短，即图（4）的架设方案最省电线
13、总结升华： 在实际生产工作中，往往工程设计的方案比较多，需要运用所学的数学知识进行计算，比较从中选出最优设计本题利用勾股定理、等腰三角形的判定、全等三角形的性质举一反三【变式】如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高为4cm，是上底面的直径一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程解：如图，在 Rt中，底面周长的一半cm，根据勾股定理得（提问：勾股定理） AC （cm） （勾股定理）答：最短路程约为cm类型四：利用勾股定理作长为的线段5、作长为、的线段。思路点拨： 由勾股定理得，直角边为1 的等腰直角三角形，斜边长就等于，直角边为和 1 的直角三角形斜边长就是，类似地可
14、作。作法：如图所示（1）作直角边为1（单位长）的等腰直角ACB ，使 AB 为斜边；（2）以 AB 为一条直角边，作另一直角边为1 的直角。斜边为；（3）顺次这样做下去，最后做到直角三角形，这样斜边、的长度就是、。总结升华：（1）以上作法根据勾股定理均可证明是正确的；（2）取单位长时可自定。一般习惯用国际标准的单位，如 1cm、1m 等，我们作图时只要取定一个长为单位即可。举一反三【变式】在数轴上表示的点。解析： 可以把看作是直角三角形的斜边，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - -
15、- 第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档为了有利于画图让其他两边的长为整数，而 10 又是 9和 1 这两个完全平方数的和，得另外两边分别是3 和 1。作法：如图所示在数轴上找到A 点，使 OA=3 ，作 AC OA 且截取 AC=1 ，以 OC 为半径，以 O 为圆心做弧，弧与数轴的交点B 即为。类型五：逆命题与勾股定理逆定理6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确1原命题：猫有四只脚（正确）2原命题：对顶角相等（正确）3原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等（正确）4原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等（正确）思路点拨： 掌
16、握原命题与逆命题的关系。解析： 1. 逆命题：有四只脚的是猫（不正确）2. 逆命题：相等的角是对顶角（不正确）3. 逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上?（正确）4. 逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上（正确）总结升华： 本题是为了学习勾股定理的逆命题做准备。7、如果 ABC 的三边分别为a、b、c，且满足 a2+b2+c2+50=6a+8b+10c ，判断 ABC 的形状。思路点拨 ：要判断 ABC 的形状，需要找到a、b、c 的关系，而题目中只有条件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c ，故只有从该条件入手，解决问题。解析：由 a2+b2+c2+50
17、=6a+8b+10c，得：a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0, (a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0。 (a-3)20, (b-4)20, (c-5)20。 a=3，b=4，c=5。 32+42=52, a2+b2=c2。由勾股定理的逆定理，得 ABC 是直角三角形。总结升华 ：勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中也常要用到。举一反三 【变式 1】四边形 ABCD 中， B=90，AB=3 ，BC=4 ，CD=12 ，AD=13 ，求四边形ABCD 的面积。【答案】：连结 AC B=90， AB=3 ，BC=4 AC2=AB2+BC2=2
18、5（勾股定理） AC=5 AC2+CD2=169，AD2=169 AC2+CD2=AD2 ACD=90 （勾股定理逆定理）【变式 2】已知 :ABC 的三边分别为m2n2,2mn,m2+n2(m,n 为正整数 ,且 mn),判断 ABC 是否为直角三角形. 分析:本题是利用勾股定理的的逆定理，只要证明 :a2+b2=c2即可证明：所以 ABC 是直角三角形 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档【
19、变式 3】如图正方形ABCD ，E为 BC 中点， F 为 AB 上一点，且BF=AB。请问 FE 与 DE 是否垂直 ?请说明。【答案】答： DEEF。证明：设 BF=a，则 BE=EC=2a, AF=3a ，AB=4a, EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2；DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2。连接 DF（如图）DF2=AF2+AD2=9a2+16a2=25a2。 DF2=EF2+DE2, FEDE。经典例题精析类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法1、若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。思路点拨： 在直角三角形中知道两边的比值和第三
20、边的长度，求面积，可以先通过比值设未知数，再根据勾股定理列出方程，求出未知数的值进而求面积。解析： 设此直角三角形两直角边分别是3x，4x，根据题意得：（3x）2+（4x）2202化简得 x2 16；直角三角形的面积3x4x6x296 总结升华： 直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程（组）求解。举一反三【变式 1】等边三角形的边长为2，求它的面积。【答案 】如图，等边ABC ，作 AD BC 于 D 则： BDBC（等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合）AB AC BC2（等边三角形各边都相等）BD 1 在直角三角形ABD 中， AB2AD2+BD2，即： AD
21、2AB2BD2413 AD SABCBCAD 注：等边三角形面积公式：若等边三角形边长为a，则其面积为a。【变式 2】直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积。【答案 】设此直角三角形两直角边长分别是x，y，根据题意得：由（ 1）得： x+y7，（x+y ）249，x2+2xy+y249 (3) (3)(2)，得： xy12 直角三角形的面积是xy126（cm2）【变式 3】若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，求 n。思路点拨： 首先要确定斜边（最长的边）长n+3，然后利用勾股定理列方程求解。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - -
22、 - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 11 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档解：此直角三角形的斜边长为n+3，由勾股定理可得：（n+1）2+（n+2）2（n+3）2化简得： n24 n 2，但当 n 2 时， n+110，n2 总结升华： 注意直角三角形中两“直角边”的平方和等于“斜边”的平方，在题目没有给出哪条是直角边哪条是斜边的情况下，首先要先确定斜边，直角边。【变式 4】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）A、8，15，17 B、4，5，6C、5，8，10 D、8，39，40 解析： 此题可
23、直接用勾股定理的逆定理来进行判断，对数据较大的可以用c2a2+b2的变形： b2c2a2（ca） （c+a）来判断。例如：对于选择D，82（ 40+39）（ 4039） ，以 8，39，40 为边长不能组成直角三角形。同理可以判断其它选项。【答案】：A 【变式 5】四边形ABCD 中， B=90， AB=3 ，BC=4，CD=12 ，AD=13 ，求四边形ABCD 的面积。解：连结 AC B=90， AB=3 ，BC=4 AC2=AB2+BC2=25（勾股定理）AC=5 AC2+CD2=169，AD2=169 AC2+CD2=AD2 ACD=90 （勾股定理逆定理）S四边形ABCD=SABC+
24、SACD=AB BC+AC CD=36 类型二：勾股定理的应用2、如图，公路MN 和公路 PQ 在点 P 处交汇，且 QPN30，点 A 处有一所中学，AP160m。假设拖拉机行驶时，周围100m 以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN 上沿 PN 方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？思路点拨：（1）要判断拖拉机的噪音是否影响学校A，实质上是看A 到公路的距离是否小于100m, 小于 100m 则受影响，大于100m 则不受影响，故作垂线段AB 并计算其长度。 （2）要求出学校受影响的时间，实质是要求拖拉
25、机对学校 A 的影响所行驶的路程。因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校，行至哪一点后结束影响学校。解析：作 ABMN ，垂足为 B。在 RtABP 中， ABP90， APB30，AP160， ABAP80。 （在直角三角形中，30所对的直角边等于斜边的一半）点A 到直线 MN 的距离小于100m, 这所中学会受到噪声的影响。如图，假设拖拉机在公路MN 上沿 PN 方向行驶到点C 处学校开始受到影响，那么AC100(m)，由勾股定理得：BC21002-8023600, BC60。同理，拖拉机行驶到点D 处学校开始脱离影响，那么，AD 100(m)，BD 60(m), CD120(m)。名师
26、资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 11 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档拖拉机行驶的速度为: 18km/h5m/s t 120m5m/s24s。答：拖拉机在公路MN 上沿 PN 方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为24 秒。总结升华 :勾股定理是求线段的长度的很重要的方法,若图形缺少直角条件,则可以通过作辅助垂线的方法,构造直角三角形以便利用勾股定理。举一反三【变式 1】如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“
27、捷径”，在花园内走出了一条“路” 。他们仅仅少走了_步路（假设2 步为 1m） ，却踩伤了花草。解析：他们原来走的路为3+47(m) 设走“捷径”的路长为xm，则故少走的路长为752(m) 又因为 2 步为 1m，所以他们仅仅少走了4 步路。【答案】 4 【变式 2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为1 的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形。（1）直接写出单位正三角形的高与面积。（2）图中的平行四边形ABCD 含有多少个单位正三角形？平行四边形ABCD 的面积是多少？（3）求出图中线段AC 的长（可作辅助线） 。【答案】（1）单位正三角形的高为，面积是。（
28、2）如图可直接得出平行四边形ABCD 含有 24 个单位正三角形，因此其面积。（3）过 A 作 AK BC 于点 K（如图所示），则在 RtACK 中，故类型三：数学思想方法（一）转化的思想方法我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题来解决3、如图所示，ABC 是等腰直角三角形，AB=AC ，D 是斜边 BC 的中点， E、F 分别是AB、AC 边上的点，且DEDF，若 BE=12，CF=5求线段 EF 的长。思路点拨： 现已知BE、CF，要求EF，但这三条线段不在同一三角形中，所以关键是线段的转化，根据直角三角名师资料总结 - - -精
29、品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 11 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档形的特征，三角形的中线有特殊的性质，不妨先连接AD 解：连接 AD 因为 BAC=90 ， AB=AC 又因为 AD 为ABC 的中线，所以 AD=DC=DB AD BC且 BAD= C=45因为 EDA+ ADF=90 又因为 CDF+ADF=90 所以 EDA= CDF所以 AED CFD（ASA ） 所以 AE=FC=5 同理： AF=BE=12 在 RtAEF 中，根据勾股定理得
30、：，所以 EF=13。总结升华 ：此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识。通过此题，我们可以了解：当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时，应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解。（二）方程的思想方法4、 如 图所示，已知 ABC 中， C=90， A=60 ，求、的值。思路点拨：由，再找出、的关系即可求出和的值。解：在 RtABC 中， A=60， B=90-A=30，则，由勾股定理，得。因为，所以，。总 结升华： 在直角三角形中，30的锐角的所对的直角边是斜边的一半。举 一反三： 【变式 】如图所示，折叠矩形的一边AD ，使点 D 落在 BC 边的点 F 处，已知AB=8cm ，BC=10cm ，求 EF 的长。解：因为 ADE 与 AFE 关于 AE 对称，所以AD=AF ，DE=EF 。因为四边形ABCD 是矩形，所以B=C=90，在 RtABF 中，AF=AD=BC=10cm ，AB=8cm ，所以。所以。设，则。在 RtECF 中，即，解得。即 EF 的长为 5cm。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 11 页 - - - - - - - - -