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1、知识点及例题知识点一：勾股定理如果直角三角形的两直角边长分别为：a，b，斜边长为c，那么 a2b2c2即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方要点诠释：（1）勾股定理揭示的是直角三角形平方关系的定理。（2）勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于锐角三角形和钝角三角。（3）理解勾股定理的一些变式：c2=a2+b2,a2=c2-b2，b2=c2-a2，c2=(a+b)2-2ab 知识点二：用面积证明勾股定理方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形。图（1）中，所以。方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形。图（2）中，所以。方法三：将四个全等的直角三角形分别拼成
2、如图（3）1 和（3）2 所示的两个形状相同的正方形。在（3）1 中，甲的面积=（大正方形面积）（4 个直角三角形面积）,在（3）2 中，乙和丙的面积和=（大正方形面积）（4 个直角三角形面积）,所以，甲的面积=乙和丙的面积和，即：.方法四：如图（4）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形。，所以。知识点三：勾股定理的作用名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 11 页 -1已知直角三角形的两条边长求第三边；2已知直角三角形的一条边，求另两边的关系；3用于证明平方关系的问题；4利用勾股定理，作出长为的线段。2.在理解的基础上熟悉下列勾股数满足不定方程x2+y2=z2的三个正整
3、数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以 x,y,z 为三边长的三角形一定是直角三角形。熟悉下列勾股数，对解题是会有帮助的：3、4、55、12、13；8、15、17；7、24、25；10、24、26；9、40、41如果(a,b,c)是勾股数，当t0 时，以 at,bt,ct 为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形。经典例题透析类型一：勾股定理的直接用法1、在 RtABC 中，C=90(1)已知 a=6，c=10，求 b，(2)已知 a=40，b=9，求 c；(3)已知 c=25，b=15，求 a.思路点拨:写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。解析
4、：(1)在 ABC 中，C=90，a=6，c=10,b=(2)在 ABC 中，C=90，a=40，b=9,c=(3)在 ABC 中，C=90，c=25，b=15,a=总结升华：有一些题目的图形较复杂，但中心思想还是化为直角三角形来解决。如：不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差或和。举一反三【变式】:如图 B=ACD=90,AD=13,CD=12,BC=3,则 AB 的长是多少?【答案】ACD=90AD=13,CD=12 AC2=AD2CD2=132122=25 AC=5 又 ABC=90 且 BC=3 由勾股定理可得AB
5、2=AC2BC2=5232=16 AB=4 AB 的长是 4.类型二：勾股定理的构造应用2、如图，已知：在中，.求：BC 的长.思路点拨：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于 D，则有，再由勾股定理计算出AD、DC 的长，进而求出BC 的长.解析：作于 D，则因，（的两个锐角互余）（在中，如果一个锐角等于，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 11 页 -那么它所对的直角边等于斜边的一半）.根据勾股定理，在中，.根据勾股定理，在中，.总结升华：利用勾股定理计算线段的长，是勾股定理的一个重要应用.当题目中没有垂直条件时，也经常作垂线构造直角三角形以便应用勾股定理.举
6、一反三【变式 1】如图，已知：，于 P.求证：.思路点拨:图中已有两个直角三角形，但是还没有以BP 为边的直角三角形.因此，我们考虑构造一个以BP 为一边的直角三角形.所以连结BM.这样，实际上就得到了4 个直角三角形.那么根据勾股定理，可证明这几条线段的平方之间的关系.解析：连结 BM，根据勾股定理，在中，.而在中，则根据勾股定理有.又（已知），.在中，根据勾股定理有，.【变式 2】已知：如图，B=D=90，A=60，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD 的面积。分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC 交于 F，或延长AD、BC 交于点 E，根据本题给定的角
7、应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。解析：延长 AD、BC 交于 E。A=60，B=90，E=30。AE=2AB=8，CE=2CD=4，BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE=。DE2=CE2-CD2=42-22=12，DE=。S四边形ABCD=SABE-SCDE=ABBE-CDDE=名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 11 页 -类型三：勾股定理的实际应用（一）用勾股定理求两点之间的距离问题3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A 点出发，沿北偏东60方向走了到达 B 点，然后再沿北偏西30方向走了500m 到达目的地C 点。（1）求
8、A、C 两点之间的距离。（2）确定目的地C 在营地 A 的什么方向。思路点拨：把实际问题中的角度转化为图形中的角度，利用勾股定理求解。解析：（1）过 B 点作 BE/AD DAB=ABE=60 30+CBA+ABE=180 CBA=90 即 ABC 为直角三角形由已知可得：BC=500m，AB=由勾股定理可得：所以（2）在 RtABC 中，BC=500m，AC=1000m CAB=30 DAB=60 DAC=30 即点 C 在点 A 的北偏东 30的方向总结升华：本题是一道实际问题，从已知条件出发判断出ABC 是直角三角形是解决问题的关键。本题涉及平行线的性质和勾股定理等知识。举一反三【变式】
9、一辆装满货物的卡车，其外形高2.5 米，宽 1.6 米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH如图所示，点D在离厂门中线0.8 米处，且CD，与地面交于H解：OC1 米(大门宽度一半)，OD0.8 米（卡车宽度一半）在 RtOCD 中，由勾股定理得：CD.米，C.（米）.（米）名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 11 页 -因此高度上有0.4 米的余量，所以卡车能通过厂门（二）用勾股定理求最短问题4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农
10、村进行电网改造，某地有四个村庄A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线思路点拨：解答本题的思路是：最省电线就是线路长最短，通过利用勾股定理计算线路长，然后进行比较，得出结论解析：设正方形的边长为1，则图（1）、图（2）中的总线路长分别为AB+BC+CD 3，AB+BC+CD 3 图（3）中，在RtABC 中同理图（3）中的路线长为图（4）中，延长EF 交 BC 于 H，则 FHBC，BH CH 由 FBH及勾股定理得：EAEDFBFCEF12FH1此图中总线路的长为4EA+EF3
11、2.8282.732 图（4）的连接线路最短，即图（4）的架设方案最省电线总结升华：在实际生产工作中，往往工程设计的方案比较多，需要运用所学的数学知识进行计算，比较从中选出最优设计本题利用勾股定理、等腰三角形的判定、全等三角形的性质举一反三【变式】如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高为4cm，是上底面的直径一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程解：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 11 页 -如图，在 Rt中，底面周长的一半cm，根据勾股定理得（提问：勾股定理）AC（cm）（勾股定理）答：最短路程约为cm类型四：利用勾股定理作长为的线
12、段5、作长为、的线段。思路点拨：由勾股定理得，直角边为1 的等腰直角三角形，斜边长就等于，直角边为和 1 的直角三角形斜边长就是，类似地可作。作法：如图所示（1）作直角边为1（单位长）的等腰直角ACB，使 AB 为斜边；（2）以 AB 为一条直角边，作另一直角边为1 的直角。斜边为；（3）顺次这样做下去，最后做到直角三角形，这样斜边、的长度就是、。总结升华：（1）以上作法根据勾股定理均可证明是正确的；（2）取单位长时可自定。一般习惯用国际标准的单位，如 1cm、1m 等，我们作图时只要取定一个长为单位即可。举一反三【变式】在数轴上表示的点。解析：可以把看作是直角三角形的斜边，为了有利于画图让其
13、他两边的长为整数，而 10 又是 9和 1 这两个完全平方数的和，得另外两边分别是3 和 1。作法：如图所示在数轴上找到A 点，使 OA=3，作 AC OA 且截取 AC=1，以 OC 为半径，以 O 为圆心做弧，弧与数轴的交点B 即为。类型五：逆命题与勾股定理逆定理6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确1原命题：猫有四只脚（正确）2原命题：对顶角相等（正确）3原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等（正确）4原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等（正确）思路点拨：掌握原命题与逆命题的关系。解析：1.逆命题：有四只脚的是猫（不正确）2.逆命题：相等的角是对顶角（不正确）3
14、.逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上?（正确）4.逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上（正确）总结升华：本题是为了学习勾股定理的逆命题做准备。7、如果 ABC 的三边分别为a、b、c，且满足 a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断 ABC 的形状。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 11 页 -思路点拨：要判断 ABC 的形状，需要找到a、b、c 的关系，而题目中只有条件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，故只有从该条件入手，解决问题。解析：由 a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，得：a2-6a+9+b2-8
15、b+16+c2-10c+25=0,(a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0。(a-3)20,(b-4)20,(c-5)20。a=3，b=4，c=5。32+42=52,a2+b2=c2。由勾股定理的逆定理，得ABC 是直角三角形。总结升华：勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中也常要用到。举一反三【变式 1】四边形 ABCD 中，B=90，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD 的面积。【答案】：连结 AC B=90，AB=3，BC=4 AC2=AB2+BC2=25（勾股定理）AC=5 AC2+CD2=169，AD2=169 AC2+CD2=AD
16、2 ACD=90（勾股定理逆定理）【变式 2】已知:ABC 的三边分别为m2n2,2mn,m2+n2(m,n 为正整数,且 mn),判断 ABC 是否为直角三角形.分析:本题是利用勾股定理的的逆定理，只要证明:a2+b2=c2即可证明：所以 ABC 是直角三角形.【变式 3】如图正方形ABCD，E为 BC 中点，F 为 AB 上一点，且BF=AB。请问 FE 与 DE 是否垂直?请说明。【答案】答：DEEF。证明：设 BF=a，则 BE=EC=2a,AF=3a，AB=4a,EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2；DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2。连接 DF（如图）DF2
17、=AF2+AD2=9a2+16a2=25a2。DF2=EF2+DE2,FEDE。经典例题精析类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法1、若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。思路点拨：在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度，求面积，可以先通过比值设未知数，再根据勾股定理列出方程，求出未知数的值进而求面积。解析：设此直角三角形两直角边分别是3x，4x，根据题意得：（3x）2+（4x）2202化简得 x2 16；直角三角形的面积3x4x6x296 总结升华：直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程（组）求解。举一反三【变式 1】等边三角形的边长
18、为2，求它的面积。【答案】如图，等边ABC，作 AD BC 于 D 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 11 页 -则：BDBC（等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合）AB AC BC2（等边三角形各边都相等）BD 1 在直角三角形ABD 中，AB2AD2+BD2，即：AD2AB2BD2413 AD SABCBCAD 注：等边三角形面积公式：若等边三角形边长为a，则其面积为a。【变式 2】直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积。【答案】设此直角三角形两直角边长分别是x，y，根据题意得：由（1）得：x+y7，（x+y）249，x2+2xy+y
19、249(3)(3)(2)，得：xy12 直角三角形的面积是xy126（cm2）【变式 3】若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，求 n。思路点拨：首先要确定斜边（最长的边）长n+3，然后利用勾股定理列方程求解。解：此直角三角形的斜边长为n+3，由勾股定理可得：（n+1）2+（n+2）2（n+3）2化简得：n24 n 2，但当 n 2 时，n+110，n2 总结升华：注意直角三角形中两“直角边”的平方和等于“斜边”的平方，在题目没有给出哪条是直角边哪条是斜边的情况下，首先要先确定斜边，直角边。【变式 4】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）A、8，15，17 B、4，5，6C
20、、5，8，10 D、8，39，40 解析：此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断，对数据较大的可以用c2a2+b2的变形：b2c2a2（ca）（c+a）来判断。例如：对于选择D，82（40+39）（4039），以 8，39，40 为边长不能组成直角三角形。同理可以判断其它选项。【答案】：A【变式 5】四边形ABCD 中，B=90，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD 的面积。解：连结 AC B=90，AB=3，BC=4 AC2=AB2+BC2=25（勾股定理）AC=5 AC2+CD2=169，AD2=169 AC2+CD2=AD2 ACD=90（勾股定理逆定理）S四边形
21、ABCD=SABC+SACD=AB BC+AC CD=36 类型二：勾股定理的应用2、如图，公路MN 和公路 PQ 在点 P 处交汇，且 QPN30，点 A 处有一所中学，AP160m。假设拖拉机行驶时，周围100m 以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN 上沿 PN 方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 11 页 -思路点拨：（1）要判断拖拉机的噪音是否影响学校A，实质上是看A 到公路的距离是否小于100m,小于 100m 则受影响，大于100
22、m 则不受影响，故作垂线段AB 并计算其长度。（2）要求出学校受影响的时间，实质是要求拖拉机对学校 A 的影响所行驶的路程。因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校，行至哪一点后结束影响学校。解析：作 ABMN，垂足为 B。在 RtABP 中，ABP90，APB30，AP160，ABAP80。（在直角三角形中，30所对的直角边等于斜边的一半）点A 到直线 MN 的距离小于100m,这所中学会受到噪声的影响。如图，假设拖拉机在公路MN 上沿 PN 方向行驶到点C 处学校开始受到影响，那么AC100(m)，由勾股定理得：BC21002-8023600,BC60。同理，拖拉机行驶到点D 处学校开始脱
23、离影响，那么，AD 100(m)，BD 60(m),CD120(m)。拖拉机行驶的速度为:18km/h5m/s t 120m5m/s24s。答：拖拉机在公路MN 上沿 PN 方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为24 秒。总结升华:勾股定理是求线段的长度的很重要的方法,若图形缺少直角条件,则可以通过作辅助垂线的方法,构造直角三角形以便利用勾股定理。举一反三【变式 1】如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路”。他们仅仅少走了_步路（假设2 步为 1m），却踩伤了花草。解析：他们原来走的路为3+47(m)设走“捷径”的路长为xm，则故少走的
24、路长为752(m)又因为 2 步为 1m，所以他们仅仅少走了4 步路。【答案】4【变式 2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为1 的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形。（1）直接写出单位正三角形的高与面积。（2）图中的平行四边形ABCD 含有多少个单位正三角形？平行四边形ABCD 的面积是多少？（3）求出图中线段AC 的长（可作辅助线）。【答案】（1）单位正三角形的高为，面积是。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 11 页 -（2）如图可直接得出平行四边形ABCD 含有 24 个单位正三角形，因此其面积。（3）过 A 作 AK B
25、C 于点 K（如图所示），则在 RtACK 中，故类型三：数学思想方法（一）转化的思想方法我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题来解决3、如图所示，ABC 是等腰直角三角形，AB=AC，D 是斜边 BC 的中点，E、F 分别是AB、AC 边上的点，且DEDF，若 BE=12，CF=5求线段 EF 的长。思路点拨：现已知BE、CF，要求EF，但这三条线段不在同一三角形中，所以关键是线段的转化，根据直角三角形的特征，三角形的中线有特殊的性质，不妨先连接AD 解：连接 AD 因为 BAC=90，AB=AC 又因为 AD 为ABC 的中线，所以
26、 AD=DC=DB AD BC且 BAD=C=45因为 EDA+ADF=90 又因为 CDF+ADF=90 所以 EDA=CDF所以 AED CFD（ASA）所以 AE=FC=5 同理：AF=BE=12 在 RtAEF 中，根据勾股定理得：，所以 EF=13。总结升华：此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识。通过此题，我们可以了解：当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时，应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解。（二）方程的思想方法4、如图所示，已知ABC 中，C=90，A=60，求、的值。思路点拨：由，再找出、的关系即可求出和的值。解：在 RtABC 中，A=60，B=90
27、-A=30，则，由勾股定理，得。因为，所以，。总结升华：在直角三角形中，30的锐角的所对的直角边是斜边的一半。举一反三：【变式】如图所示，折叠矩形的一边AD，使点 D 落在 BC 边的点 F 处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EF 的长。解：因为 ADE 与 AFE 关于 AE 对称，所以AD=AF，DE=EF。因为四边形ABCD 是矩形，所以B=C=90，在 RtABF 中，AF=AD=BC=10cm，AB=8cm，所以。所以。设，则。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 11 页 -在 RtECF 中，即，解得。即 EF 的长为 5cm。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 11 页 -