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1、一、曲线凹凸的定义一、曲线凹凸的定义问题问题:如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向?xyoxyo1x2x)(xfy 图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的上方于所张弦的上方xyo)(xfy 1x2x图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的下方于所张弦的下方ABC定义定义; )( ),()(),()()1()1(,),(,),()(212121的的凹向上凹向上内的图形是向下凸内的图形是向下凸在在那末称那末称恒有恒有内任意两点内任意两点如果对如果对内连续内连续在在设设baxfxfxfxxfxxbabaxf ;)( ),()(),()()1()1(,),(212121的的向上凸向上凸内
2、的图形是向下凹内的图形是向下凹在在那末称那末称恒有恒有内任意两点内任意两点如果对如果对baxfxfxfxxfxxba ;)(,)(,)(),(,)(的的或凸或凸内的图形是凹内的图形是凹在在那末称那末称的的或凸或凸内的图形是凹内的图形是凹且在且在内连续内连续在在如果如果baxfbabaxf)1(0 )()()1()(,(),(,( :212211 xfxfyxfxBxfxAAB弦的方程弦的方程二、曲线凹凸的判定二、曲线凹凸的判定xyo)(xfy xyo)(xfy abAB递增递增)(xf abBA0 y递减递减)(xf 0 y定理定理1 1.,)(, 0)()2(;,)(, 0)()1(),(,
3、),(,)(上的图形是凸的上的图形是凸的在在则则上的图形是凹的上的图形是凹的在在则则内内若在若在二阶导数二阶导数内具有内具有在在上连续上连续在在如果如果baxfxfbaxfxfbababaxf 例例1 1.3的凹凸性的凹凸性判断曲线判断曲线xy 解解,32xy ,6xy 时，时，当当0 x, 0 y为凸的；为凸的；在在曲线曲线0 ,(时，时，当当0 x, 0 y为凹的；为凹的；在在曲线曲线), 0 .)0 , 0(点点是曲线由凸变凹的分界是曲线由凸变凹的分界点点注意到注意到,三、曲线的拐点及其求法三、曲线的拐点及其求法连续曲线上凹凸的分界点称为连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点曲线的拐点.定
4、理定理 2 2 如果如果)(xf在在),(00 xx内存在二阶导内存在二阶导数数, ,则点则点 )(,00 xfx是拐点的必要条件是是拐点的必要条件是0)(0 xf. .1.1.定义定义注意注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.2.2.拐点的求法拐点的求法证证,)(二阶可导二阶可导xf,)(存在且连续存在且连续xf , )()(0两边变号两边变号在在则则xxfxf ,)(,(00是是拐拐点点又又xfx,)(0取取得得极极值值在在xxf ,条件条件由可导函数取得极值的由可导函数取得极值的. 0)( xf方法方法1:1:, 0)(,)(00 xfxxf且且的邻域内二阶
5、可导的邻域内二阶可导在在设函数设函数;)(,(,)()1(000即为拐点即为拐点点点变号变号两近旁两近旁xfxxfx .)(,(,)()2(000不是拐点不是拐点点点不变号不变号两近旁两近旁xfxxfx 例例2 2.14334凹、凸的区间凹、凸的区间的拐点及的拐点及求曲线求曲线 xxy解解),(:D,121223xxy ).32(36 xxy, 0 y令令.32, 021 xx得得x)0 ,( ),32()32, 0(032)(xf )(xf 00凹的凹的凸的凸的凹的凹的拐点拐点拐点拐点)1 , 0()2711,32().,32,32, 0,0 ,(凹凸区间为凹凸区间为方法方法2:2:.)()
6、(,(,0)(, 0)(,)(00000的拐点的拐点线线是曲是曲那末那末而而且且的邻域内三阶可导的邻域内三阶可导在在设函数设函数xfyxfxxfxfxxf 例例3 3.)2 , 0(cossin的拐点的拐点内内求曲线求曲线 xxy解解,sincosxxy ,cossinxxy .sincosxxy , 0 y令令.47,4321 xx得得2)43( f, 0 2)47( f, 0 内曲线有拐点为内曲线有拐点为在在2 , 0 ).0 ,47(),0 ,43( .)()(,(,)(000的拐点的拐点是连续曲线是连续曲线也可能也可能点点不存在不存在若若xfyxfxxf 注意注意: :例例4 4.3的
7、拐点的拐点求曲线求曲线xy 解解,0时时当当 x,3132 xy,9435 xy.,0均不存在均不存在是不可导点是不可导点yyx , 0,)0 ,( y内内但在但在;0 ,(上是凹的上是凹的曲线在曲线在 , 0,), 0( y内内在在.), 0上是凸的上是凸的曲线在曲线在.)0 , 0(3的拐点的拐点是曲线是曲线点点xy 四、小结四、小结曲线的弯曲方向曲线的弯曲方向凹凸性凹凸性;改变弯曲方向的点改变弯曲方向的点拐点拐点;凹凸性的判定凹凸性的判定.拐点的求法拐点的求法1, 2.思考题思考题设设)(xf在在),(ba内二阶可导，且内二阶可导，且0)(0 xf，其中其中),(0bax ，则，则,(0
8、 x)(0 xf是否一定为是否一定为曲线曲线)(xf的拐点？举例说明的拐点？举例说明.思考题解答思考题解答因为因为0)(0 xf只是只是,(0 x)(0 xf为拐点为拐点的的必要条件必要条件，故故,(0 x)(0 xf不一定是拐点不一定是拐点.例例4)(xxf ),( x0)0( f但但)0 , 0(并不是曲线并不是曲线)(xf的拐点的拐点.一、一、 填空题：填空题：1 1、 若函数若函数)(xfy 在在 （ba,） 可导， 则曲线） 可导， 则曲线)(xf在在( (ba,) )内取凹的充要条件是内取凹的充要条件是_._.2 2、 曲线上曲线上_的点，称作曲线的拐点的点，称作曲线的拐点 . .
9、3 3、 曲线曲线)1ln(2xy 的拐点为的拐点为_._.4 4、 曲线曲线)1ln(xy 拐点为拐点为_._.二、二、 求曲线求曲线xeyarctan 的拐点及凹凸区间的拐点及凹凸区间 . .三、三、 利用函数图形的凹凸性，证明不等式：利用函数图形的凹凸性，证明不等式： 22yxyxeee )(yx . .四、求曲线四、求曲线 2sin2cot2ayax的拐点的拐点 . .练练 习习 题题五、五、 试证明曲线试证明曲线112 xxy有三个拐点位于同一直线有三个拐点位于同一直线上上 . .六、六、 问问a及及b为何值时，点为何值时，点(1,3)(1,3)为曲线为曲线23bxaxy 的拐点？的
10、拐点？七、七、 试决定试决定22)3( xky中中k的值的值, ,使曲线的拐点处使曲线的拐点处的法线通过原点的法线通过原点 . .一、一、1 1、),()(baxf在在 内递增或内递增或0)(),( xfbax； 2 2、凹凸部分的分界点；、凹凸部分的分界点；3 3、2 ,(), 2),2, 2(2e； 4 4、)2ln, 1(),2ln, 1( . .二、拐点二、拐点),21(21arctane, ,在在21,(内是凹的内是凹的, ,在在),21内是凸的内是凸的. .四、拐点四、拐点)23,332(aa及及)23,332(aa . .五、五、).)32(431, 32(),)32(431, 32(),1, 1( 练习题答案练习题答案六六、29,23 ba. .七七、 82 k. .