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1、2016届高三数学一轮基础巩固第 2章 第 4节 指数与指数函数新人教 A版一、选择题1(2014东北三校联考) 函数f(x) ax 1(a0，a1)的图象恒过点A，下列函数中图象不经过点A的是 ( ) Ay1xBy|x2| Cy2x 1 Dylog2(2x) 答案 A 解析 f(x) ax1的图象过定点 (1,1) ，在函数y1x中当x1 时，y0，故选 A2( 文)(2013 烟台月考) 若alog20.9 ，b313，c(13)12，则 ( ) AabcBacbCcabDbca 答案 B 解析 alog20.93120，所以acbcBabcCbacDac120.3 ，1ab，又ylog0
2、.3x在(0，) 上为减函数，log0.30.2log0.30.3 1，即c1，ba0，a1，函数ylogax，yax，yxa在同一坐标系中的图象可能是( ) 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 答案 C 解析 函数yax与ylogax互为反函数，它们的图象关于直线yx对称，排除B；a1 时，yxa与y轴交点在点 (0,1) 上方，排除 A； 0a0，a1)的值域为 1 ，) ，则f( 4) 与f(1) 的关系是 ( ) Af( 4
3、)f(1) Bf( 4) f(1) Cf( 4)1，f( 4) a3，f(1) a2，由yax的单调性知a3a2，f( 4)f(1) 5( 文) 定义在 R上的偶函数f(x) 满足f(x1)f(x) ，且f(x) 在 3，2 上为减函数，则在锐角ABC中，有 ( ) Af(sinA)f(cosB) Bf(sinA)f(sinB) Df(cosA)2， 所 以2A2B0,1sinAcosB0. 于 是f(sinA)f(cosB) ，故选 A( 理)(2014 陕西理，7) 下列函数中，满足“f(xy) f(x)f(y) ”的单调递增函数是( ) Af(x) x13Bf(x) x3精品资料 - -
4、 - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 12 页 - - - - - - - - - - Cf(x) (12)xDf(x) 3x 答案 D 解析 由于axayaxy，所以指数函数f(x) ax满足f(xy) f(x)f(y) ，且当a1时单调递增， 0a0，a1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是 ( ) A01ab1 B0b1a1 C01ba1 D01a1b1. 又1f(0)0 ，f(0) loga(20b1) logab，即1logab0，所以 01abx，hx，hxx.h12121222，12
5、 1，f121，h(4) 116，(4) 2，f(4) 116，f12f(4) 11161516. 9(2013湖南 ) 设函数f(x) axbxcx，其中ca0，cb0. (1) 记集合M(a，b，c)|a，b，c不能构成一个三角形的三条边长，且ab ，则(a，b，c) M所对应的f(x) 的零点的取值集合为_；(2) 若a，b，c是ABC的三条边长，则下列结论正确的是_( 写出所有正确结论的序号 ) ?x( ， 1) ，f(x)0 ；?xR，使ax，bx，cx不能构成一个三角形的三条边长；若ABC为钝角三角形，则?x (1,2) ，使f(x) 0. 答案 (1)x|0a0，cb0，ab，且
6、a、b、c不能构成三角形的三边，0aac，ca2，令f(x) 0 得，axbxcx，ab，2axcx，(ca)x2，xlogca2，1xlog2ca1， 0c，ca0，cb0， 0ac1,0bccx(acbc1) cxabcc0，正确；令a2，b3，c4，则a、b、c构成三角形的三边长，取x2，则a2、b2、c2不能构成三角形的三边长，故正确；ca，cb，ABC为钝角三角形，a2b2c20，f(2) a2b2c20，ex，x0，F(x) f(x) kx，xR. (1)k1 时，求F(x) 的值域；(2) 试讨论函数F(x) 的单调性精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - -
7、 - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 解析 (1)k1 时，F(x) f(x) x1xx，x0，exx，x0.可以证明F(x) 在(0,1) 上递减，在 (1 ，) 和 ( ， 0 上递增，又f(0) 1，f(1) 2，所以F(x) 的值域为 ( ， 1 2 ， ) (2)F(x) f(x) kx1xkx，x0，exkx，x0.若k0，则F(x) 在(0，) 上递减，在( ， 0) 上递增；若k0，则F(x) 在(0 ，1k 上递减，在 (1k， ) 上递增，在( ， 0) 上递增若k0，则xl
8、n( k) ，若F(x)0 ，则xln( k) 若k 1，k1，则F(x) 在( ， 0 上递减，若1k0,0 k0，且a1)，若g(2) a，则f(2) ( ) A2 B154C174Da2 答案 B 解析 f(x) 为奇函数，g(x)为偶函数，由f(x) g(x) axa x2 得，f( x) g( x)axax2，解得f(x) axax，g(x) 2，又g(2) a，a2，f(x) 2x2x，f(2) 154. ( 理)(2014 湖北荆门月考) 已知ab1,0 x(1b)xBxaxbClogxalogxbDlogaxlogbx 答案 D 解析 ab1,0 x1，精品资料 - - - 欢
9、迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 01a1b1，(1a)xb1,0 x1，xab1,0 x1，logxalogxb，故 C不成立；logxalogxblogbx，故 D成立，故选D12( 文)(2013 福建泉州一模) 设函数f(x) 定义在 R上，它的图象关于直线x1 对称，且当x1 时，f(x) 3x1，则有 ( ) Af13f32f23Bf23f32f13Cf23f13f32Df32f23f13 答案 B 解析 f(x) 的图象关于直线x1 对称，
10、x1 时，f(x) 3x1 为增函数，故当x1时，f(x) 为减函数，且f32f112f112f12，1312f12f23，即f23f320的图象恰好有 3 个不同的公共点，则实数m的取值范围是 ( ) A(3，4) B(2，)C(2，5) D(3，22) 答案 B 解析 作出函数f(x) 213x，x012x21，x0的图象如图所示直线ymx的图象是绕坐标原点旋转的动直线当斜率m0时，直线ymx与函数f(x) 的图象只有一个公共点；当m0 时，直线ymx始终与函数y2(13)x(x0)的图象有一个公共点，故要使直线ymx与函数f(x)的精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - -
11、- - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 图象有三个公共点，必须使直线ymx与函数y12x21(x0)的图象有两个公共点，即方程mx12x21在x0 时有两个不相等的实数根，即方程x22mx 20 的判别式 4m2420.解得m2. 故选 B13( 文)(2014 安徽省示范高中第一次联考) 已知函数f(x) x3a，x0且a1)是 R上的减函数，则a的取值范围是 ( ) A(0 ，23 B(0 ，13 C(0,1) D(0,2 答案 B 解析 由f(x) 是( ， ) 上的减函数，可得0a1
12、，f0a02 3a，解得0a13. 易错警示 本题考查的是分段函数在R上的单调性，要注意本题需满足a02 3a. ( 理 ) (2014江西适应性考试) 已知函数f(x) 12x，ax0，x22x，0 x4的值域是 8,1 ，则实数a的取值范围是 ( ) A( ， 3 B 3,0) C 3，1 D 3 答案 B 解析 当 0 x4 时，f(x) 8,1 ，当ax0时，f(x) (12)a， 1)，所以 12a， 1) 8,1 ，即812a1，即3ab.则函数f(x)12x的图象是 ( ) 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - -
13、 - - - - - - -第 8 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 答案 A 解析 依题意，f(x) 的值为 1 和 2x的值中较小的，故当x0 时，f(x)1，当xb则f(x) 2x 2 x的图象是( ) 答案 C 解析 由ab的定义知，f(x) 的图象为y2x与y2 x的图象中较低的部分，故选C15(2014成都七中期中) 若函数f(x) 13xa9x，其定义域为( ， 1 ，则a的取值范围是 ( ) Aa49Ba49Ca49D49a0，a1)，下面给出五个命题，其中真命题是_( 只需写出所有真命题的编号) 函数f(x)的图象关于原点对称；函数f(x)在 R上不具
14、有单调性；函数f(|x|) 的图象关于y轴对称；当 0a1 时，函数f(|x|) 的最大值是0. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 答案 解析 f( x) f(x) ，f(x) 为奇函数，f(x) 的图象关于原点对称，对；当a1时，f(x) 在 R上为增函数，当0a1时，f(x) 在 R上为减函数，错；yf(|x|) 是偶函数，其图象关于y轴对称，对；当0a1 时，f(x) 在( ， 0) 上为减函数，在 0 ，) 上为增函数，当
15、x0 时，yf(x) 的最小值为0，错综上，真命题是. 三、解答题17已知f(x) 3x，并且f(a2)18，g(x) 3ax4x的定义域为 1,1 (1) 求函数g(x) 的解析式；(2) 判断g(x) 的单调性；(3) 若方程g(x) m有解，求m的取值范围 解析 (1) 因为f(a2) 18，f(x) 3x，所以 3a218? 3a2，所以g(x) (3a)x4x2x4x，x 1,1 (2)g(x) (2x)22x 2x12214. 当x 1,1 时， 2x12，2 ，令t2x，所以yt2tt12214. 故当t12，2 时，yt2tt12214是减少的，又t2x在 1,1 上单调增加，
16、所以g(x) 在 1,1 上单调减少(3) 因为方程g(x) m有解，即m2x4x在 1,1 内有解由 (2) 知g(x) 2x4x在 1,1 上单调递减，所以2m14，故m的取值范围是2，14. 18( 文)(2013 资阳诊断) 函数f(x) mlogax(a0 且a1)的图象过点 (8,2) 和(1 ，1) (1) 求函数f(x) 的解析式；(2) 令g(x) 2f(x) f(x 1) ，求g(x) 的最小值及取得最小值时x的值 解析 (1) f82，f1 1，mloga82，mloga1 1，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳
17、 - - - - - - - - - -第 10 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 解得m 1，a2，故函数解析式为f(x) 1log2x. (2)g(x) 2f(x) f(x1) 2( 1log2x) 1log2(x1) log2x2x11(x1) x2x1x 122x11x1(x1) 1x12 2x11x124，当且仅当x11x1，即x2 时，等号成立 而函数ylog2x在(0，) 上单调递增，则 log2x2x11log2411，故当x2 时，函数g(x) 取得最小值1. ( 理)(2013 陕西调研 ) 已知函数f(x) 13x，x 1，1 ，函数g(x) f2
18、(x) 2af(x)3 的最小值为h(a) (1) 求h(a) ；(2) 是否存在实数m、n，同时满足以下条件：mn3；当h(a) 的定义域为 n，m 时，值域为 n2，m2 若存在，求出m、n的值；若不存在，说明理由 分析 (1) 由f(x) 13x的单调性可求出f(x) 的值域，g(x) 是以f(x) 为变元的二次函数，令t13x，可求关于t的二次函数的最小值h(a) (2) 由(1) 知当mn3 时h(a) 的表达式，考察h(a) 在n，m上的单调性，结合其值域n2，m2 ，可列出关于m，n的方程组求解m，n，如果有解则所求实数m，n存在，否则不存在 解析 (1) 因为x 1,1 ，所以
19、13x13，3 . 设13xt，t13，3 ，则g(x) (t) t22at3 (ta)23a2. 当a3 时，h(a) (3) 126a. 所以h(a) 2892a3a3.(2) 因为mn3，an，m ，所以h(a) 126a. 因为h(a) 的定义域为 n，m ，值域为 n2，m2 ，且h(a) 为减函数，所以126mn2，126nm2.两式相减得6(mn) (mn)(mn) ，因为mn，所以mn0，得mn6，但这与“mn3”矛盾，故满足条件的实数m、n不存在 点评 解题关键在于利用换元的思想方法，将问题转化为二次函数在闭区间上的最值问题，然后通过分类讨论求出函数的最值对于存在性问题，往往是首先假设符合条件的参数存在，然后根据给出的条件进行推理求解，若不能推出矛盾，则说明符合要求的参数存在，否则说明符合要求的参数不存在精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 12 页 - - - - - - - - - -