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1、第 4 讲 指数与指数函数【2014 年高考会这样考】1考查指数函数的图象与性质及其应用 2以指数与指数函数为知识载体，考查指数的运算和函数图象的应用 3以指数或指数型函数为命题背景，重点考查参数的计算或比较大小【复习指导】1熟练掌握指数的运算是学好该部分知识的基础，较高的运算能力是高考得分的保障，所以熟练掌握这一基本技能是重中之重 2本讲复习，还应结合具体实例了解指数函数的模型，利用图象掌握指数函数的性质重点解决：(1)指数幂的运算；(2)指数函数的图象与性质.基础梳理 1根式(1)根式的概念 如果一个数的 n 次方等于 a(n1 且，nN*)，那么这个数叫做 a 的 n 次方根 也就是，若
2、 xna，则 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 n1 且 nN*.式子na叫做根式，这里 n 叫做根指数，a 叫做被开方数(2)根式的性质 当 n 为奇数时，正数的 n 次方根是一个正数，负数的 n 次方根是一个负数，这时，a 的 n 次方根用符号na表示 当 n 为偶数时，正数的 n 次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数的正的n 次方根用符号na表示，负的 n 次方根用符号na表示正负两个 n 次方根可以合写为na(a0)nana.当 n 为奇数时，nana；当 n 为偶数时，nan|a|a a0a a0.负数没有偶次方根 2有理数指数幂(1)幂的有关概念 正整数指数幂：ana a a
3、n个(nN*)；零指数幂：a01(a0)；负整数指数幂：ap1ap(a0，pN*)；正分数指数幂：amnnam(a0，m、n N*，且 n1)；负分数指数幂：amn1amn1nam(a0，m、nN*且 n1)0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义(2)有理数指数幂的性质 arasars(a0，r、sQ)(ar)sars(a0，r、sQ)(ab)rarbr(a0，b0，rQ)3指数函数的图象与性质 yax a1 0a1 图象 定义域 R 值域(0，)性质 过定点(0,1)x0 时，0y1 x0 时，y1.在(，)上是减函数 当 x0 时，0y1；当 x0 时，y1；在(，)上是增
4、函数 的运算和函数图象的应用以指数或指数型函数为命题背景重点考查参数的计算或比较大小复习指导熟练掌握指数的运算是学好该部分知识的基础较高的运算能力是高考得分的保障所以熟练掌握这一基本技能是重中之重本讲复习还应础梳理根式根式的概念如果一个数的次方等于且那么这个数叫做的次方根也就是若则叫做的次方根其中且式子叫做根式这里叫做根指数叫做被开方数根式的性质当为奇数时正数的次方根是一个正数负数的次方根是一个负数这时的次表正负两个次方根可以合写为当为奇数时当为偶数时负数没有偶次方根有理数指数幂幂的有关概念正整数指数幂个零指数幂负整数指数幂正分数指数幂且负分数指数幂且的正分数指数幂等于的负分数指数幂没有意义有
5、理数指数幂的 一个关系 分数指数幂与根式的关系 根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以相互转化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算 两个防范(1)指数函数的单调性是由底数 a 的大小决定的，因此解题时通常对底数 a 按：0a1 和 a1 进行分类讨论(2)换元时注意换元后“新元”的范围 三个关键点 画指数函数 yax(a0，且 a1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，1，1a.双基自测 1(2011 山东)若点(a,9)在函数 y3x的图象上，则 tana6的值为()A0 B.33 C1 D.3 解析 由题意有 3a9，则 a2，tan a6tan 3 3.答案
6、 D 2(2012 郴州五校联考)函数 f(x)2|x1|的图象是()的运算和函数图象的应用以指数或指数型函数为命题背景重点考查参数的计算或比较大小复习指导熟练掌握指数的运算是学好该部分知识的基础较高的运算能力是高考得分的保障所以熟练掌握这一基本技能是重中之重本讲复习还应础梳理根式根式的概念如果一个数的次方等于且那么这个数叫做的次方根也就是若则叫做的次方根其中且式子叫做根式这里叫做根指数叫做被开方数根式的性质当为奇数时正数的次方根是一个正数负数的次方根是一个负数这时的次表正负两个次方根可以合写为当为奇数时当为偶数时负数没有偶次方根有理数指数幂幂的有关概念正整数指数幂个零指数幂负整数指数幂正分数
7、指数幂且负分数指数幂且的正分数指数幂等于的负分数指数幂没有意义有理数指数幂的解析 f(x)2x1，x1，12x1，x1，故选 B.答案 B 3若函数 f(x)12x1，则该函数在(，)上是()A单调递减无最小值 B单调递减有最小值 C单调递增无最大值 D单调递增有最大值 解析 设 yf(x)，t2x1，则 y1t，t2x1，x(，)t2x1 在(，)上递增，值域为(1，)因此 y1t在(1，)上递减，值域为(0,1)答案 A 4(2011 天津)已知 a5log23.4，b5log43.6，c15log30.3，则()Aabc Bbac Cacb Dcab 解析 c15log30.35log3
8、0.35log3103，log23.4log221，log43.6log441，log3103log331，又 log23.4log2103log3 103，log2 3.4log3 103log4 3.6 又 y5x是增函数，acb.答案 C 5(2012 天津一中月考)已知 a12a123，则 aa1_；a2a2_.解析 由已知条件(a12a12)29.整理得：aa17 的运算和函数图象的应用以指数或指数型函数为命题背景重点考查参数的计算或比较大小复习指导熟练掌握指数的运算是学好该部分知识的基础较高的运算能力是高考得分的保障所以熟练掌握这一基本技能是重中之重本讲复习还应础梳理根式根式的概念
9、如果一个数的次方等于且那么这个数叫做的次方根也就是若则叫做的次方根其中且式子叫做根式这里叫做根指数叫做被开方数根式的性质当为奇数时正数的次方根是一个正数负数的次方根是一个负数这时的次表正负两个次方根可以合写为当为奇数时当为偶数时负数没有偶次方根有理数指数幂幂的有关概念正整数指数幂个零指数幂负整数指数幂正分数指数幂且负分数指数幂且的正分数指数幂等于的负分数指数幂没有意义有理数指数幂的又(aa1)249，因此 a2a247.答案 7 47 考向一 指数幂的化简与求值【例 1】化简下列各式(其中各字母均为正数)(1)a23 b1 12 a12 b136a b5；(2)56a13 b2(3a12b1)
10、(4a23 b3)12.审题视点 熟记有理数指数幂的运算性质是化简的关键 解(1)原式a13b12 a12b13a16b56 a131216 b1213561a.(2)原式52a16b3(4a23 b3)12 54a16b3a13b32 54a12 b32 541ab35 ab4ab2.化简结果要求(1)若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；(2)若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂表示；(3)结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又有负指数幂【训练 1】计算：(1)0.0271317227912()210；的运算和函数图象的应用以指数或指数型函数为命题背景重点考查参数
11、的计算或比较大小复习指导熟练掌握指数的运算是学好该部分知识的基础较高的运算能力是高考得分的保障所以熟练掌握这一基本技能是重中之重本讲复习还应础梳理根式根式的概念如果一个数的次方等于且那么这个数叫做的次方根也就是若则叫做的次方根其中且式子叫做根式这里叫做根指数叫做被开方数根式的性质当为奇数时正数的次方根是一个正数负数的次方根是一个负数这时的次表正负两个次方根可以合写为当为奇数时当为偶数时负数没有偶次方根有理数指数幂幂的有关概念正整数指数幂个零指数幂负整数指数幂正分数指数幂且负分数指数幂且的正分数指数幂等于的负分数指数幂没有意义有理数指数幂的(2)14124ab130.12 a3b312.解(1)
12、原式271 00013(1)2172259121 1034953145.(2)原式412 432100 a32 a32 b32 b32425a0 b0425.考向二 指数函数的性质【例 2】已知函数 f(x)1ax112 x3(a0 且 a1)(1)求函数 f(x)的定义域；(2)讨论函数 f(x)的奇偶性；(3)求 a 的取值范围，使 f(x)0 在定义域上恒成立 审题视点 对解析式较复杂的函数判断其奇偶性要适当变形；恒成立问题可通过求最值解决 解(1)由于 ax10，且 ax1，所以 x0.函数 f(x)的定义域为x|xR，且 x0(2)对于定义域内任意 x，有 f(x)1ax112(x)
13、3 ax1ax12(x)311ax112(x)3 1ax112x3f(x)，f(x)是偶函数(3)当 a1 时，对 x0，由指数函数的性质知 ax1，ax10，1ax1120.又 x0 时，x30，x31ax1120，即当 x0 时，f(x)0.的运算和函数图象的应用以指数或指数型函数为命题背景重点考查参数的计算或比较大小复习指导熟练掌握指数的运算是学好该部分知识的基础较高的运算能力是高考得分的保障所以熟练掌握这一基本技能是重中之重本讲复习还应础梳理根式根式的概念如果一个数的次方等于且那么这个数叫做的次方根也就是若则叫做的次方根其中且式子叫做根式这里叫做根指数叫做被开方数根式的性质当为奇数时正
14、数的次方根是一个正数负数的次方根是一个负数这时的次表正负两个次方根可以合写为当为奇数时当为偶数时负数没有偶次方根有理数指数幂幂的有关概念正整数指数幂个零指数幂负整数指数幂正分数指数幂且负分数指数幂且的正分数指数幂等于的负分数指数幂没有意义有理数指数幂的又由(2)知 f(x)为偶函数，即 f(x)f(x)，则当 x0 时，x0，有 f(x)f(x)0 成立 综上可知，当 a1 时，f(x)0 在定义域上恒成立 当 0a1 时，f(x)ax1 x32 ax1.当 x0 时，1ax0，ax10，ax10，x30，此时 f(x)0，不满足题意；当 x0 时，x0，f(x)f(x)0，也不满足题意 综上
15、可知，所求 a 的取值范围是 a1.(1)判断此类函数的奇偶性，常需要对所给式子变形，以达到所需要的形式，另外，还可利用 f(x)f(x)，f xf x来判断(2)将不等式恒成立问题转化为求函数值域问题，是解决恒成立问题的常用方法 【训练 2】设 f(x)exaaex是定义在 R 上的函数(1)f(x)可能是奇函数吗？(2)若 f(x)是偶函数，试研究其在(0，)的单调性 解(1)假设 f(x)是奇函数，由于定义域为 R，f(x)f(x)，即exaaexexaaex，整理得a1a(exex)0，即 a1a0，即 a210 显然无解 f(x)不可能是奇函数(2)因为 f(x)是偶函数，所以 f(
16、x)f(x)，即exaaexexaaex，整理得a1a(exex)0，又对任意 xR 都成立，有 a1a0，得 a 1.的运算和函数图象的应用以指数或指数型函数为命题背景重点考查参数的计算或比较大小复习指导熟练掌握指数的运算是学好该部分知识的基础较高的运算能力是高考得分的保障所以熟练掌握这一基本技能是重中之重本讲复习还应础梳理根式根式的概念如果一个数的次方等于且那么这个数叫做的次方根也就是若则叫做的次方根其中且式子叫做根式这里叫做根指数叫做被开方数根式的性质当为奇数时正数的次方根是一个正数负数的次方根是一个负数这时的次表正负两个次方根可以合写为当为奇数时当为偶数时负数没有偶次方根有理数指数幂幂
17、的有关概念正整数指数幂个零指数幂负整数指数幂正分数指数幂且负分数指数幂且的正分数指数幂等于的负分数指数幂没有意义有理数指数幂的当 a1 时，f(x)exex，以下讨论其单调性，任取 x1，x2(0，)且 x1x2，则 f(x1)f(x2)ex1ex1 ex2ex2 ex1ex2ex1x21ex1x2，x1，x2(0，)且 x1x2，ex1x21，ex1ex20，ex1x210，f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)，函数 f(x)exaaex，当 a1 时在(0，)为增函数，同理，当 a1 时，f(x)在(0，)为减函数 考向三 指数函数图象的应用【例 3】(2009 山东)函数 y
18、exexexex的图象大致为()审题视点 函数图象的判断要充分利用函数的性质，如奇偶性、单调性 解析 ye2x1e2x112e2x1，当 x0 时，e2x10 且随着 x 的增大而增大，故y12e2x11 且随着 x 的增大而减小，即函数 y 在(0，)上恒大于 1 且单调递减，又函数 y 是奇函数，故选 A.答案 A 利用指数函数的图象和性质可研究复合函数的图象和性质，比如：函数 yax1ax1，yexex2，ylg(10 x1)等【训练 3】已知方程 10 x10 x，lg xx10 的实数解分别为 和 ，则 的运算和函数图象的应用以指数或指数型函数为命题背景重点考查参数的计算或比较大小复
19、习指导熟练掌握指数的运算是学好该部分知识的基础较高的运算能力是高考得分的保障所以熟练掌握这一基本技能是重中之重本讲复习还应础梳理根式根式的概念如果一个数的次方等于且那么这个数叫做的次方根也就是若则叫做的次方根其中且式子叫做根式这里叫做根指数叫做被开方数根式的性质当为奇数时正数的次方根是一个正数负数的次方根是一个负数这时的次表正负两个次方根可以合写为当为奇数时当为偶数时负数没有偶次方根有理数指数幂幂的有关概念正整数指数幂个零指数幂负整数指数幂正分数指数幂且负分数指数幂且的正分数指数幂等于的负分数指数幂没有意义有理数指数幂的的值是_ 解析 作函数 yf(x)10 x，yg(x)lg x，yh(x)
20、10 x 的图象如图所示，由于 yf(x)与 yg(x)互为反函数，它们的图象是关于直线yx 对称的又直线yh(x)与 yx 垂直，yf(x)与 yh(x)的交点 A 和 yg(x)与 yh(x)的交点 B是关于直线 yx 对称的而 yx 与 yh(x)的交点为(5,5)又方程 10 x10 x的解 为 A点横坐标，同理，为 B 点横坐标 25，即 10.答案 10 难点突破 3如何求解新情景下指数函数的问题 高考中对指数函数的考查，往往突出新概念、新定义、新情景中的问题，题目除最基本问题外，注重考查一些小、巧、活的问题，突出考查思维能力和化归等数学思想 一、新情景下求指数型函数的最值问题的解
21、法 【示例】(2011 福建五市模拟)设函数 yf(x)在(，)内 有定义对于给定的正数 K，定义函数 fK(x)f x，f x K，K，f x K，取函数 f(x)2xex，若对任意的 x(，)，恒有 fK(x)f(x)，则 K 的最大值为_ 的运算和函数图象的应用以指数或指数型函数为命题背景重点考查参数的计算或比较大小复习指导熟练掌握指数的运算是学好该部分知识的基础较高的运算能力是高考得分的保障所以熟练掌握这一基本技能是重中之重本讲复习还应础梳理根式根式的概念如果一个数的次方等于且那么这个数叫做的次方根也就是若则叫做的次方根其中且式子叫做根式这里叫做根指数叫做被开方数根式的性质当为奇数时正
22、数的次方根是一个正数负数的次方根是一个负数这时的次表正负两个次方根可以合写为当为奇数时当为偶数时负数没有偶次方根有理数指数幂幂的有关概念正整数指数幂个零指数幂负整数指数幂正分数指数幂且负分数指数幂且的正分数指数幂等于的负分数指数幂没有意义有理数指数幂的 二、新情景下求与指数型函数有关的恒成立问题的解法【示例】若 f1(x)3|x1|，f2(x)2 3|xa|，xR，且 f(x)f1 x，f1 x f2 x，f2 x，f1 x f2 x，则f(x)f1(x)对所有实数 x 成立，则实数 a 的取值范围是_ 的运算和函数图象的应用以指数或指数型函数为命题背景重点考查参数的计算或比较大小复习指导熟练掌握指数的运算是学好该部分知识的基础较高的运算能力是高考得分的保障所以熟练掌握这一基本技能是重中之重本讲复习还应础梳理根式根式的概念如果一个数的次方等于且那么这个数叫做的次方根也就是若则叫做的次方根其中且式子叫做根式这里叫做根指数叫做被开方数根式的性质当为奇数时正数的次方根是一个正数负数的次方根是一个负数这时的次表正负两个次方根可以合写为当为奇数时当为偶数时负数没有偶次方根有理数指数幂幂的有关概念正整数指数幂个零指数幂负整数指数幂正分数指数幂且负分数指数幂且的正分数指数幂等于的负分数指数幂没有意义有理数指数幂的